A tetszőleges anyagot tartalmazó tér bármely pontjának elektrodinamikai energiasűrűsége a legáltalánosabb elektrodinamikai szemlélet szerint a következő okokból változhat:
- (1) Elektrodinamikailag leírható formában sugárzódik ki, vagy ilyen formából nyelődik el.
- (2) Elektrodinamikailag nem leírható formába alakul át, vagy ennek fordítottja.
Az utóbbira (2) két lehetőséget veszünk:
- (3) Mechanikai mozgási energiasűrűséggé alakul át, vagy fordítva, abból nyerődik.
- (4) Hővé alakul át, ami viszont fordítva már nem működik.
Ez (4) legutóbbit egyszerűen belekombináljuk az előtte lévőbe (3) azzal, hogy úgy vesszük, hogy a hővé alakulás a mechanikai mozgási energiasűrűséggé alakuláson keresztül történik (de a hő természeténél fogva ugye visszafelé nem).
A legelső (1) hasonló közvetettséggel a másodikon (2) és harmadikon (3) keresztül szintén kapcsolható a (4) hővé alakuláshoz. Sőt, ezáltal a hőmérsékleti kiegyenlítődés is az elektrodinamikailag leírható sugárzási formához, ami ugye szépen magyarázza a hő elektromágneses úton való terjedését.
Na, akkor kezdjünk neki:
Az iménti meggondolásokból leszűrhető, hogy az energiamérleg egyenlet egyik felén az (1) és (3) írandó fel (mert ugye (4) benne van (3)-ban, amik együtt (2)-t jelentik.) A mérleg másik felét majd alkalmas más meggondolások adják.
(1) szerint a tetszőleges anyagot tartalmazó tér bármely pontjának elektrodinamikai energiasűrűségének negatív megváltozása matematikailag az elektrodinamikai
energiaáram-sűrűség hármastérbeli divergenciájából (forrásosságából) a következőképpen adódik:
Gondoljunk el egy hármastérbeli tartományt, és hozzá a "kint" és "bent" fogalmak jelentését, valamint az "áramlás" fogalmának jelentését. Ezek szigorú rendszere kizárják a "nemáramlást", valamint a "kint" és "bent" jelentésének felcserélődését. Viszont az tetszőleges, hogy a hármastér iránytengelyeinek koordinátázása, melyik irányban növekvő értékű. Ezek lehetőségei egymáshoz való matematikai viszonyulásokat határoznak meg. Szimmetriamegfontolásokból szükséges, hogy bármely tetszőleges választás esetén a matematikai leírás megtartsa az említett fontos fogalmak értelmét, hiszen ezek a fogalmak invariánsak a matematikai konvenciókkal szemben. Az áramlás poláris vektor. Ez tulajdonságot szab ki
-re. A Gauss-tételt meggondolva (
térfogati és felületi integrálok közötti kapcsolat) a "kint" és "bent" fogalmak invarianciája
-et a legegyszerűbb lehetőségként vektoriális szorzat alakban való felírásra késztetik:
. A vektoriális szorzás csak úgy ad
-nek poláris jelleget, ha az egyik vektor poláris, a másik pedig axiális. A "kiáramlás" és "beáramlás" fogalmaknak szintén tartaniuk kell az értelmüket (még a később felmerülő mennyiségek tekintetében is). Két lehetőségből választhatunk, és a végeredmény tekintetében az lesz a megfelelőbb, ha a vektoriális szorzatban balról az első a poláris, a második pedig az axiális vektor.
tehát poláris hármasvektor,
pedig axiális hármasvektor. (Nem feltétlen kell most ezt eldönteni, a végén is megtehetjük, mikor már látjuk, hogyan illeszkednek össze a szimmetriák, és hogyan kerülhetjük el a felesleges megfordító előjeleket, de hogy ne cserélődjenek fel a betűjelölések, jobb ha ezt itt előre bocsájtjuk.) (Tisztán matematika az egész az idézőjeles fogalmak értelmezésével együtt.)
Az egyszerűség elvét követve
energia és sűrűség jellegét szimmetrikusan osszuk le
-re és
-ra, így azok gyök energia és gyök sűrűség jellegűek (most ne tekintsük az áramlási jelleg elosztását). Így
és
szintén energiasűrűség jellegű, ahogyan az
szorzat is. Utóbbi mennyiség
-ben szerepel, de az előbbi kettő nem. Tehát az energiamérlegben
-t teljesen figyelembe vettük, de
-t és
-t azonban lehet, hogy egyáltalán nem.
Jó lenne az utóbbi két esetben az abszolút energia(sűrűség) közvetlen kifejeződésétől megszabadulni, ezáltal elektrodinamikai alkotásunkban a rejtőző kvantumosság fizikáját gazdag lehetőségeivel közelebb hozzuk a (speciális)relativitáselmélet fizikájához, amit (utóbbit) lehet, hogy még nem látunk eddigi formánkban, de már benne van.
