A nem relativisztikus klasszikus pontmechanika Lagrange-függvényes legkisebb hatás elvét elég részletesen tárgyalja a Landau I könyv
http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/t ... 01s02.html . A relativitáselmélettel foglalkozó Landau II könyv számos helyen levezetések kiindulásaként alkalmazza a legkisebb hatás variációs elvét, ami nagyon dicséretes dolog. Viszont nagy különbség van egyrészt a
relativisztikus és a
nem relativisztikus világmodell matematikai struktúrája között, valamint a
pontszerű és a
folytonos anyagi szerkezet között. (Megjegyzem, hogy a folytonos anyagi szerkezet alatt értem most éppen azt is, ami ténylegesen fizikailag pontszerű,
mint pl. az elektromos töltés, de gyakran olyan matematikai módszert alkalmazunk, amiben folytonosan elosztottnak vesszük. Ezt szoktam álkontinuumnak nevezni.) Ezért több "Miért így?", "Miért úgy?" fontos alapvető dologra (felmerülő kérdésre,
(már, ha valakiben egyáltalán felmerülnek..)) nem kielégítőek a Landau I könyv magyarázatai, így azokat érdemes újra átgondolni, hiszen éppen azokra támaszkodva alkalmazzuk a relativitáselméletben is a legkisebb hatás módszerét. Itt-ott azért vannak ezekkel kapcsolatban megjegyzések, mondatok a Landau II könyvben is, de szerintem azok még kevesek, és a hatáselv is inkább már csak sablonszerű benne.
Tisztázzuk a talán egyik legszembetűnőbb dolgot, hogy hagyományosan (és a legáltalánosabb esetben) a Lagrange-függvény a(z általános) koordináták (
amiket egyszerűen összefoglalva most csak egy -val jelölünk) és azok idő szerinti első deriváltjaitól, valamint az időtől függ:
. Ez olyan forma, amiben az idő nem egyenrangú a hagyományos térkoordinátákkal, viszont a relativitáselméletben a tér-idő egyenrangúan összeolvad. Ennek ellenére a Lagrange-függvény ugyan ilyen forma marad, és a tényleges alakja tartalmazza a relativisztikusságra utaló kifejezéseket. Nincs, és nem is kell/lehet a relativitáselméletben a Lagrange-függvényt más analóg formára alakítani a pontmechanikai esetben. Ez látható is a Landau II könyv 42-44. és 69-71. oldalain, valamint a Novobátzky könyv 95-96 oldalain. Ám hatalmas tévedés és matematikai hiba van a Novobátzky könyv 97-98. oldalain (
csakúgy, mint Dávid Gyula "Gold-kategóriás..." előadásában https://www.youtube.com/watch?v=E3cz7b6PnZs 1:54:17-től), ahol ő mégis megpróbálja ezt kovariáns alakra formálni. A hiba magyarázata itt
viewtopic.php?f=8&t=909&start=108 található, de legfőbb lényege, hogy a Lagrange-függvényből a hatásintegrált a
megfigyelő szerinti idővel szorozva kell képezni, amit egyáltalán nem lehet megváltoztatni
sajátidőre, HA a pontmechanikánál maradunk.
Ha azonban kontinuum szerkezetre térünk át, akkor azzal a Lagrange-formalizmus kovariáns alakúra változik. Ennek menete pontosan le is van írva az
Energia-impulzus-tenzor, megmaradások, tömeg című (
lelakatolt) topikban
viewtopic.php?f=8&t=900&start=6 :
szabiku írta:, ahol
jelöli a hagyományos Lagrange-függvényt, és
a hagyományos "valódi" időt (amit fentebb
-val jelöltünk), azaz nem koordinátaidőt, hanem egy bizonyos megfigyelő sajátidejét, aki a rendszert az adott helyen szemléli, és órájával az ottani események között eltelt időt méri. Tulajdonképpen ezt a szemlélőt az infinitezimális anyagdarabhoz rögzítjük, és ugye már megtárgyaltuk, hogy ez nem értelmezhető a kölcsönhatásban álló anyagrészecskék nyugalmi rendszerének, csupán csak az infinitezimális anyagdarab (mondhatni) nyugalmi rendszerének.
Az
hatás invariáns skalár kell legyen. Mivel ebben a szemléletben
még a pontszerű anyagrészecskére vonatkozó Lagrange-függvény, és a nyugalmi rendszer is erre vonatkozik, így az egyenletből látható, hogy
nem invariáns skalár.
Térelméletről lévén szó, nekünk ez így még egyáltalán nem jó. A Lagrange-függvényt Lagrange-sűrűséggel kell megadnunk, és az egész rendszerre integrálnunk kell, ami a világ esetén a teljes hármas térfogat. Ebben a (már térelméleti) szemléletben
már nem a pontszerű anyagrészecske a főszereplő, hanem az infinitezimális anyagdarab, tehát az
a következő lesz:
, ahol
a Lagrange-sűrűség.
