A rövidség kedvéért nem teljesen egzaktul:
Van egy B halmazunk(a logika univerzuma), amelynek elemei a próbatestek vagy bodik. A bodikat többnyire b-vel jelöljük.
A B halmaz két részhalmazát különböztetjük meg:IObs és Ph. Az IObs elemeit többnyire m-el vagy k-val jelöljük, és megfigyelőnek, inerciális megfigyelőnek hívjuk. A téves asszciációk kizárására én az iob elnevezést is használni fogom. A Ph-k elemeit általában ph, ph0, ph1 stb módon jelöljük és fotonoknak hívjuk.A téves asszociációk kizárására én a ph elnevezést is használni
fogom.
Az, hogy a bodik, iobok és ph-k, hogyan viszonyulnak egymáshoz (milyen bodik lehetnek ph-k, vagy egy iob lehet-e ph, stb) az axiómák fogják megszabni. A viszonyok az axiómák következményei.
Van ezenkívül egy Q halmazunk, valamint ezen értelmezett + és * függvényünk. Q elemeit mennyiségeknek,vagy mértékeknek nevezzük. A kivonás (-) és osztás (/) műveletek is értelmezésre kerülnek.
Végül van egy W (m,Qx4,b) predikátumunk, amelyben m egy iob, b egy bodi, Qx4 pedig a Q halmaz egy négyes vektora. Qx4 egy elemét általában p-vel, q-val vagy r-el jelöljük. p=(p1,p2,p3,p4).Qx4 egy pontját két részre bontjuk pt=p1, ps=(p1,p2,p3). pt-t időnek is hívjuk, ps-t pedig helyvektornak nevezhetjük. Emiatt p=(t,x,y,z) jelölés is használatos Qx4-et térnek is hívjuk.
[Általánosítás W(m,Qxn,b), pt=(p1,...,pm), ps=(pm+1,...,pn).]
Ha W(m,p,b), akkor azt mondjuk, hogy az m megfigyelő a b bodit a p pontban látja, méri, koordinátázza. W-t világképrelációnak hívjuk.
Az eddigiekből származtathatjuk a világvonal, életút vagy trajektória fogalmát. Az m megfigyelő szerint a b bodi világvonala [wlinem(b)]azon pontok halmaza, amrelyekben az m megfigyelő a b bodit látja.
Esemény azon b bodik halmaza, amelyeket egy megfigyelő egy p pontban lát. evm(p)={b bodik: W(m,p,b)}. Az eseményfüggvény inverze Locm(e)=p, az a p pont, ahol m az e eseményt látja.
Azt mondjuk, hogy evm(p) és evm(q) egyidejűek, ha pt=qt.
Definiáljuk a hatást a következőképpen (a jegyzetben ilyet nem láttam):
evm(p) hatással lehet evm(q)-ra, ha van olyan ph és t, hogy pt<=t<=qt és ph trajektóriája a q és a p'=(t,ps) pontokat tartalmazza.
--------------------------------
AxField axióma defiálja Q-t és a +, * műveleteket (Q egy test), valamint kiköti, hogy a négyzetgyökvonás Q egy eleme és annak +-ra vonatkozó inverze közül az egyikre értelmezett. Ezenkívül ad egy rendezési relációt.
Abba nem mentünk bele, hogy ez a struktúra mit jelent, csak megállapítottuk, hogy a valós számok halmaza Q egy jó modellje. Az minden más esetben is igaz, hogy Q számossága végtelen.
AxPH axióma (fényaxióma):
a./ Az axióma bevezeti az n dimenziós távolság, vagy vektorhossz fogalmát. Egy
r=(r1,r2,...,rn) vektor hossza |
r|=gyok(r1*r1+r2*r2+...+rn*rn).
Azaz euklidészi térben vagyunk, igaz a Pitagorasz-tétel. Meg a haromszögegyenlőtlenség is.
b./ Minden iob-hoz létezik olyan c mennyiség, hogy
c*|pt-qt| = |
ps-
qs|
akkor és csak akkor ha
létezik olyan ph amelyre p is is q is része ph m szerinti világvonalának.
Néhány megfontolás az axióma értelmezéséhez:
0. c véges, hiszen Q egy eleme.
1.
