Gödel tétele

[Szilágyi András]

Érdemes a Gödel-féle nemteljességi tételnek egy külön topikot nyitni. A Gödel-tétel körül sok a félreértés, félremagyarázás, sokan visszaélnek vele és olyan területekre alkalmazzák, amelyekre nem lehet.

Már volt a szkeptikus blogon is egy cikk erről:
Következik-e a Gödel-tételből a világ megismerhetetlensége?

Emlékeztetőül a Gödel-tétel egy közérthető megfogalmazása:
"A számelmélet összes axiomatikus megfogalmazása tartalmaz eldönthetetlen állításokat."

Egyébként Gödel eredetileg így fogalmazta ezt meg:
"Minden omega-következetes kappa rekurzív osztályba tartozó formulához tartozik egy olyan r rekurzív osztaly, amelyben sem v Gen r, sem Neg(v Gen r) nem tartozik Flg(kappa)-hoz (ahol v az r szabad változója)."

Mármost egyesek nagyvonalúan elfelejtik, hogy itt számelméletről van szó, és azt hiszik, hogy bármely elméletre, bármely axiomatikus rendszerre igaz a tétel. Majd ebből messzemenő következtetéseket vonnak le akár a világ megismerhetetlenségére, akár Isten létének bizonyíhatóságára, stb. vonatkozóan. Nyilvánvaló, hogy ez marhaság.

Gödel tétele egy érdekes metamatematikai eredmény, amely matematikai elméletek egy bizonyos csoportjára vonatkozik. Nem vonatkozik minden matematikai elméletre, hiszen nem minden matematikai elmélet számelmélet, vagy foglalja magában a számelméletet.

Ahogy jeleztem egy másik topikban, nem igaz pl. Gödel tétele az euklidészi geometriára vagy a valós számok elméletére.

Igen húzós dolog olyat állítani, hogy pl. érvényes lenne a fizikára, hiszen nincs olyan axiomatizált elmélet, amely az egész fizikát leírná, nem beszélve arról, hogy a fizikában, ha fel is állítunk axiómákat, azokat bármikor módosíthatjuk, illetve mérésekkel dönthetjük el az eldönthetetlen állításokat.

De van még egy dolog. Ezt én találtam ki, lehet, hogy más is kitalálta, de sehol nem találkoztam ezzel a gondolattal. Ez pedig az a tény, hogy a Gödel-tétel feltételezi a természetes számok sorának végtelenségét.

Szükségképpen feltételezi, hiszen a Gödel-tétel bizonyítása felhasználja az indukció axiómáját, amely azt mondja ki, hogy ha egy állításra igaz, hogy ha igaz a k természetes számra, akkor k+1-re is igaz, akkor minden természetes számra igaz.

Mármost a valóságban minden gyakorlati alkalmazásra elegendő a természetes számok egy véges részhalmazát használni. Bármikor definiálhatunk egy marha nagy számot, és mondhatjuk, hogy ennél nagyobb szám soha, semmilyen praktikus alkalmazásban nem fordul elő, ezért az ennél nagyobb számokat nemlétezőnek tekintjük.

Ekkor rögtön nem igaz az indukciós axióma, és a Gödel-tétel bizonyítása érvénytelen lesz. Vagyis ha nem kell nekünk végtelen sok természetes szám, hanem beérjük mondjuk az 1-től googolplexig terjedő számokkal, akkor a számelméletnek egy olyan részét kapjuk, ami minden gyakorlati szempontból használható, ám nem igaz rá a Gödel-tétel. Egy ilyen számelméletről valószínűleg be lehetne bizonyítani, hogy nem tartalmaz eldönthetetlen állításokat. Persze lesznek bizonyos korlátai a használhatóságának, pl. nem lehet benne akármilyen hosszú formulákat felállítani, ill. bizonyos műveleteknek nem lesz eredménye, ám ezek gyakorlati szempontból érdektelenek lesznek.

A végtelen fogalma ugyan nagyon hasznos absztrakció, ám a gyakorlatban nélkülözhető. Ahol végtelent használunk, mindig használhatunk helyette egy kellően nagy számot. A világnak az ember által megismerhető szelete véges, ezért minden olyan leírás, ami felhasználja a végtelen fogalmát, helyettesíthető egy végtelen nélküli leírással.

Ez pedig azt jelenti, hogy a Gödel-tételnek a természettudományok és a gyakorlat szempontjából az égvilágon semmi jelentősége nincsen. Egy absztrakt matematikai eredménynek kell tekinteni, aminek csak a matematikában van jelentősége (egyébként abban is kicsi). Ezért értelmetlen minden olyan eszmefuttatás, ami messzemenő következtetéseket von le belőle pl. az emberi megismerésre vonatkozóan. Semmiféle gyakorlati korlátot nem jelent a Gödel-tétel semmire.

[mimindannyian]

@Szilágyi András (51661):
Remek a téma, de első blikkre két gondolat szúrja a szemem, ami a következő három:

A végtelen fogalma ugyan nagyon hasznos absztrakció, ám a gyakorlatban nélkülözhető. Ahol végtelent használunk, mindig használhatunk helyette egy kellően nagy számot. A világnak az ember által megismerhető szelete véges, ezért minden olyan leírás, ami felhasználja a végtelen fogalmát, helyettesíthető egy végtelen nélküli leírással.