Ezt behelyettesítve, kapjuk:
(A megfigyelő
sajátideje
átírandó -ra, valamint ne feledjük, hogy
csupán "koordinátaidő", és
.)
,
ahol
.
A jelölések egyszerűsítése végett az integrálási tartományok határait már nem jelöljük, de az elvnek megfelelően értjük.
.
Mivel itt
már invariáns skalár, így az
Lagrange-sűrűség is az.
szabiku írta: a háromdimenziós tér metrikus tenzorának determinánsa,
melyre a következő áll:
, tehát
, és mivel
, ezért
.
(Landau könyv 84. paragrafusa.)
Ebben
egy megfigyelő valódi sajátideje, aki az
háromdimenziós térbeli pontban (világvonalon) van, tehát számára
. Bevezetve egy
"koordinátaidőt" (ami nem valódi idő),
, és ezzel:
.
Vegyük észre, hogy ebben a
nem egyszerűen csak át van írva a mozgó objektum
sajátidejére, hanem a leírtak szerint válik azzá.
igazából (inkább) már csak képviseli a hagyományos Lagrange-függvényt, amely eredetileg a
,
, és
mennyiségektől függhetett. A kérdés ugye az, hogy mitől függhet a Lagrange-sűrűség? Hát mivel a megfigyelő szerinti
idő a Lorentz-transzformáció miatt más inerciarendszerbeni térbeli távolságokat is jelent, ezért a hagyományos
függéshez az esik a legközelebb, amely ezt tartalmazza (lokálisan ugye most tetszőleges inerciarendszert feltételezve), ha az
Lagrange-sűrűség
mellett
függvénye is. Ennek megfelelően a hagyományos
függés megfelelője a Lagrange-sűrűséges esetben az
függés. Ha azonban ez utóbbit expliciten nem engedjük meg, az a zárt rendszer elképzeléshez közelítő szűkítést jelent. (
Azért fogalmaztam ilyen körültekintően az utóbbi mondatot, mert a sűrűséges esetben már ettől még nem biztos, hogy igazán zárt a rendszer. Lehetőség van ebben a sűrűségekkel (folytonos elosztottságokkal) dolgozó formában függés nélkül részrendszereket vegyíteni, melyek nyitottak egymás számára akkor is, ha a másik nincs jelen...) Tehát ekkor a Lagrange-sűrűség:
.
Azonban ne felejtsük el, hogy a levezetésben nem feltételeztük azt, hogy
lenne, tehát általában
. Ez pedig azt jelenti, hogy a Lagrange-sűrűség ekkor a
és
mennyiségekből történő skalárképzések miatt a metrikus tenzornak és első deriváltjainak is a függvénye. Ha ezeket nem tekintjük dinamikai változóknak, akkor ezek révén végül
expliciten fog függeni
-ktől. Ha helyfüggetlenül egy értéken rögzítjük a metrikus tenzort, akkor ez utóbbit elkerüljük (és a deriváltjai is nullák) ugyan, viszont ha az nem Galilei-féle, akkor még mindig vannak komplikációk. Tehát ha a metrikus tenzor helyfüggő, akkor a rendszer csak úgy lehet zárt, ha a metrika is dinamikai változó. Viszont ezzel maga a téridő is csatlakozik a "mozgás"ban lévő objektumok köréhez (hiszen így az már nem merev), és részt vesz a "mozgást" jelentő energiaátalakulásokban, így csak vele együtt zárt a teljes rendszer. Ebből az is következik, hogy ekkor a Lagrange-sűrűségben kell, hogy legyen olyan különálló tag, amely csak a téridőt leíró mennyiségekből áll, vagyis amik teljesen leírják a téridő metrika szerkezetét. Ezek a mennyiségek a metrikus tenzor és annak első- valamint másodrendű parciális deriváltjai. Ekkor tehát a skalár Lagrange-sűrűség:
.
Ezek után tekintsük a Landau II könyv 32. paragrafusát
http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/t ... 04s07.html . Ez egy nagyon-nagyon hanyag és rossz paragrafus, roppant megtévesztő és becsapós, ami felszínesen gondolkozva szinte észre sem vehető, pedig tele van elvi hibával. Ezek egy részét már tárgyaltam a fentebb említett topikban
viewtopic.php?f=8&t=900&start=7 . Most rátérek a
hiba hatásvariációs eredetére.
(Most gravitációs hatás nincs, a téridő merev, és Galilei-féle a koordinátázás, tehát
.)
, ahol ugye
. Ennek megfelelően képezzük a variációt:
. Kihasználjuk, hogy
, mert a differenciál variációja a variáció differenciálja.
.