Ezért ha
-ben és
-ban egy
-t és egy
-t különválasztunk, és mint az aktuális térbeli pontba kívülről, a közvetlen szomszédból belepiszkáló mennyiségnek tekintünk, és egyúttal csak az energiaváltozásokat tekintjük mindenféle egyéb megkötés nélkül, akkor ezzel az egyébként körültekintő (ellentmondásokba esetleg legkevésbé, vagy lehet egyáltalán nem vivő) szabadsággal olyan általánosságot nyerünk, amely igen széleskörű és hasznos elektrodinamikai leírás lesz. A leválasztott mennyiségek így némileg hasonló, de új mennyiségeket jelentenek. Jelöljük
társát
-vel,
társát
-vel, és nyilván ezek is energiasűrűség jellegűek ebben az egyszerű, minden felesleges toldalékot elkerülő egységrendszerben. (A vákuumbeli
fénysebesség, mint inerciarendszer független határsebesség, és mint viszonyítási alap, az elméletből természetesen adódik.)
Az energiasűrűség változás mérlegébe így
és
helyett
és
mennyiségeket vesszük (a := azt jelenti, hogy legyen egyenlő), amihez csupán a pillanatnyi
és
kapcsolat kell. Ez általában nem függvényt, csupán szakaszos menetű aktuális függést jelent, mert általában nem visszatérő jellegű. (
Ha jól gondolom, akkor ennek a kapcsolatnak (ha ábrázoljuk grafikusan) a meredeksége nem válthat előjelet.)
, és hasonlóan
.
Tehát egy oda- és visszamenet alatt lehet máshova, azaz más állapotba jutunk, mint pl. egy első mágnesezési görbe után a visszamenet nem az origóba tart. Az energiamérleg számára csak az éppen aktuális változás kell. Ezek
-hez és egymáshoz viszonyuló együtthatóinak abszolút értéke a mérlegben 1, mivel mást kizáróan láthatóan matematikailag ezek így együtt vannak azonos mértékskálán. Tehát a mérleg fentebb említett másik felén a két ügyesen megalkotott mennyiség fog szerepelni.
Hátra van még a mechanikai (és egyúttal, amit magába foglal, a hő-) energiává alakulás, és fordítottjának figyelembe vétele (ami a hővé alakulás esetén egyszerűen nem valósul meg, legfeljebb a hőkülönbségekből adódóan alakulhat vissza elektrodinamikai energia (
értem ezalatt az elektromágneses energiát..)).
A hagyományos anyagot mechanikailag nyugalmi tömeggel rendelkező áramló anyagsűrűség jellemzi. Ezt kell hozzákapcsolni az elektrodinamikánkhoz. Egyszerűen részében összerögzítjük az elektrodinamikával. A legegyszerűbb és egyben legminimálisabb megoldás a PONTszerű összerögzítés. Az adott térbeli pontban az
és
energia PONTszerű objektum (
az anyag feltételezett és valamilyen kötődésű része) általi vezetődését kell tehát még megalkotni a mérlegben. Erre egyszerűen alkalmazunk két mennyiséget, a
és
éppen kialakult vezetődéseket. Ezek nem konkrét mennyiségek, csupán alkalmasak, és elfedik az itt érdektelen, de egyébként bonyolult részleteket. Magukban rejtik minden esetben a mechanikai energiává alakulást, és ennek fordítottját (az akár tehetetlenségből, akár egyéb okból következik), valamint a hőenergiává alakulást (pl. statisztikus jellegű mechanikai ütközések, vagy bármilyen egyéb mechanikus formában elképzelhető úton), összekapcsolják az EM sugárzási és elnyelődési mechanizmusok esetén is a számításba vett energiaformákat. Leegyszerűsítve és egy másik nézetből ezek mind a lokális konduktív és konvektív vezetődési (illetve kifordítva annak akadályoztatása..) formákban valósulnak meg. Az energiamérlegbe ezeket tehát az
és
tagokkal tudjuk figyelembe venni, ahol
és
jelöléseket alkalmazzuk, aminek jelentése majd később kiderül.
Írjuk fel az energiamérleget:
.
.
Egyszerűsítünk
-vel:
.
Alkalmazzuk a
vaktoranalízisből ismert összefüggést:
.
Külön oldalra rendezzük az
, és külön a
együtthatókat tartalmazó tagokat, majd kiemelünk:
,
.
Mivel
és
lokálisan függetlenek, az egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha a zárójeles kifejezések nullák. Tehát ezzel a következő két egyenletet kapjuk:
,
.
Mivel a rotáció divergenciája nulla, még a következő két egyenlet is adódik:
,
.
Amelyek Gauss tétele szerint kontinuitási egyenletek.
Ezek alapján
és
a megmaradó
és
mennyiségek áramsűrűségeit jelentik.
Vegyük észre a pszeudoeuklideszi négyestér szerkezetet, az egyenletek és mennyiségek összetartozását.