Vezessük be az p,q közötti sebesség fogalmát:
Ha valamely bodi világvonalának m szerint eleme p és q, akkor p és q között a b bodi m szerinti p,q közötti sebessége:
v= (
ps-
qs)/ (pt-qt). Ha ez állandó akkor
v a bodi sebessége m-ben. Vegyük észre, hogy a sebesség egy vektor.
2.
Az axiómából azonnal következik, hogy léteznek olyan ph-k, amelyek világvonalának legalább két pontja van.
3.
Ha p=(p1,p2,p3,p4) és p'=(p1',p2,p3,p4), p1'>p1, pontokon átmenő két ph világvonalainak van közös q=(q1,q2,q3,q4) pontja, akkor q1=(p1+p1')/2 és az egyik ph sebessége
c, a másiké -
c vektor, azaz egy egyenesben, egymással szemben mozognak.
Bizonyítás
c*|p1-q1|=|ps-qs|=|p's-qs|=c*|p1'-q1|
mivel p1'>p1 q1-re csak p1<q1<p1' esetén van megoldás ekkor :
q1-p1=p1'-q1, azaz q1=(p1+p1')/2
ahonnan |ps-qs|= (p1'-p1)*c/2. Azaz a lehetséges qs-ek halmaza egy gömbfelület.
p1<q1<p1'miatt (
ps-
qs)/(p1-q1) és (
ps-
qs)/(p'1-q1) sebességek egyike
c,másika -
c.
4.
Ha k0 és egy hozzá képest v>=c>0 sebességgel mozgó o1 origójú k1 koordinátarendszer is kielégíti a fényaxiómát, akkor létezik két olyan ph1 és ph2 ph, amelyek világvonalának k0-ban van, k1-ben pedig nincs közös pontja.
Bizonyítás: Legyen p és q k0-ban o1 pályájának tetszőleges két pontja. Ekkor (a háromszögegyenlőtlenség szerint), létezik olyan r pont, hogy a ps,qs,rs háromszög oldalai v*t1,c*t2, és c*(t1+t2), azaz létezik ph amelyik trajektóriája tartalmazza p-t és r-et is (ph1), valamint olyan is amelyik tartalmazza q-t és r-et (ph2).
A k1-ben o1 végig az origóban van. Az r pont megfelelője egy origón kivüli pont.
5.
A háromszögegyenlőtlenség szerint v sebességgel mozgó bodik, trajektóriái nem képezhetnek háromszöget. Igy természetesen a ph-k sem. Azaz ha ph-trajektóriák egy halmaza egy iob szerint egyenes, akkor minden iob szerint az. Az egyenes "meredeksége" minden iob rendszerében az iobhoz tartozó c érték.
Alexandrov-Zeeman tétel szerint, a valós Rx(Rx(n-1)), szám n-esek minden olyan permutációja, mely megőrzi a ”45 fokos dőlésszögű” egyeneseket ( (r1-r0)-(
r-
r0)=1,ahol
r,
r0 eleme Rx(n-1)-nek), az összes egyenest is megőrzi. Ezt azt jelenti,hogy ha c=1 választással élünk minden iob esetén (AxSymd-ben ezt meg fogjuk tenni), akkor lehetséges koordináta rendszereink origóinak trajektóriáit minden iob egyenesnek látja, azaz az origók, egymás rendszereiben állandó
v sebességgel mozognak.
6. Egy megfigyelő minden pontban más eseményt lát.
Bizonyítás:
Vegyünk fel két tetszőleges pontot: p,q Legyen r egy olyan pont, hogy c*|pt-rt| = |
ps-
rs| és c*|qt-rt| <> |
qs-
rs| ekkor létezik ph1 ph ami átmegy a p és r pontokon, de nincs olyan ph amelyik q-n is és r-en is átmegy.
Azaz ph1 része a p pontbeli eseménynek, és nem része a q pontbeli eseménynek, ami azt jelenti, hogy a két esemény különböző.
Ez azt is jelenti, hogy egy megfigyelő egy eseményt csak egyszer lát (hiszen két pontban nem láthatja ugyanazt).
7.
Vizsgálgattuk azt a kérdést, hogy ha a ph-k terjedése valamilyen koodinátarendszerben adott, lehetséges-e a fényaxiómát kielégítő koordinátarendszert találni.
Azt a triviális esetet tárgyaltuk, amikor a ph-k sebessége egy pontban felirható
w=c*
i+
v alakba, ahol
i egységvektor,
v konstansvektor. Ekkor lehetséges ilyen koordináta rendszert találni. Elegendő egy megfelelő Galilei-transzformációval áttérni.