A középső tag a Gauss-tétel szerint átalakítható, és a teljes térre való integrálás során eltűnik. (A térszerű végtelenben anyag nincs, az időbeli határokon pedig a variáció nulla.) Marad tehát:
.
A Landau könyv amolyan szokás szerűen ezután azt állítja, hogy a szögletes zárójelben álló kifejezés nulla
http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/t ... x1-50002r2 ,
csakhogy az általában nem igaz. Egyszerűen el van felejtve, hogy itt már általában nem pontszerűek a mozgó fizikai objektumok, mert a folytonos anyag mozgásáról van szó. Ha az integrálási tartomány időszerű részét egy infinitezimálisan kicsi intervallumra szűkítjük,
az egész integrálás térszerű kiterjedése még mindig ott van, és a hatás variációjának eltűnése erre az egészre vonatkozik, NEM pedig ennek tetszőlegesen kis darabjára(!!). Ez lényeges.. Az nyilvánvaló, hogy a kontinuum egyes darabkái általában kölcsönhatásban vannak egymással, és ennek megfelelően mozognak.
A (32,2) állítás csak abban az esetben jó, ha porszerű (ál)kontinuumról van szó, tehát melynek részecskéi ténylegesen fizikailag PONTszerűek, és csak matematikai módszerből vannak folytonosan elosztva, tehát
"ferdítés" nélkül különválaszthatóak. (
Vagy még akkor alkalmazható, ha matematikai vizsgálat céljából kiszemelt próbatestként tekintünk az anyag egy kis darabkájára, és így (körültekintően) elválasztjuk a környezetétől, és úgy kalkulálgatunk... De most nem ezt csináljuk.) Legyen most álkontinuumról szó, és akkor tényleg:
.
A Landau II könyv a következőt írja ezután:
Landau könyv írta:"A továbbiakban az eljárás azonos azzal, amit a mechanikában az energiamegmaradás törvényének levezetésekor megismertünk. Eszerint felírjuk, hogy "
(Erre gondol http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/t ... /ch02.html )
, ahol ugye
a mozgó fizikai objektumra vonatkozik, és a teljes
megváltozásnak az
iránymenti komponensét jelenti (
nem pedig az explicit függését..).
Behelyettesítve
-nak az előbbi
alakját a jobboldal:
, majd megcserélve az utolsó tényezőben a parciális deriválások sorrendjét:
, és kiemelve az
szerinti deriválást, kapjuk:
.
A teljes egyenlet
.
Ennek a baloldalát egy egyszerű trükkel szintén, mint a jobboldal,
szerinti divergencia alakúra hozzuk.
. Nullára rendezve:
.
A zárójelben álló kifejezés analóg a hagyományos Lagrange-formalizmusra és pontmechanikai esetre vonatkozó
energiával, csak itt energiasűrűség jellegű és tenzor szerkezetű. (
Landau I könyv 6. paragrafus (6,1).) Ennek megfelelően ez lehet a
energiaimpulzus-tenzor, de még probléma adódhat az esetleges nem szimmetrikussága miatt...
A mozgó objektumra vonatkozó
teljes megváltozásra, vagyis az
iránymenti komponensének megváltozására az esettől függő értelemszerű állítások érvényesek, és ezek alapján tudunk továbbhaladni.
Ha a porszerű (ál)kontinuum PONTszerű részecskéi inkoherensek, azaz nem érintkeznek, és egyéb módon (
pl. elektromágnesesen) sem hatnak kölcsön egymással, akkor a rendszer tényleg teljesen zárt, és
, vagyis
.
Tehát ekkor a fentiek alapján
, azaz a zárójelben lévő (
dimenziója alapján) energiasűrűség jellegű mennyiség divergenciamentes.
Ha most visszatérünk oda, ahol a hatásintegrál variációjában a Gauss-tétel alkalmazása után elvesztettünk egy középső tagot, akkor láthatjuk, hogy az majdnem olyan alakú volt, mit a zárójelben lévő utóbbi mennyiség. A Landau II könyv 46. oldalához, és a Landau I könyv 43. paragrafusához hasonlóan
tekintsük a megvalósult mozgások mellett a hatást, mint a koordináták függvényét. A Lagrange-sűrűséges esetben ez a következőképpen néz ki:
.
Az integrál Gauss tétele szerint egy zárt hiperfelületi integrál. Az integrálás időszerű intervallumának alsó kezdő részén nem variálunk, így már csak egy végtelen hipersíkon integrálunk valamelyik inerciarendszernek megfelelően. Mivel porszerű álkontinuumról van szó, tekinthetjük a hatást külön az egyes mozgó objektumokra, tehát az adott ponton éppen az áthaladó PONTszerű objektumra vonatkozónak, így az integrálás teljesen megszűnik, és a zárójeles kifejezést a következőképpen írhatjuk:
, ahol az
-nak már sűrűség jellege van, valamint a fenti kifejezésből adódóan vektor.