Ilyen alapon minden absztrakció nélkülözhető, s csak a primer ingereink bírnak gyakorlati jelentőséggel. Ahogy végtelenre, úgy pl. határérték számításra sincs szükség. Vagy ahogy Feketeúr látja a világot, a képletek is csak csacskaságok, mert végső soron csak számokkal végzünk műveleteket. És folytatható: a számok is csak absztrakciók, a valóságban érzéseink vannak, és kész. Vagyis nincs gyakorlati jelentősége annak a megannyi fizikai képletnek, végülis csak hol így érezzük magunkat, hol úgy. Ez nyilván téves megközelítés. Ahogy a kvantummechanikát sem fogyasztjuk el ebédre, úgy a végtelen fogalmából sem látványosan húzunk hasznot, hanem áttételesen. Ezen áttételes módon viszont nagyon is fontos absztrakció.

Azt mondom tehát, vagy azt az utat járjuk, hogy a végtelen igenis nélkülözhetetlen a gyakorlatban, vagy azt, hogy akkor az egész matematika és fizika is nélkülözhető [a gyakorlatban].

Ekkor rögtön nem igaz az indukciós axióma, és a Gödel-tétel bizonyítása érvénytelen lesz. Vagyis ha nem kell nekünk végtelen sok természetes szám, hanem beérjük mondjuk az 1-től googolplexig terjedő számokkal, akkor a számelméletnek egy olyan részét kapjuk, ami minden gyakorlati szempontból használható, ám nem igaz rá a Gödel-tétel.

Ha egy elméletben a Gödel-tétel nem alkalmazható, abból nem következik, hogy az ellentettje igaz, tehát, hogy zárt, felsorolható a rendszer, nincsenek benne olyan állítások, melyek és az ellentettjük sem bizonyíthatók. Csupán annyit jelent, hogy a gödeli konstrukció nem építhető fel, tehát vagy vannak benne ilyen bizonyíthatatlan állítások, vagy nincsenek.

Ezért értelmetlen minden olyan eszmefuttatás, ami messzemenő következtetéseket von le belőle pl. az emberi megismerésre vonatkozóan. Semmiféle gyakorlati korlátot nem jelent a Gödel-tétel semmire.

Azt hiszem, ideje lenne feltenni a kérdést, mit jelent a gyakorlati szó. A filozófiának pl. van bármi gyakorlati jelentősége?
Én nem vagyok biztos benne, hogy a Gödel-tétel annyira jelentéktelen. Nem abban az értelemben sztárolom, ahogy azt szokták, és ami ellen kardot emeltél; hanem abban a filozófiai értelemben, hogy vajon egy rendszer megismerheti-e saját magát, képes-e leírni önnön működését? És itt a matematika, különösen a formulák felsorolásának gödeli trükkje szorosan beáll a sorba a számítógép mellé, ahol ugye a program is csak egy nagy szám.

[Question]

Na, tök jó topic

Pár dolog kezdetnek:
1, Nem hinném, hogy bármikor helyettesíthető a végtelen egy nagyon nagy számmal, a valóságban sem. Ott van például a fekete lyukak sűrűsége.
2, Véges sok számra nyilván bizonyítható bármilyen állítás: elég csak leellenőrizni, hogy igaz-e, vagy nem. A Goldbach-sejtés is bizonyítva van ebből a szempontból, egészen nagy számtartományban.
3, Érdekes kérdés, hogy tudunk-e olyan konkrét állítást mondani, amit nem lehet bizonyítani. Egyes matematikusok szerint ha az ilyen állítások igazán lényegesek lennének, már előkerültek volna. Tehát van ilyen állítás, de az elméletek felépítése kapcsán nem okoz túl nagy zavart.
Mások szerint például P nem egyenlő/egyenlő NP egy ilyen állítás.
4, Noha felesleges volt, valóban érthető a kortársak aggodalma. Felületesen szemlélve tényleg messzemenő következtetéseket lehet belőle levonni, ezért először a kor matematikusai, fizikusai sem tudtak vele mit kezdeni. Aztán persze ahogy megértette és befogadta a tudóstársadalom, lenyugodtak a kedélyek.

Az érdeklődőknek ajánlom egyébként Raymond Smullyan kapcsolódó művét.

[Szilágyi András]

@mimindannyian (51663):

Ezen áttételes módon viszont nagyon is fontos absztrakció.

Ki mondta, hogy nem az? De csupán egy matematikai segédeszköz. Tulajdonképpen a baromi nagy számok egy közelítése. De a gyakorlatban minden számításból kiküszöbölhető. Gondoljunk csak a számítógépek számábrázolási pontosságának végességére. Soha nem fogunk tudni akármekkora nagy számmal számolni.

Ha egy elméletben a Gödel-tétel nem alkalmazható, abból nem következik, hogy az ellentettje igaz

Nem is írtam, hogy igaz, azt írtam, hogy valószínűleg bizonyítható. Olvass figyelmesebben!
A számelmélet egy csomó állítása, sejtése triviális lesz. Goldbach-sejtés megoldva, ikerprím-sejtés megoldva, stb. Kontinuumhipotézis meg fel sem merül. Cserébe néhány állítás, ami a rendes számelméletben érvényes, ebben a limitált számelméletben egyszerűen értelmetlen lesz. De azok olyanok, amiknek a gyakorlatban nincs jelentőségük.