Sejtés:
A fizikailag érdekes esetekben, amikor a ph-k világvonala folytonos és végtelen, akkor és csak akkor létezik izotróp leírás, ha a világvonalakra a következő állítás érvényes(nyilván ez a kérdés a szakirodalomban részletesen ki van tárgyalva, ha valaki tudja jelezze, hogy hol):
Ha két világvonal közös pontjainak száma nem 0 vagy 1 akkor, az egyik világvonal teljes egészében tartalmazza a másikat.
Általánosítva:
A ph-k terjedéséhez akkor és csak akkor lehet a fényaxiómát kielégítő mérési rendszert találni, ha a teret le tudjuk fedni mindkét irányban végtelen, folytonos görbék rendszerével úgy, hogy minden két ponthoz csak egy görbe tartozik és minden ph trajektóriája valamelyik görbébe esik.
Speciálisan, ha egy jelenség terjedése homogén, akkor lehet ilyen rendszert találni.
8.
Ha egy koordinátarendszerben teljesül a fényaxióma, vannak-e más ilyen koordináta rendszerek?
Amennyiben sikerül a k vonatkoztatási rendszerben olyan p négyeskoordinátamértékeket konstruálni, hogy e mértékekben kifejezve a ph-k izotróp terjednek, akkor a Lorentz-transzformáció segítségével tudunk más olyan k' vonatkoztatási rendszereket konstruálni, melyeknek p' mértékeiben kifejezve a fényterjedés szintén izotrópnak adódik.
További ilyen transzformációk: minden mérték egy adott konstanssal szorzása (egységválasztás), eltolás (az origó megválasztása), forgatás (a tengelyirányok kiválasztása), tükrözés (körüljárási irány megválasztása) .
9.
Ha pt=qt és ps<>qs, akkor (ha c nem nulla) nem létezik olyan ph, amely az evm(p) és az evm(q)
eseményeknek is része, hiszen c*|pt-qt|=0. Így egyidejűség esetén p és q egybeesik(ekkor kölcsönösen hathat egymásra), vagy nem lehetnek hatással egymásra. Ez utóbbi esetben az egyidejűségnek fizikai tartalmat tulajdonítani igen erőltetett, filozófiait meg tévedés.
----------------------------------------------------------------------------------------
A fényaxióma iobokra vonatkozó fizikai tartalma:
Végtelen sok az axiómát kielégítő mérési rendszer van.
Minden iob egy az axiómát kielégítő koordinátarendszer szerint mér.
Nincs arra kikötés, hogy különböző iobok különböző rendszereket használnak.
A fényaxióma nem zárja ki, hogy fizikailag ellentmondó rendszert vegyünk fel.
Tehát például azt sem, hogy egy iob egy másik iob sebességére c-nél nagyobb értéket mérjen.
Valamint lehetséges háromdimenziós, euklidészi koordinátákat bevezetni. Azaz van olyan mérési rendszer, amely ezt biztosítja. Természetesen a fizikai tér ettől még nem lesz euklidészi, ez a lehetőség csak a mérési rendszer tulajdonságaira utal. Speciálisan, hogy lehet merev testeket találni. Ez matematikailag nem szükségszerű, így kíserletileg ellenőrízhető.
----------------------------------------------------------------------------------------
AxEv(eseményaxióma): Ha az m megfigyelő egy eseményt a p pontban lát, akkor a k megfigyelő rendszerében van olyan p' pont, hogy k a p'pontban ugyanazt az eseményt látja.
Mivel minden pontnak más esemény felel meg, ez az axióma gyakorlatilag azt mondja ki, hogy különböző megfigyelők rendszerei közötti kordinátatranszformáció egy-egy értelmű (bijektív).
Az esemény axiómából és 4.-ból következik, hogy egy m1 iob koordináta rendszerének origója iob m2 iob rendszerében csak m2 c-jénél kisebb sebességgel mozoghat. A bodikra és iobokra ez nem következik.
Ez az axióma tehát szűkíti a lehetséges mérési rendszerek halmazát, de bármely iobhoz, még mindig bármelyiket választhatjuk.
----------------------------------------------------------------------------------------
AxSelf (énaxióma): Minden iob önmagát az origóban látja,azaz a p=(p1,0,0,0) pontban, p1 tetszőleges értéke mellett. Azaz az iob az origóban áll.