A hatás ugye most az
koordináták függvénye, tehát az
hatássűrűség is:
.
Tehát írható, hogy
, valamint, hogy
.
az általános impulzussal analóg, csak itt sűrűség jellegű, és tenzor. Így
a "nem tiszta" kinetikai tenzort kell jelentse, és a kinetikai energiával analóg, csak sűrűség jellegű. (Esetleges szimmetriaproblémájuk itt még megvan...)
A szóban forgó inkoherens porszerű álkontinuum részecskéi tulajdonképpen zavartalan szabad egyenesvonalú egyenletes mozgást végeznek, és elosztva a tér minden pontján jelen vannak. A hatásintegrál egyszerűen a szabad semleges részecskék hatásának felösszegzéséből adódik. (Itt (+,+,+,-)-os szignatúrát használok.)
.
Tehát
. A részecskék állapotát a világvonaluk meredeksége határozza meg, tehát a
általános mennyiségeknek a részecskék
mennyiségeit értelemszerű megfeleltetni, és az
mennyiségeket csupán független rögzített paramétereknek szabad tekinteni a variálás szempontjából (a nem változó
-ból való eredete miatt
-t szintén).
Ezek alapján a kinetikai tenzor:
.
Amiből indexfelhúzással
adódik, és ráadásul éppen szimmetrikus is, ahogy kell legyen.
Ha képezzük a hatás variációját az előbbi meggondolások alapján:
,
akkor látható, hogy a variálás a metrika felé húzódik, ami utal a majd később tárgyaltakra...
Ha a porszerű álkontinuum részecskéinek elektromos töltésük van, akkor már nem inkoherensek, és nem végeznek szabad mozgást. A részecskék köztes terét elektromágneses tér tölti ki, és ez alapján kölcsönhatásban vannak egymással. Ha nem veszünk figyelembe sugárzási és elnyelési effektusokat, akkor energiaimpulzus-tenzoruk ily módon egymás komplementerét alkotják, és együttes divergenciájuk nulla marad, csak a teljes Lorentz-erő hat (nincsenek sugárzási fékező és elnyelési gyorsító kiegészítő erők figyelembe véve..).
Az elektromágneses mezőre szintén jó a
Lagrange-egyenlet. Ennek a kvantumtérelméletbe nyúló magyarázata van, amit majd egy későbbi hozzászólásomban fogok tárgyalni.
Klasszikus rugalmas igazi kontinuum esetében a
egyenlet nem vezet a szokásos alakú Lagrange-egyenletre, ugyanis (ahogy azt már fentebb leírtam):
szabiku írta:Egyszerűen el van felejtve, hogy itt már általában nem pontszerűek a mozgó fizikai objektumok, mert a folytonos anyag mozgásáról van szó. Ha az integrálási tartomány időszerű részét egy infinitezimálisan kicsi intervallumra szűkítjük, az egész integrálás térszerű kiterjedése még mindig ott van, és a hatás variációjának eltűnése erre az egészre vonatkozik, NEM pedig ennek tetszőlegesen kis darabjára(!!). Ez lényeges.. Az nyilvánvaló, hogy a kontinuum egyes darabkái általában kölcsönhatásban vannak egymással, és ennek megfelelően mozognak.
A Lagrange-egyenletet elrontják az állapotváltozások, melyek olyan szimmetrikus belső energiaátalakulásokat jelentenek, amik variációs járulékai az integrálás felösszegezése során kiejtik egymást, és így hatásként nem jelentkeznek. Ez azt is jelenti, hogy a hatásvariációs elven kívül állnak, tehát erre vonatkozólag az nem mond semmi konkrétat, vagyis plusz egyenlet(ek) szükségesek még a tényleges mozgás meghatározásához, a teljes mozgásegyenletek felállításához.
, majd a fenti számolás után
.
Hasonlóan próbálunk eljárni, mint fent. Megpróbáljuk szétválasztva tekinteni a rugalmas kontinuumot úgy, hogy egyik része csak a zárójelben lévő első tagot jelentse, így ez "nem tiszta" kinetikus jellegű lesz, és a zárójelben lévő második tag így csak a kölcsönhatást fogja jelenteni. A "nem tiszta" kinetikus nyugalmi tömegsűrűségbe viszont (
ahogy az idézőjeles jelzője is mutatja) mindent bele kell számolni, tehát a különválaszthatatlan tiszta kinetikus részt (és csak ezt jelöli már
), a rugalmas nyugalmi
energiasűrűséggel ekvivalens
nyugalmi tömegsűrűséget (ezeket együtt
jelöli), valamint a
nyomásnak (vagy
skalár nyomáspotenciálnak) megfelelő ekvivalens
nyugalmi tömegsűrűséget. Ezek mind így együtt
.