[Szilágyi András]

@Question (51664):
1. A fekete lyukak nem tényleges szingularitások, az csak matematikai absztrakció. Csak nem tudjuk jobban leírni őket korrekt kvantumgravitációs elmélet hiányában.

2. Persze hogy van ilyen, pl. a kontinuumhipotézis (hogy az egész és a valós számok számossága között nincs egy további számosság) ZFC-ben nem bizonyítható és nem is cáfolható. Na de kérdem én, van bármi gyakorlati jelentősége a kontinuumhipotézisnek? Semmi! Nem jó semmire, és soha nem is lesz. Hiszen semmilyen végtelen nincs a gyakorlatban, az pedig már végképp érdektelen, hogy két végtelen között van-e egy harmadik. Ez tisztán matematikai kérdés.

[mimindannyian]

@Szilágyi András (51666):

Ki mondta, hogy nem az? De csupán egy matematikai segédeszköz. Tulajdonképpen a baromi nagy számok egy közelítése. De a gyakorlatban minden számításból kiküszöbölhető. Gondoljunk csak a számítógépek számábrázolási pontosságának végességére. Soha nem fogunk tudni akármekkora nagy számmal számolni.

Most elmondtad mégegyszer ugyanazt, ám a hozzászólásom erre született. Most fogalmazok másképp. A végtelen nem a nagy számok közelítése. Minőségileg más.
Sosem felejtem el Gézoo munkásságának azon gyümölcsét, amikor napokig-hetekig próbálta elmagyarázni, hogy a körpályán mozgó testnek van sugárirányú sebessége, hiszen pici szakaszokat megtéve kénytelen elmozdulni a középpont felé, különben nem körpályán mozogna. Nagy különbség van aközött, hogy valamiről a végtelen segítségével kimondunk egy precíz állítást, vagy ha csak valamiféle véges pontosságú közelítést vázolunk.

A végtelen ott van minden bokorban. A matek és ezáltal a fizika nemhogy fél, de kartalan óriás lesz nélküle. De persze, ha amellett szállsz síkra, hogy a mateknak és a fizikának sincs gyakorlati jelentősége, akkor oké, úgy a végtelennek sem.

Nem is írtam, hogy igaz, azt írtam, hogy valószínűleg bizonyítható. Olvass figyelmesebben!

Nem is írtam, hogy azt írtad igaz, csak azt, hogy az ellentettje sem igaz. Olvass figyelmesebben!

Valóban azt írtad, hogy valószínűleg bizonyítható, bár közel sem látom megalapozottnak ezen valószínűség bátor odaítélését.

[mimindannyian]

@Szilágyi András (51667):

Na de kérdem én, van bármi gyakorlati jelentősége a kontinuumhipotézisnek? Semmi! Nem jó semmire, és soha nem is lesz. Hiszen semmilyen végtelen nincs a gyakorlatban, az pedig már végképp érdektelen, hogy két végtelen között van-e egy harmadik. Ez tisztán matematikai kérdés.

Te miért vagy ezen kérdésekben ennyire magabiztos? Milyen és mennyi ismeret szükséges ahhoz, hogy valamiről ki tudjuk mondani, hogy valaminek nincs és nem is lesz gyakorlati jelentősége?...
Nem kevés matematikai l'art pour l'art agymenésnek később óriási gyakorlati jelentősége lett. Ebből persze nem következik, hogy mindegyiknek lesz, ám rávilágít arra, hogy a "gyakorlati jelentőség", mint kategória elég nehezen jósolható terjedelmű. Ebből kifolyólag nagyobb szkepszisre intelek!

[Szilágyi András]

@mimindannyian (51668):
A valóságban nincs végtelen. Soha, semmilyen mérhető paraméter nem vesz fel végtelen nagy vagy végtelen kicsiny értéket. Világos, hogy a végtelen csupán egy elméleti segédeszköz a modelljeinkben, átmeneti számításoknál használatos, mert sok esetben egyszerűbb képleteket, matematikailag egyszerűbben kezelhető függvényeket eredményez. Egy modellnek sem a bemenő, sem a kimenő mérhető paraméterei nem tartalmaznak végtelent, az csak a köztes számításokban fordul elő. De ha szükséges, kiküszöbölhető. Egyébként sok esetben valóban szükség van a kiküszöbölésére, épp ezért vezették be a fizikusok a renormálás fogalmát: ez pontosan az elméletben megjelenő és zavaró végtelenek kiküszöbölésének a művelete. Ha netalántán a végtelen a Gödel-tétel miatt okozna problémát, szintúgy kiküszöbölhető.

[mimindannyian]

@Szilágyi András (51670): De nem azt állítom, hogy a valóságban, egy gyakorlati példában szükség van a végtelenre. Elég ritka a számológépeken. (Bár kulturáltabb programok határértékül eredményül már kiírhatják.) Hanem azt, hogy ha egy számítási mód nem alkotható meg, és ez a végtelen fogalmának felhasználásával bizonyítható; vagy pont fordítva, egy számítási módszer algoritmussá formalizálása közben használjuk a végtelent, akkor így a végtelen máris gyakorlati jelentőségre tett szert. És mivel ezen köztes lépésekkor felhasználhattunk olyan elméletet, melyben igaz a Gödel-tétel, áttételesen mégiscsak van jelentősége.