(A használt szignatúra (+,+,+,-)-os.)
,
.
Ezek egy
antiszimmetrikus négyestenzor divergenciáját jelentik:
.
, vagyis
, ahol
az elektromos töltések négyes áramsűrűsége.
Fontos, hogy
axiális, és
poláris vektor, mert csak így illik
-ba.
.
A másik két egyenletet is hasonlóan felírva azt kell látni, hogy
lehet csak, mert különben azt állítanák, hogy
-hoz teljesen hasonlóan lehet antiszimmetrikus négyestenzorba foglalni
és
hármasvektorokat. Viszont ezek axiális és poláris jellege éppen fordítva van, ami akkor matematikailag nem stimmelne.
,
,
, vagyis
, ahol
.
Ezzel a mágneses töltések, mint monopólusok, tiltva vannak, amely következetesen matematikailag jön. A mágneses dipólus, vagy hasonló magasabb rendű eseteket, összefüggő anyagszerkezetek valósíthatják csak meg, de azok semmilyen darabolásával nem lehet különválasztani a mágneses pólusokat, mert azok önmagukban nem tudnak létezni.
Írjuk fel, hogy eddig mire jutottunk az energiamegmaradás elvéből tisztán spekulatív matematikai úton a lehető legegyszerűbb és legkevesebb kiindulásokból. (
Néhány feleslegessé vált indexet elhagyok.)
,
,
,
.
Ezek a Maxwell-egyenletek.
-t és
-t sikerült négyes struktúrába írni, próbáljuk meg
-t és
-t is.
Mivel a rotáció divergenciája nulla, valamint
axiálvektor, a harmadik egyenlet szerint lehetséges, hogy
képezhető rotációval.
.
Mivel a gradiens rotációja nulla, a második egyenleten nem változtat, ha a jobboldalából levonunk egy
mennyiséget, ahol
hármasskalár mennyiség.
,
,
.
Ez alapján lehetséges, hogy
-t fel lehet írni a zárójelben lévő kifejezéssel.
.
Mindent összevetve könnyen látható, hogy ha az
hármasvektort a
hármasskalár egy
négyesmennyiséggé egészíti ki, akkor ennek a
négyesrotációja egy olyan
antiszimmetrikus négyestenzor, melynek térszerű elemeit az axiális
hármasvektor, időszerű elemeit pedig a poláris
hármasvektor alkotja. A hármasrotációt éppen az iménti egyenlet zárójelben lévő kifejezése egészíti ki négyesrotációvá.
.
Nézzük, hogyan tudjuk
-t értelmezni. Rögzítsük az értékét, és ez mellett vizsgáljuk meg a statikus elektromágneses teljes tér energiájának valamilyen megváltozását. Ekkor a statikusság miatt minden
tag eltűnik az egyenletekből.
,
,
,
,
,
.
A lokális energia(sűrűség)mérleg a fentiek alapján egy valamilyen
megváltozással a következő alakú:
(A 2-es együttható azért kell, mert a mérlegünk tagjai az energiasűrűség dupláját jelentik. A negatív előjel helyessége az eredmény értelmezéséből látható majd.)
,
.
Jobboldalt az utolsó tag
helyett most
, mert rögzített
esetén
is rögzített. Viszont
-val még fel tudunk írni egy ilyen tagot.
Alkalmazzuk a
vaktoranalízisből ismert összefüggést:
.
Baloldalon az első tag azért tűnik el, mert
. A második két tag kiejti egymást, mert
. Marad a következő:
.
Az első tag az elektromos, a második a mágneses energiasűrűség megváltozását jelenti.
Integráljuk ezt a teljes háromdimenziós térfogatra:
.
Foglalkozzunk előbb a jobboldali első taggal. Mivel most
, a következőt kapjuk:
.
(Itt felhasználtuk a
vaktoranalízisből ismert összefüggést, ahol
skalár,
vektor.)
Az első tag Gauss tétele alapján a tartományt határoló felületi integrállá alakítható, és a végtelenben
,
és
nulla, valamint kellő gyorsan tart nullához. Marad tehát:
.
Ezután nézzük a korábbi egyenlet utolsó tagját. Mivel
, a következőt kapjuk:
.
(Itt felhasználtuk a
vaktoranalízisből ismert összefüggést.)
Az első tag Gauss tétele alapján a tartományt határoló felületi integrállá alakítható, és a végtelenben
,
és
nulla, valamint kellő gyorsan tart nullához. Marad tehát:
.
Egybeírva az eredményeket láthatóan négyes skalárszorzatra jutunk:
,
.
Ebből jól látható
potenciál jellege.
a négyes,
a hármas vektorpotenciál, és
a hármas skalárpotenciál. (
ugye az elektrodinamika objektumát képviselő mennyiség, amely tartalmazza a konduktív és konvektív töltésáramokat is.) Ebből pedig látható
,
és
,
térerősség jellege (utóbbi kettő az indukció).