.
egyszerűen így a
skalár nyomáspotenciálból eredő energiasűrűség, vagyis az izotróp
nyomás lesz. (Ez teljes analógiában van a Landau I könyv (6,1), (6,2), (6,3) képleteivel.)
Így tehát
, vagy indexfelhúzás után:
.
Ha a negatív nyomás esetét is bele szeretnénk venni, akkor a
helyett
-t írunk, és a
nyomás helyett annak
abszolút értékét. A
a nyomás negatív értéke esetén fellépő erőmegfordító tag.
-----------------------------------------------------------------------------------
Térjünk át most egy kicsit más gondolatmenetre. Láttuk, hogy az
Lagrange-sűrűség energiasűrűség jellegű skalár mennyiség, és a hatás ez alapján a következő integrált jelenti:
.
A legkisebb (vagy stacionárius) hatás elve tulajdonképpen azt követeli a megvalósult "mozgásoktól", hogy ha valami bárhol infinitezimálisan kis mértékben másképpen "mozog" (vagyis zajlik le), akkor az nem változtatja meg a hatást. Tekintsük a teljes rendszert zártnak, tehát nincs semmilyen külső világ, így az nem táplálhat semmiféle energiát (vagy ugye ezzel ekvivalens mennyiséget) a létező világba, és fordítva. Ez egyébként még nem zár ki olyat, hogy az energia gravitációs formát öltsön, és fordítva, vagy pl. olyat sem, hogy a létező világon belül esetleg keletkezik vagy eltűnik "energia"
(vagy hasonló) valami olyan érdekes csuda folytán, mint pl. a világegyetem tágulása, amivel kapcsolatban már maga az energia fogalma is szétesni látszik... Viszont ez mellett a hatáselv biztosítja az alapvető megmaradási elveket (energia-, impulzus-, impulzusmomentum megmaradás). Ez azt jelenti, hogy a teljes rendszer belső részrendszerei között a megmaradási elveknek megfelelően történnek átalakulások, "mozgások", melyek nyilván egyértelműek (
most klasszikus elméletről van szó, és nem statisztikus kvantumelméletről..), azaz határozottak (ehhez általában a hatáselven kívüli egyenletek is szükségesek lehetnek, melyek állapotegyenleteket jelentenek).
Először még nem tekintjük a hatás gravitációs részét. Vegyük a teljes energiaimpulzus-tenzor divergenciáját, és ezt tetszőleges koordinátázás esetében, azaz akkor a kovariáns divergenciáját kell vennünk. Mivel a teljes energiaimpulzus-tenzort nézzük, ennek kovariáns divergenciája csupán azokat a mennyiségeket adja (
és esetleg
), amik az állapotegyenletek miatt keletkeznek, és ezeknek kölcsönösen ki kell ejteniük egymást a variációs felösszegződés folytán. (
Alakjuk , amelyet ha skalárisan megszorzunk a koordináták variációjával, akkor kifejezésre jutunk. Tehát ezek a tagok nem zavarnak.) A téridő variálása, vagyis a világ (mint eseménysokaság)
koordinátáinak variálása pedig éppen azt jelenti, hogy bármilyen megvalósult "mozgásról" is legyen szó, azt ezzel infinitezimálisan kis mértékben megmásítjuk. És mivel a koordináták bizonyos megváltoztatásai a téridő szerkezetét is megváltoztatják, szükségképpen azt is jelenti, hogy a téridőt nem tartjuk merev szerkezetnek, ami némiképpen anyag jellegű tulajdonságokat szerez neki.
Ezzel fel tudjuk írni az anyag hatásának variációját, hiszen az energiaimpulzus-tenzor kovariáns divergenciája az említett tagok mellett a külső erősűrűséget jelenti, melyet ha skalárisan megszorzunk egy virtuális elmozdítással, akkor éppen egy virtuális négyesmunka sűrűségét kapjuk, aminek téridő integrálja (mértékegység illesztéssel) éppen a virtuális külső hatást jelenti az anyag szempontjából, ami nem más, mint az anyag hatásának variációja.
. Ami
,
mert ehhez kell majd még feltétlenül hozzávenni a téridő szerkezetének, vagyis a gravitációs térnek a hatását. A negatív előjel csupán egy megelőlegezett konvenció, az
pedig a szükséges mértékegység illesztés. Az integrálás térszerűen a végtelenig kell terjedjen, vagy legalább is minden világvonalat fel kell öleljen, időszerűen pedig egy nem végtelen nagy (és nem nulla) intervallumon van. Még egyszer megjegyzem, hogy itt
, mint ahogy azt a Landau II könyvben (94,7) hibásan állítja. (És előtte is hibás, mert ahogy írtam, itt
.)