A "nincs szükség a végtelenre, kiküszöbölhető" ugyanígy kijelenthető szinte mindenre. A 3-as számra sincs szükség, mindenhol írhatunk helyette 2+1-et...

Számomra úgy tűnik, túl nagyot markoltál, csakhogy a Gödel-tételt félreértelmezők kezéből kivedd a varázspálcát. Felesleges. Akik Gödellel harcolnak, azok annyira szokták érteni, mint a kvantummechanikát meg a "rezgéseket". Ők egyfajta mesekarakterről beszélnek. Ezzel van a baj, nem a végtelent kell száműzni.

[Szilágyi András]

@mimindannyian (51672):
Szerintem ha van egy modellünk, ami tartalmazza a végtelent, de sem a bemenete, sem a kimenete nem tartalmaz végtelent, akkor abban a modellben a végtelen is lecserélhető valami végesre. Legfeljebb kicsit nehézkesebb lesz a használata. Azonban a lecserélhetőség bizonyítja, hogy a Gödel-tétel nem fogja veszélyeztetni a modellünket a végtelen miatt.

Elég ritka a számológépeken. (Bár kulturáltabb programok határértékül eredményül már kiírhatják.)

Igen, ha az eredmény túllépi az ábrázolható legnagyobb számot, akkor közlik, hogy végtelen.
Python:

Kód: Egész kijelölése

>>> 10.0**300*10.0**10
inf

[mimindannyian]

@Szilágyi András (51673):

Szerintem ha van egy modellünk, ami tartalmazza a végtelent, de sem a bemenete, sem a kimenete nem tartalmaz végtelent, akkor abban a modellben a végtelen is lecserélhető valami végesre. Legfeljebb kicsit nehézkesebb lesz a használata.

Egyrészt igen, másrészt nem.
1) nem, nem csak alkalmazunk modelleket, hanem alkotunk is. Az alkotás folyamata talán nem a gyakorlat része? Pont ilyen gondolatkör a Gödel-tétel, hogy magukat a matematikai formulákat számokhoz rendeljük. Tehát úgy fest, hogy azáltal, hogy kizárod a végtelent, igaz, hogy kihúzod Gödel méregfogát, de egyúttal olyan elméletalkotási teljesítményeket is érvénytelenítesz, melyekhez szükség volt a végtelen fogalmára. Az meg, hogy "lecseréljük valami végesre, legfeljebb kicsit nehézkesebb lesz a használata" fából vaskarika. A végtelen egy fogalom, ha ezentúl körülírjuk, attól még ugyanúgy ott van az orrunk előtt. Ha a magyarból kitiltjuk az "igen" szót, használható a nyelv, mondhatjuk helyette mindig, hogy nem-nem, de ezzel csak magunkat csapjuk be. Ugyanígy, ha az analízisben szokásos módon azt mondjuk, hogy minden n-re van olyan n<k, hogy ... és így a végtelen szánkra nem vesszük, semmivel sem használunk gyengébb elméletet. Nem kiküszöböltük a végtelent, csak egy másik ruhába öltöztettük, s eképp a Gödel-tétel továbbra is érvényes lesz.

2) igen, mert pl. a "végtelen" szó nem azonos a végtelen fogalmával, és lám, a végtelen fogalmáról tudunk társalogni a hozzá rendelt szó, és a szó más fogalmakkal való relációjának ismerete fényében. De ekkor ugyanott tartunk, nem csorbul a Gödel-tétel érvényessége.

Persze értem az álláspontod, vonzóan is hangzik, hogy egy véges világban véges ideig zajló eseménysorban nincs szükség a végtelenre, tehát Gödel csak egy izgalmas színdarabot írt. Van ebben valami, ugyanakkor én nem merném ezt biztosan állítani a fentiek miatt. Az elméleteink megalkotásakor (márpedig akkor is csak fekete dobozok vagyunk) igenis nagy hasznát vesszük a végtelennek, és közel sem biztos, hogy ezen fogalom kitiltásával ugyanoda jutottunk volna, mint ezt eddig tettük. Ez átfogalmazva a "nagy számra való cserélhetőségre", úgy hangzik, hogy nem biztos, hogy tudunk elég nagy számot mondani ahhoz, hogy egy levezetés során se ütközzünk bele a túlzott kicsinységébe. Az pedig csalásnak tűnik, hogy az elméleteinket alkossuk meg a végtelen eszköztárával, majd mikor kész, programozzuk le, és a programot mutassuk fel a népnek: látjátok, ez nem végtelen, csak egy őrült nagy szám, ma sem volt szükségünk a végtelenre.

Python:

Kód: Egész kijelölése

>>> 10.0**300*10.0**10
inf

Nem épp erre gondoltam, de ez is igaz. Inkább pl. a Mathematicára:

Kód: Egész kijelölése

In[1]:= Limit[1/x, x -> 0]
Out[1]= ∞
In[2]:= Limit[1/x-1, x -> 0]
Out[2]= ∞
In[3]:= Limit[1/x+1, x -> 0]
Out[3]= ∞

Emitt elég bizarr lenne, ha ehelyett azt mondaná:

Kód: Egész kijelölése

In[1]:= Limit[1/x, x -> 0]
Out[1]= googleplex
In[2]:= Limit[1/x-1, x -> 0]
Out[2]= googleplex-1
In[3]:= Limit[1/x+1, x -> 0]
Out[3]= googleplex

[Solaris]

Van itt egy érdekes vélemény:

http://philosophy.elte.hu/colloquium/20 ... eier2.html

Érdemes elolvasni.