Az axióma jelentősen leszűkiti az adott iobra lehetséges koordináta rendszerek halmazát, a rendszer origójának kijelölésével. Egyben azt is jelenti, hogy ha két iob világvonala nem esik egybe, akkor koordinátarendszereik is különbözőek. Eddig lehetséges lett volna, minden iob-hoz ugyanazt a rendszert rendelni.
Ugyanakkor az axióma igazi jelentése az, hogy összeköti az iobok mozgását a koordináta rendszerrel. Ezen axióma nélkül az iobok mozgásáról nem tudnánk mondani semmit. Az axióma felvétele után már kimondhatjuk például, hogy egy iob az őt mérő iob c-jénél csak kisebb sebességgel mozoghat.
Nyilvánvaló, hogy ha qt=pt és p<>q, akkor az evm(p) és evm(q) események összes közös iobjának világvonala egybeesik, hiszen minden iob a saját origójában nyugszik.
-------------------------------------------------------------------
AxSymd (szimmetria axióma):
Ha két megfigyelő mindegyike egyidejűnek lát két eseményt, akkor megegyeznek abban, hogy milyen távol történt ez a két esemény egymástól. Továbbá, a c=1 minden megfigyelő világképében.
A c=1 nem pusztán a skála kiválasztása. Egyáltalán nem szükségszerű minden iobhoz azonos c-t választani.
Hogy ez csak most kerül rögzítésere, és ilyen bujtatva, nem teljesen érthető. Hiszen a leírásban jelentős szerepe van annak, hogy minden rendszerben azonos c-t választottunk. Ez a választás, az előzők alapján, azt is jelenti, hogy az iobok egymás rendszereiben ("egymáshoz képest") állandó sebességgel mozognak. Ez fontosságát tekintve, lehetne akár külön axióma is.
A távolságra való kikötés jelentését nem látom. Míg a többi axióma viszonylag egyszerű fizikai jelentéssel bír, addig ez az axióma túlságosan elvont és áttételes. Jó lenne, ha más átláthatóbb, vagy akár több kisebb tisztábban értelmezhető axiómával helyettesíthetnénk.
Jelenleg azt nem tudom eldönteni, hogy következő általam hiányolt axióma kifejezi-e egy részét vagy a korábbi axiómákat gyengíthetné:
AxTime (időxióma):
Ha evm(p) hatással van evm(q)-ra, akkor minden iob esetén pt<=qt. Ha evm(p) és evm(q) tartalmaz közös bodit, akkor az egyikük hatással van a másikra.
Ez az axióma fejezné ki az idő egyetlen tényleges tulajdonságát, azt , hogy egy irányba folyik. Úgy sejtem ez következményként a jegyzet axiómáiból is kijön(, ha kizárjuk az "időutazást"). Ez az axióma egyben a bodikra is tenne egy erős kijelentést.
Így az eseményeket, három csoportra oszthatjuk, az egyik megelőzi a másikat (van köztük hatás és pt<qt vagy qt<pt), egyszerre történnek (kölcsönösen hatnak egymásra, pt=qt), nincs köztük hatás.
Összefoglalva: Az axiómák minden megfigyelőhöz definiálnak egy mérési rendszert, amely rendszer bármely euklidészi tér szerinti izotróp jelenségre építhető. Az így keletkezett mérési eredmények első koordinátáját az idő egy mérési reprezentációjának tekinthetjük. Ennek fizikai jelentése nem tisztázott. A javasolt AxTime axióma adna fizikai értelmet ezen paraméternek. Ez alapján láthatjuk, hogy a paraméter önálló jelentéssel nem bír, csak események között értelmezhető. Így az egyidejűség, mint az időmértékek puszta egyezése sem jelent ütközést a hétköznapi, megszokott gondolkodással. Az objektív, abszolút időtulajdonságok a kölcsönhatásokon alapulnak, és a modellen belül is abszolútak, minden megfigyelő ugyanúgy látja őket. Az axiómák azokkal a bodikkal, amelyek nem ph-k és nem iobok csak minimális mértékben foglalkoznak, az eseményaxióma említi őket.
, ő szeret apránként kinyilatkoztatni, élvezi a figyelmet, hát élvezze, mi nem leszünk attól kevesebbek. Mondjuk én sem csapnék a lovak közé olyan gondolatmenettel, aminél garantálható a bukta 
.