A cél az, hogy ezt olyan alakra hozzuk, melyben maga
vagy
szerepel, és nem pedig a divergenciája. Ezzel olyan hasznos alakra jutunk, amely átalakítással mindig elérhető a hatás Lagrange-sűrűséges alakja felől, és így abból variációs úton meg tudjuk határozni az energiaimpulzus-tenzor alakját.
Adjunk hozzá egy előrelátva kigondolt megfelelő integrált, melynek értéke nulla, és így ezzel nem rontjuk el az összefüggést, viszont hasznos átalakításokat tehetünk vele.
.
Ez azért nulla, mert a Gauss tétellel a tartományt határoló hiperfelületre vett integrállá alakítható, és ott a koordináták variációja nulla. Tehát ezt hozzáadva az egyenlet jobb oldalához átalakításokat fogunk végezni.
.
Először önmagában az első tagon:
.
Bővítettünk
-vel, majd a Landau II könyv (86,9) összefüggése alapján léptünk tovább.
Ezt visszaírva a hatásvariáció egyenletébe összevonhatjuk a két tagot.
,
.
Az első sorban csak egybeírtuk az integrálokat, a másodikban a szorzat deriválásának egyszerű szabályát alkalmaztuk, majd utána az index fel-le húzásnál azt használtuk ki, hogy a metrikus tenzor egyszerűen bevihető a kovariáns deriválás alá. Ezután kihasználjuk, hogy az energiaimpulzus-tenzor a tömeg-energia ekvivalencia miatt szimmetrikus.
.
Az utolsó lépésben pedig azt a nagyon fontos dolgot használtuk fel, hogy
. Ennek levezetése a Landau II könyv 94. paragrafusában található a 350-351. oldalon
http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/t ... 11s04.html .
Az eredmény azt mutatja, hogy a "mozgás" tekintetében (leszámítva a még szükséges állapotegyenleteket) a szinte mindent jelentő energiaimpulzus-tenzor alakja kinyerhető a Lagrange-sűrűségből pusztán a metrikus tenzor variálásával.
.
Kihasználjuk, hogy
, mert a differenciál variációja a variáció differenciálja.
.
A második és az utána következő tagok parciális deriválásai átháríthatóak a metrikus tenzor variációiról a másik tényezőre, és közben alkalmazva Gauss tételét a teljes parciális deriváltak eltűnnek, mert az integráljaik nullát adnak (a határoló felületen a variációk nullák).
.
A szögletes zárójel előtti kihozott negatív előjel szükségessége ezen a ponton nem látható be egyértelműen. Ugyanez az egyenlet a metrikus tenzor inverzével éppen ebben különbözik:
.
(A második vagy a magasabb rendű tagok léte is hasonlóan kérdéses...)
Ez alapján (és izotróp nyomás esetén) a rugalmas kontinuum
képletének levezetése megtalálható a már említett
Energia-impulzus-tenzor, megmaradások, tömeg című (
lelakatolt) topikban
viewtopic.php?f=8&t=900&start=6 a fenti első idézett rész után. (
. Variációs mellékfeltételek, hogy az
integrális tömeg és a
nyomás állandó.)
szabiku írta:A variációs hatáselv szerint (a levezetést mellőzve) az energiaimpulzus-tenzort a következő alakban kell keresni:
(9)
, ahol , ami a kovariáns mozgásegyenletet jelenti.
Az ígért levezetést előbb megtettem. Az áthúzott rész nem kell. Amikor ezt a részt írtam, akkor még nem figyeltem fel a
egyenlet hibájára, és hogy a "mozgás"egyenletekhez kellenek az állapotegyenletek is.