[Szilágyi András]

@mimindannyian (51679):

azáltal, hogy kizárod a végtelent, igaz, hogy kihúzod Gödel méregfogát, de egyúttal olyan elméletalkotási teljesítményeket is érvénytelenítesz, melyekhez szükség volt a végtelen fogalmára

Nem kizártam, hanem utólag lecseréltem, olvass figyelmesebben.
Mindegy, hogy korábban használtuk-e, ha utólag lecserélhető, akkor nem okozhat gödeli problémát.

[mimindannyian]

@Solaris (51681): Ki magánlevelezésének zavaros, felszedett és elvarratlan szálak közibe kergetsz? Talán, ha saját szavaiddal elmondanád, mi a pálya, annak lenne értelme.

[Szilágyi András]

@mimindannyian (51679):
Az nem googleplex egyébként, hanem googolplex.

[mimindannyian]

@Szilágyi András (51683):

Mindegy, hogy korábban használtuk-e, ha utólag lecserélhető, akkor nem okozhat gödeli problémát.

Ennek a formális bizonyítása érdekelne...

Mert tegyük fel, hogy ~100 évvel ezelőtt élünk, és pénzdíjat tűznek ki arra, hogy a Hilbert problémáját, hogy ti. konzisztens-e az aritmetika, valaki megoldja. Ez egy kőkemény gyakorlati kérdés, akár az éhenhalásunk is függhet tőle. Szerencsések vagyunk, Gödelnek hívnak, és megválaszoljuk a kérdést egy nem formájában, mely miatt örömmel mesélhetjük édesanyánknak, hogy nem hiába foglalkoztunk annyit a matematikával, itt a pénz, ki lehet festeni a nagyszobát! Na mármost, ha mindezen gyakorlati eseménylánc során a végtelen helyettesítettük volna valami mással, ami nem végtelen, csak nagy szám, akkor Gödel nem arra az eredményre jutott volna, amire. Sőt, lehet, hogy már Hilbert sem tett volna fel ilyen csacska kérdést, ehelyett arra biztatott volna minden matematikust, hogy azon véges kis rendszert, amit matematikának hívunk, egyszer és mindenkorra tárjuk fel, mindenki számoljon ki mindent, aztán nincs vele több gond. De mindezek nem így történtek, tehát a Gödel tételnek lehet gyakorlati jelentősége.

Az nem googleplex egyébként, hanem googolplex.

Látod, már ez is problémát okoz, akkor mennyivel nagyobb gond a végtelent googolplexre cserélni!

[Solaris]

@mimindannyian (51684):

Nem magánlevelezés. A szerző honlapján található elég sok érdekes anyag társaságában. Nem kívánom a tartalmát tolmácsolni, el kell olvasni, vagy nem kell elolvasni, ki - ki döntse el maga.

[mimindannyian]

@Solaris (51688): OK, akkor mondjuk azt, hogy elolvastam. Hogy miképp hatott rám, miben változtatta meg a véleményem, arról én sem szólok semmit. Nagyon érdekes beszélgetés volt, köszi!

[Szilágyi András]

@mimindannyian (51687):
Igazad van, a Gödel-tételnek és a végtelennek valóban lehet jelentősége a matematikusok fizetése szempontjából.

Habár itt (http://hashref.com/summaries/GodelsTheorem.pdf) azt olvasom:

Gödel’s incompleteness theorem brought no
revolution whatsoever to mathematics, in
general it plays no role in the work of
working mathematicians

[mimindannyian]

@Szilágyi András (51695): Ugye-ugye! De ha az alkalmazott matematikáért fizetettek nem is, de a filozófusok bizonyára imádják, amíg az említett revolution el nem jön.

However, the theorem raises a number of
philosophical questions concerning the
nature of logic and mathematics

Ja, és majdnem elfelejtettem a központi alkalmazását, hát a félremagyarázásából sokan kovácsolnak áltudományos érveket. Tiszta gyakorlati haszon!

[Question]

Amúgy talán érdekes lenne egy eszmecsere arról, hogy a matematikai állítások, konstrukciók, tételek stb. mennyire tekintendőek valós dolgoknak. Hosszú ideje tartó vita ez, nem mi fogjuk lezárni (sőt, lehet, hogy senki), de érdekes dolgok is kijöhetnek belőle.

Magam például úgy gondolom, hogy nem az emberek "találják ki" a matematikai igazságokat. Ők csak "felfedezik" őket.

[alagi]

@Szilágyi András (51661):

Mármost a valóságban minden gyakorlati alkalmazásra elegendő a természetes számok egy véges részhalmazát használni. Bármikor definiálhatunk egy marha nagy számot, és mondhatjuk, hogy ennél nagyobb szám soha, semmilyen praktikus alkalmazásban nem fordul elő, ezért az ennél nagyobb számokat nemlétezőnek tekintjük.

