@alagi (13306):
alagi írta:négyzetes ablak is könnyű még
Ha tegnap tanultam volna, és nem jó húsz éve, akkor még nekem is könnyű lenne.
Na kezdjük az alapoktól. Éjszaka törtem a fejemet, megpróbálom fejből. (A gyengébb idegzetűektől előre elnézést kérek.)
Állítólag minden folytonos periódikus jel felbontható szinuszok és koszinuszok összegére. Figyelem, nem Taylor sort fogok gyártani.
0.
Tegyük fel, hogy van egy konstans függvény. Mondjuk f(x)=1. Belátható, hogy ennek csak valós komponense van, amit nevezhetünk egyenáramnak is. (Sajnos integrál jelet nem tudok rajzolni.)
Integrál f(x) * cos( 0 * x ) dx; 0-tól 2π-ig
Integrál f(x) * sin( 0 * x ) dx; 0-tól 2π-ig
Mivel sin 0 = 0, így ezzel nem kell foglalkoznunk.
cos 0 = 1, tehát az integrál
Integrál 1 * cos( 0 * x ) dx; 0-tól 2π-ig
Integrál 1 * 1 dx; 0-tól 2π-ig
= 2π
Ilyen módon a DC komponens a jel átlaga egy teljes periódusra nézve.
Ezennel megszabadultunk a középértéktől, nézzük az AC komponenseket.
Ehhez először is be kell látnunk, hogy a szinusz és a koszinusz ortogonális. Viszgáljuk meg az alábbi integrálokat:
Integrál sin(x) * cos( x ) dx; 0-tól 2π-ig
Integrál sin(x) * sin( x ) dx; 0-tól 2π-ig
Integrál cos(x) * cos( x ) dx; 0-tól 2π-ig
1.
sin( x + x ) = sin(x) cos(x) + cos(x) sin(x)
sin( x - x ) = sin(x) cos(x) - cos(x) sin(x)
Adjuk össze:
sin( 2x ) + sin(0) = sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
Innen:
sin(x) cos(x) = 0.5 sin( 2x )
Ezt kellene integrálni 0-tól 2π-ig. Ha felrajzoljuk a függvényt, akkor látható, hogy a görbe alatti terület nulla. De akár integrálhatjuk is. Jön a lánc-szabály (L'Hospital névre hallgat, ha jól emlékszem).
(cos 2x)' = -2 sin 2x
(-0.5 cos 2x)' = sin 2x
(-0.25 cos 2x)' = 0.5 sin 2x
Tehát
Integrál sin(x) * cos( x ) dx; 0-tól 2π-ig
= Integrál 0.5 sin 2x dx; 0-tól 2π-ig
= -0.25 cos 2x; 0-tól 2π-ig
Ebből:
-cos 4π + cos 0 = -1 + 1 = 0
Ezzel az ortogonalitást bizonyítottuk.
2. & 3.
cos( x + x ) = cos x cos x - sin x sin x = cos
2 x - sin
2 x
cos( x - x ) = cos x cos x + sin x sin x = cos
2 x + sin
2 x
Adjuk össze:
cos( 2x ) + cos( 0 ) = 2 cos x cos x = 2 cos
2 x
Vonjuk ki:
cos( 2x ) - cos( 0 ) = -2 sin x sin x = -2 sin
2 x
Integrálandó tehát a sin
2 x és a cos
2 x. Mindkettő négyzet-függvény, tehát nem negatív. A görbe alatti terület nullától nagyobb lesz.
cos
2 x = 0.5 cos( 2x ) + 0.5 cos( 0 ) = 0.5 + 0.5 cos 2x
sin
2 x = 0.5 cos( 0 ) - 0.5 cos( 2x ) = 0.5 - 0.5 cos 2x
Tehát:
Integrál sin x sin x dx = Integrál sin
2 x dx = 0.5 Integrál ( cos( 0 ) - cos( 2x ) ) dx;
illetve
Integrál cos x cos x dx = Integrál cos
2 x dx = 0.5 Integrál ( cos( 0 ) + cos( 2x ) ) dx.
Az integrálás tagokra bontható. Vagyis
2π = Integrál cos( 0 ) dx;0-tól 2π-ig
2π = Integrál 1 dx;0-tól 2π-ig
illetve
0 = Integrál cos( 2x ) dx;0-tól 2π-ig
Ha valaki nem hinné, hogy a cos 2x integrálja nullát ad...
(sin 2x)' = 2 cos 2x
(0.5 sin 2x)' = cos 2x
Tehát
Integrál cos( 2x ) dx;0-tól 2π-ig
= 0.5 sin 2x ;0-tól 2π-ig
Ebből
sin 4π - sin 0 = 0 - 0 = 0
4. Hasonló módon az is belátható, hogy bármely két felharmonikus frekvencia ortogonális.
Integrál sin( n x ) cos( m x ) dx = 0
Integrál sin( n x ) sin( m x ) dx = 0
Integrál cos( n x ) cos( m x ) dx = 0
ahol n és m tetszőleges egész számok.
Kéri valaki a biznyítást?
Ezek után a Fourier sort úgy kapjuk, hogy a függvény egy periódusát szorozzuk sin( k * x ) illetve cos( k * x ) tényezőkkel, ahol k nem negatív egész szám, aztán intergálunk és normálunk.
A
k = (1/2π) Integrál f(x) sin( k * x ) dx
B
k = (1/2π) Integrál f(x) cos( k * x ) dx
Az Euler formula segítségével ugyanez komplex alakban is felírható.
exp( i α ) = cos α + i sin α
Tehát a két integrált össze lehet vonni.
Megjegyzés: ha a függvény nem folytonos, a szakadás helyén a kétoldali határérték átlagát kapjuk vissza.
(Ez volt a Fourier-sor. A Fourier-transzformációval majd reggeli után foglalkozok.)