A skalár Lagrange-sűrűség, mivel általában vektor, tenzor jellegű mennyiségekből kontrakcióval képződik, nyilván függ a metrikus tenzortól és annak parciális deriváltjaitól. Kérdés, hogy hányadrendű deriváltak variációja számít még a hatás variációjában? Hát ha a Lagrange-sűrűség függ a magasabb rendű deriváltaktól is, mint ahogy azt még jóval fentebb megtárgyaltam a dinamikába bekapcsolódó téridő metrika szerkezetével kapcsolatban, akkor nyilván azoknak a variációját is figyelembe kell venni. A kérdés tehát látszólag majdnem tárgytalan, de egy másik tekintetben mégis éppen lényeges. Mivel az általános relativitáselmélet lokálisan az inerciarendszereket és a gyorsuló rendszereket teszi egyenrangúvá csupán, akkor az azt jelenti, hogy a távolhatás hiánya miatt, a korábban egy "gravitációs erő" által gyorsulónak gondolt rendszert lokálisan egy inerciaerő nélküli inerciarendszernek tekinti. Ezzel tehát az újabb elmélet kiküszöböli a newtoni gravitációs (tér)potenciált, a távolható gravitációs erőt (és térerőt), erőhatást, és helyettük benne ezek szerepét más mennyiségek kicsit más módon töltik be. Viszont mivel a leírni kívánt mozgás valójában ugyan az, vélhetően a felváltó mennyiségek (a metrikus tenzor és az első deriváltjaiból álló Christoffel-féle szimbólumok) némi analógiája után ("térpotenciálok" és "térerősségek"), és a remélt újabb összefüggések (gravitációs téregyenletek), mutatnak a régiekre hasonlóságot. Tehát azután, hogy a newtoni mechanikában (és az elektrodinamikában is) a "mozgás"egyenletek (téregyenletek) a "térpotenciálok" legfeljebb második deriváltjait tartalmazzák, ez vélhetően (és talán egyértelmű okból) továbbra is így marad. Legyen ez egy elvárás, ami majd kiderül, hogy teljesül-e. ( ---> * )
Tekintsük akkor most már a gravitációs hatást is. Az előbb leírtak szerint ezt a téridő nem merevsége által annak ilyenformán nyert lehetőségeit kihasználva szeretnénk előállítani úgy, hogy lokálisan tulajdonképpen a "mozgás" dinamikájára konkrétan nem hat, hiszen a gravitáló mozgás, inerciális mozgás. Ebből következik, hogy az anyag és gravitációs tér hatásintegráljában (Einstein-Hilbert hatás) nem szerepel kölcsönhatási tag.
. Ennek variációja:
.
Foglalkozzunk most az utolsó
taggal, illetve annak
variációjával. Az egyszerűség elve nem egy mindent elsöprő garancia arra, hogy végül minden jó lesz, de azért próbaként nem egy rossz támpont. Alkalmazzuk tehát, és nézzük a legegyszerűbb tenzort, ami teljesen jellemzi a téridő metrika szerkezetét. Ez az
görbületi tenzor. Ebből pedig a legegyszerűbb skalár az invariáns skalár görbület:
. (Landau II könyv (92,1), (92,6), (92,7) és (92,9) képletek
http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/t ... 11s02.html .) Ez alapján az
hatás variációja:
.
Felhasználva a
összefüggést az első két tag átalakítására:
.
Mivel a Lagrange-sűrűségek, melyekkel ugye kapcsolatot teremtünk a teljes rendszer részrendszerei között, csak egy konstans szorzó erejéig határozhatók meg a részrendszerre vonatkozó mennyiségekből, ezért egy konstans szorzóval, pontosabban annak előjelével kell illeszteni a hatáselv minimalizáló jellegéhez (amiért legkisebb hatáselvnek hívjuk), és értékével pedig a mennyiségek mértékegysége határozódik meg (vagy fordítva). Így az illesztő konstans előjelének szükségszerűen negatívnak kell lennie. Abszolút értéke pedig Gauss-féle egységrendszerben
, ahol
, mert a tömeg hagyományos gramm egységeit használjuk.
Nézzük, hogyan alakul az utolsó tagban
. Mivel ez invariáns skalár, értéke tetszőleges koordináta-rendszerben kiszámolható. Válasszunk ezért lokálisan geodetikus, azaz lokálisan Galilei-féle koordináta-rendszert. Ekkor, mivel lokálisan a metrikus tenzor konstans, a következőképpen számolhatunk:
.
Felhasználtuk azt, hogy a differenciál variációja, az a variáció differenciálja.
Az első tagban
l <-->
k összegezőindex jelöléscserét végrehajtva egy parciális deriválás alá vonható a két tag.
.
Az utolsó lépésnél, mivel a Christoffel-féle szimbólumok variációja tenzor, ezért
vektor. Így a visszatérés tetszőleges koordinátázásra a
vektor kovariáns divergenciáját jelenti.
, amivel a hatás utolsó tagja az integrálás alatt teljes parciális deriválttá alakul.
.
Ez pedig Gauss tételével az integrálási tartományt körülzáró hiperfelületre vett integrállá alakítható, ahol ez a tag eltűnik, mivel ott a gravitációs teret nem variáljuk. Így marad a következő:
.
Ezzel az Einstein-Hilbert hatás:
.
Ami egybevonva a következő alakot ölti:
.
A hatáselv (általában) nem engedi meg, hogy a szögletes zárójelben lévő kifejezés értékét eltűnőnek vegyük, hiszen miután az időszerű integrálás tartományát infinitezimálisan kicsire szűkítjük, a térszerű integrálás során
még mindig a világ összes anyagát ki kell integrálnunk.
Tévedés azt gondolni, hogy minden ilyen esetben értelmes az, hogy térszerűen csak egy pontban térünk el a variáció során, és (ahogy szokták) ez alapján azt állítani, hogy a szögletes zárójel értékének nullának kell lennie. (Az elektromágneses hullámok és az EM tér esete kivételes...)