Ekkor rögtön nem igaz az indukciós axióma, és a Gödel-tétel bizonyítása érvénytelen lesz. Vagyis ha nem kell nekünk végtelen sok természetes szám, hanem beérjük mondjuk az 1-től googolplexig terjedő számokkal, akkor a számelméletnek egy olyan részét kapjuk, ami minden gyakorlati szempontból használható, ám nem igaz rá a Gödel-tétel. Egy ilyen számelméletről valószínűleg be lehetne bizonyítani, hogy nem tartalmaz eldönthetetlen állításokat. Persze lesznek bizonyos korlátai a használhatóságának, pl. nem lehet benne akármilyen hosszú formulákat felállítani, ill. bizonyos műveleteknek nem lesz eredménye, ám ezek gyakorlati szempontból érdektelenek lesznek.

Ennek en sem latom sok ertelmet. Ha lekorlatozod a szamok nagysagat, akkor a hatarertek fogalom ugrott, akkor az egesz analizis ugrott, es mar a Newton torvenyeket is nagyon sutan, veges differenciakkal kell megfogalmazni, vigyazva hogy az idodifferencia soha ne legyen kisebb mint amit az eppen legjobb atomorankkal (vagy akarhogy) meg tudunk merni.

Gyakorlatliag nem hogy haszna nem lenne egy ilyen rendszernek, hanem nagyon korulmenyes volna, bar nyilvan, ha a szam nagyon nagy, akkor hatarertekben megkapnank a regi rendszerunket (de pl. ezt a gondolatot a te rendszeredben meg se lehet fogalmazni, tehat ilyen ertelemben az a rendszer is godeli ). A nyereseg infinitezimalisan kicsi: nem lenne ott az a kosza erzes hogy a Godel tetel majd egyszer valami gondot okozhat (mert azt elkepzelni is nehez, hogy hogyan okozhatna konkretan gondot a termeszettudomanyoknak).

[Szilágyi András]

@alagi (51714):
Azt hiszem, ebben tévedsz. A differenciálhányados bevezetéséhez nincs szükség egész számokra. Csak valós számokra van szükség. Emlékeztetlek rá, hogy a Gödel-tétel csak a természetes számok elméletére vonatkozik, a valós számokéra nem.
Csak sorozatok határértékképzésénél használunk egész számokat, folytonos határérték-képzésnél nem.

[alagi]

@Question (51712):

Magam például úgy gondolom, hogy nem az emberek "találják ki" a matematikai igazságokat. Ők csak "felfedezik" őket.

En nem latok nagy kulonbseget pl. egy autotervezo munkajaval osszehasonlitva, legalabbis filozofiailag.
Tegyuk fel pl. a gondolat kedveert, hogy olyan autot akarunk tervezni, ami 1000 atombol all. Akkor mar nem lesz olyan sok lehetoseg, es esetleg mondanad, hogy nem tervezi, hanem a lehetseges kombinaciok kozul kivalasztja, azaz felfedezi a mernok az autot.

A matematika is hasonlo ehhez: veges sok "lehetoseg" letezik. Pl. veges sok csoport struktura letezik 1000 elembol. Vagy lehet tudni, hogy a leheto legnagyobb test struktura a komplex szamok halmaza, ezert ha valaki testet vizsgal, akkor biztos hogy a komplex szamoknal nem nagyobb halmazt kell vizsgaljon. Vagy veges sok folytonos csoport letezik. stb.

Osszefoglalva: A matematika "egyszeru" strukturakat vizsgal, es ezert nincs olyan sok lehetoseg, ezert tunik ugy hogy felfedezni kell, es nem kitalalni. Szemben pl. az autoepitonek egy sokkal nagyobb ter all a rendelkezesere, es nagyobb szabadsaggal valtoztathat bizonyos reszleteken.

Egy masik olvasata a dolognak hogy pont azt nevezzuk matematikanak, ami inkabb felfedezesnek tunik es nem kitalasnak. Szamokkal sok dolgot lehet ugyebar csinalni. Ha valaki egy olyan strukturan dolgozik, ami nagyon esetleges, pl. hogyan fessuk ki ugy a sikot, hogy megszamozzuk a pontjait, majd valamilyen algoritmus a szamohoz szineket rendel, akkor lehet hogy szep lesz amit csinal, de gyakorlati jelentosege nem lesz, es festesnek tekintjuk amit csinal, nem matematikanak (lasd Escher). Ha valaki mas egy olyan strukturan gondolkozik, ahol nehany nagyon egyszeru szaballyal annyira lekorlatozza a jatekteret, hogy nem lesz sok szabadsaga, hanem teteleket kell bizonyitson (felfedezzen) vagy elvessen, akkor hasznos lesz amit csinal, mert egyszeru szabalyok konnyen elofordulnak , es amit csinal azt matematikanak fogjuk nevezni.

[alagi]

@Szilágyi András (51715):

Azt hiszem, ebben tévedsz. A differenciálhányados bevezetéséhez nincs szükség egész számokra. Csak valós számokra van szükség. Emlékeztetlek rá, hogy a Gödel-tétel csak a természetes számok elméletére vonatkozik, a valós számokéra nem.
Csak sorozatok határértékképzésénél használunk egész számokat, folytonos határérték-képzésnél nem.

Gondoltam hogy ezt fogod mondani.

Nagyon fucsa rendszer lenne, ahol googolplex+1-rol nem szabad beszelni, de googelplex+1.00 [googleplex db 0] 000001-rol mar igen.

Mindenesetre szerintem ezt ennyibol nem lehet atlatni, szerintem gond lenne valahol, ugyebar az analizis felepitesekor a termeszetes szamok nem csak neha-neha fordulnak elo, de nagy munka lenne (es haszontalan) az analizist ujra felepiteni probalni, ugy hogy kozben a termeszetes szamokat nem hasznalhatjuk, hanem helyette mondjuk a C_{googleplex} ciklikus csoportot.

(Mi az a felepitese a valos szamoknak ahol a termeszetes szamok nem fordulnak elo? Szerintem az valami nagyon gyenge, hasznalhatatlan rendszer lehet (marmint hasznalhatatlan barmi egyebre))

[Szilágyi András]

@alagi (51718):
A valós számok axiomatikus felépítése, a valós zárt testek elmélete.
Az egész problémafelvetésed is elhibázott egyébként, ugyanis én nem azt javasoltam, hogy akkor most csináljunk egy matematikai projektet, amiben kiküszöböljük mindenhonnan a végtelent, hanem arra hívtam fel a figyelmet, hogy ez bizonyosan megtehető, mert a valóságban nem fordul elő végtelen, ezért a valóságról alkotott modelljeinkben sem kell szerepelnie. Nem kell ezt konkrétan meg is csinálni, elég, ha tudjuk, hogy elvileg megtehető. Innentől a gödeli probléma irreleváns.

[alagi]

@Szilágyi András (51719):

ugyanis én nem azt javasoltam, hogy akkor most csináljunk egy matematikai projektet, amiben kiküszöböljük mindenhonnan a végtelent, hanem arra hívtam fel a figyelmet, hogy ez bizonyosan megtehető, mert a valóságban nem fordul elő végtelen,

Az egesz valaszod elhibazott egyebkent, egyreszt mert nem a vegtelen kizarasarol volt szo, hanem azt javasoltad hogy legyen egy legnagyobb veges szam, aminel nincs nagyobb, masreszt mert en azt kifogasolom, hogy nem mutattad meg, hogy ez bizonyosan megteheto.

[Szilágyi András]

@alagi (51720):
Triviális.

[alagi]

@Szilágyi András (51721):

Olvass figyelmesebben.

[Question]

@alagi (51716):
Megmondom őszintén, fura nekem ez az analógia.

A matematika is hasonlo ehhez: veges sok "lehetoseg" letezik. Pl. veges sok csoport struktura letezik 1000 elembol. Vagy lehet tudni, hogy a leheto legnagyobb test struktura a komplex szamok halmaza, ezert ha valaki testet vizsgal, akkor biztos hogy a komplex szamoknal nem nagyobb halmazt kell vizsgaljon. Vagy veges sok folytonos csoport letezik. stb.

Érdekes, hogy ezt mondod, mert a legtöbb ember szerint a matematika szépsége pont a végtelenségében áll. Megmondom őszintén, a testekhez, gyűrűkhöz, csoportokhoz keveset értek, úgyhogy ehhez nem szólnék hozzá.
De például már egész számokból vagy polinomokból, gráfokból (tényleg, vajon mennyi?) stb. is végtelen sok van. Persze lehet szűkíteni a kört, hogy ne így legyen, de azzal talán pont a lényeg vész el. De lehet, hogy én állok hozzá túl romantikusan, mindenen esetre számomra ez (is) adja a matematika szépségét. Például hogy be lehet bizonyítani valamit végtelen számra, annak ellenére, hogy csak véges sokat van esélyünk konkrétan ismerni.

Osszefoglalva: A matematika "egyszeru" strukturakat vizsgal, es ezert nincs olyan sok lehetoseg, ezert tunik ugy hogy felfedezni kell, es nem kitalalni. Szemben pl. az autoepitonek egy sokkal nagyobb ter all a rendelkezesere, es nagyobb szabadsaggal valtoztathat bizonyos reszleteken.

Kinek mi az egyszerű, ugyebár Szerintem például egy (nem túl bonyolultan definiálható) végtelen gráf kifejezetten bonyolult valami. Az autóépítős hasonlatot meg egyáltalán nem értem. Minden autó véges sok atomból áll, már csak ennél fogva is véges sok módon helyezkedhetnek el úgy, hogy összefüggő egészt alkossanak. Míg például a prímek száma végtelen.

Egy masik olvasata a dolognak hogy pont azt nevezzuk matematikanak, ami inkabb felfedezesnek tunik es nem kitalasnak. Szamokkal sok dolgot lehet ugyebar csinalni. Ha valaki egy olyan strukturan dolgozik, ami nagyon esetleges, pl. hogyan fessuk ki ugy a sikot, hogy megszamozzuk a pontjait, majd valamilyen algoritmus a szamohoz szineket rendel, akkor lehet hogy szep lesz amit csinal, de gyakorlati jelentosege nem lesz, es festesnek tekintjuk amit csinal, nem matematikanak (lasd Escher). Ha valaki mas egy olyan strukturan gondolkozik, ahol nehany nagyon egyszeru szaballyal annyira lekorlatozza a jatekteret, hogy nem lesz sok szabadsaga, hanem teteleket kell bizonyitson (felfedezzen) vagy elvessen, akkor hasznos lesz amit csinal, mert egyszeru szabalyok konnyen elofordulnak , es amit csinal azt matematikanak fogjuk nevezni.