Az anyagi objektum, vagyis a klasszikus rugalmas anyagi kontinuum legkisebb darabkája egy infinitezimálisan kicsi, DE NEM PONTszerű anyagdarab(!!). A metrika variálása során ezeknek az objektumoknak a "mozgását" variáljuk, és ez nem engedi meg a pontonkénti nézetet (
és nem választhatjuk szét az egyes anyagdarabokat sem, mert azok anyagi kölcsönhatásban vannak egymással),
csak akkor, ha álkontinuumról van szó, tehát csak matematikai módszerből elosztott a térben az anyag, de fizikailag valójában pontszerű. Tehát valóban folytonos klasszikus rugalmas kontinuum anyag esetén az utóbbi egyenletnél nem tudunk továbblépni.
Ezt a következőképpen is beláthatjuk:
.
Ha a metrikus tenzor
variációját visszaalakítjuk a koordináták variációjára, akkor a következőt kapjuk:
.
A szögletes zárójelben lévő kifejezés kovariáns divergenciája általában nem lehet nulla, mert tudjuk, hogy általában
, és/de ez mellett azonban
mindig áll a Bianchi-azonosság miatt (
Landau II könyv (92,5) és (92,10)).
. Ebből pedig látható az előbbi nulla eredmény.
Tévedés azt gondolni, hogy a Bianchi-azonosság kiróhatja az energiaimpulzus-tenzorra annak kovariáns divergenciájának eltűnését (
melyhez ráadásul csak a hatáselv hibás felfogása állna itt mellé). Az energiaimpulzus-tenzor megmásíthatatlanul olyan, ahogyan az felállt ez utóbbi hatáskiegészítő próbálkozás előtt. Az állapotegyenlet szükségessége hagyományos anyagi kontinuum esetén nyilvánvaló. Egyértelműen érezhető, hogy nincs igazán mód a geometrizálásra, mert a téridő geometriai jellemzői egyszerűen nem képesek az állapotegyenletek divergenciazavarását megadni. A pozitív és negatív nyomás esetét sem képesek megkülönböztetni. (
Az energiaimpulzus-tenzorban a nyomás abszolút értéke szerepel csak, az előjele nem... Ugyan úgy görbíti a teret a negatív nyomás is, mint a pozitív. Ez már abból is érezhető, hogy mindkettő eléréséhez pozitív energia azaz tömeg kell.)
A gravitációs általános relativitáselmélet nem képes feldolgozni a rugalmas valódi anyagi kontinuum esetét. Az ellentmondás feloldhatatlan. A Einstein-egyenlet hamis. Kis csalással lehet csak alkalmazni úgy, hogy általában (
vagy talán mindig(??)) a
nyomás abszolút értéke sokkal kisebb az
energiasűrűségnél. A változásai ettől még persze lehetnek nagyok, de ha nem robbanásszerű eseteket (vagy fordítottját) vizsgálunk a gravitációs kölcsönhatás tekintetében, akkor az anyag állapotváltozásainak divergenciamódosító mértéke kicsi marad. Ez mellett nem egzakt módon így-úgy még esetleg figyelembe szoktak venni valahogyan egy egyszerű állapotegyenletet, és akkor ezzel mondanak valami kozmológiai dolgot eredményként pl..
Fény vagy elektromágneses hullámok esetében nincs divergenciaprobléma, mert az EM hullámok energiaimpulzus-tenzorának kovariáns divergenciája nulla. A vákuumbeli elektromágneses hullámok (és EM tér) kis darabkái nincsenek anyagi kölcsönhatásban egymással, hanem egyszerűen matematikailag teljes mértékben meghatározzák egymást. Ezért nem értelmetlen az, hogy akár csak egy pontban térünk el a hatás variációja során, tehát ebben az esetben nincs ilyen gond, az Einstein-egyenlet áll. A téridő skalár görbületére nulla érték adódik, de ez még nem jelenti azt, hogy a hármastér görbületlen. A (pl. távoli) tartományok energiáival ekvivalens tömegeknek gravitációsan vonzaniuk kell egymást, ami azt jelenti, hogy a hármastér görbületének ez pozitív járulékot ad, mint bármilyen más (pozitív) tömeg. (A téridő gravitációs hullámai tekintetében szintén ez a helyzet.)
Az álkontinuum jellegű töltésekkel és az elektromágneses tereikkel már eleve nem tud megbirkózni a Lagrange-formalizmus, mert nem tudjuk figyelembe venni ezzel a módszerrel a sugárzási visszahatást és fordítottját, de azt elhagyva szintén nincs gond.
( * ---> ) Egy korábbi elvárásra választ adva látható, hogy az Einstein-egyenlet (mint "téregyenlet") nem tartalmazza a metrikus tenzor (mint "térpotenciálok") másodrendűnél magasabb deriváltjait.