1, Ez, hogy azt nevezzük matematikának, ami felfedezés, kifejezetten tetszetős gondolat a számomra.
2, Azzal óvatosan kell bánni, hogy kijelentjük, hogy valami nem használható semmire. Például a prímfelbontás első ránézésre nem tűnik valami gyakorlatias dologra, de aztán csak köze lett a kódoláshoz például. Vagy a gráfok matematikája: sokkal előbb foglalkoztak vele, mint hogy megjelent az egyik fő alkalmazási területe (amire manapság alkalmazzuk), a számítógép-hálózatok.
3, És még azt tegyem hozzá, hogy a matematika fejlődése valahogy mégis csak abba az irányba mutat, hogy egyre bonyolultabb játéktereket is kezelni tudjunk Nagyon felületes példaként, a négyzet szemléletes területétől eljutni a rendes integrálásig nem kis meló volt. Vagy a többdimenziós alakzatok matematikai modellezése. Az egész számoktól a komplex számokig vezető út stb.

Kifejtve egyébként, amit gondolok, én azért használnám inkább a felfedezés szót, mert szerintem például a Pitagorasz-tétel már igaz volt azelőtt, hogy ki lett mondva, és mivel tudjuk egy tulajdonságát (hogy igaz volt), kellett valami, ami birtokolja azt a tulajdonságát. Tehát a Pitagorasz-tétel mindig is létezett, és fog is. Szerintem.

Várom válaszod, és köszönöm az (errefelé igen ritka) érdemi reakciót

[alagi]

@Question (51745):

De például már egész számokból vagy polinomokból, gráfokból (tényleg, vajon mennyi?) stb. is végtelen sok van. Persze lehet szűkíteni a kört, hogy ne így legyen, de azzal talán pont a lényeg vész el. De lehet, hogy én állok hozzá túl romantikusan, mindenen esetre számomra ez (is) adja a matematika szépségét. Például hogy be lehet bizonyítani valamit végtelen számra, annak ellenére, hogy csak véges sokat van esélyünk konkrétan ismerni.

Persze vegtelen sok polinom van, de a polinomok tere megis csak egy nagyon kis dolog, ha ahhoz hasonlitjuk hogy hanyfelekeppen lehet mondjuk porlasztot epiteni (vagy elerni hogy a benzin bekeruljon a hengerbe). Kicsit magasabbrol tekintve nezem a polinomokat itt. Vegtelen sok van, de alapvetoen olyan sok variacio megsem lehet, mert minden polinom egy igen egyszeru szumma csak.

Az autóépítős hasonlatot meg egyáltalán nem értem. Minden autó véges sok atomból áll, már csak ennél fogva is véges sok módon helyezkedhetnek el úgy, hogy összefüggő egészt alkossanak. Míg például a prímek száma végtelen.

Az auto veges sok atombol all, de megis ez a veges sok atom annyi sok koncepcionalisan kulonbozo modon rakhato ossze, hogy azt nehez (lehetetlen) atlatni, es nem a kapcsolodasi szabalyok hataroljak le hogy mit alkotunk az atomokbol, hanem a fantaziank. Mig primekbol vegtelen sok van, de mindegyik egy igen egyszeru objektum, es szerintem tobb féle auto keszult mar eddig a foldon mint primekre vonatkozo tetel. (Holott az elobbiek szama biztosan veges, ha 10 t alatti autokra szoritkozunk, es az utobbiak szama talan vegtelen.)
Hasonloan erdekes teny, hogy csak veges sok mozifilm letezhet a vilagon, beleertve a az elkeszulteket es a jovoben leforgatasra keruloket. Az ember azt hinne, hogy folytonos a skala, mert pl. a 10-edik jelenetben egy kicsit arreb teszem az asztalt, vagy pirosabb rozsat rakok a vazaba, es maris kesz az uj, minden eddigitol kulonbozo film, de nem, csak veges sok van. Bizonyitas: barmelyik filmet ra lehet tomoriteni egy dvd-re. A pontencialis DVD-k szama pedig veges (noha irdatlanul nagy), hiszen digitalis alakban kodoljak az informaciot. Tehat emiatt csak veges sok kulonbozo film letezhet. Nem kell megse amiatt aggodni hogy egy ido mulva mar nem tudunk uj filmeket elvezni, hiszen mind lattuk mar.

Kifejtve egyébként, amit gondolok, én azért használnám inkább a felfedezés szót, mert szerintem például a Pitagorasz-tétel már igaz volt azelőtt, hogy ki lett mondva, és mivel tudjuk egy tulajdonságát (hogy igaz volt), kellett valami, ami birtokolja azt a tulajdonságát. Tehát a Pitagorasz-tétel mindig is létezett, és fog is. Szerintem.

Nem tudom lehet-e ennek a fajta letezesnek igazan ertelmet adni. Falszifikalhatatlan allitas, tehat nem termeszettudomanyos, hanem legfeljebb filozofiai. Ha a Pitagorasz tetel mindig is letezett, akkor szerintem muszaj azt is elfogadni, hogy a Boci-boci tarka is mindig is letezett es letezni is fog. Hogy ez a letezes ellen vagy mellett szol, azt most hirtelen nem tudnam eldonteni