Kétféle ember létezik; a bigott hívő, és az értelmesen gondolkodó. Az előbbi típustól ne várjunk előrehaladást. Az utóbbi típusú, mint én is, pedig képes a fejlődésre, és meg is teszi.
Na szóval, az 1/0 precízebb értelmezése a következő:
, azaz a legteljesebb végtelen, ami rekurzívan (vagy láncszerűen) a rendfokozataiban is végtelenül végtelen. Mivel a nullának nincs előjele, ezért ennek előjele határozatlan, de mivel már itt az előjel létezőnek veendő, ezért mindkettő kiírandó.
Na de mégis milyen meggondolásokból ered ez a precízebb értelmezés?
A nagyságskála mindkét végén nyílt, és egy egyszerű ábrázolásában mondjuk középen van a neutrális elem; az 1. A nyílt végek felé balra az elsőrendűen végtelenül kicsi, jobbra az elsőrendűen végtelenül nagy, majd tovább a másodrendűen és harmadrendűen és ...(i.t.) végtelenül kicsiny és nagy elemek. A nulláig, és hasonlóan az ennek megfelelő másik végletig nem lehet eljutni, ezeket nem tartalmazza ez a halmaz, skála. A nullának nincs semmilyen rendű nagysága, ezért egyszerűen nem illik ebbe a halmazba. Ha beletesszük, vagyis inkább bővítjük vele a halmazt, akkor azt úgy érdemes, ha szimmetrikusan az átellenes végletelemet (ez itt az inverz elem) is beletesszük. Így csökkentjük bizonyos műveleteknél az értelmezhetetlen esetek felmerülését. Alapvetően fontos lehet, hogy egy ilyen halmazon belül minden elemnek meglegyen az inverz párja, tehát a nullának is. Itt még nem volt szó az előjelről. Az előjel úgy kerül be, hogy tükrözést (egy ellentett képzést) hajtunk végre, és ezzel generáljuk a negatív elemeket. Ezt a tükrözést értelemszerűen a nullára (null elemre
(a neutrális elem az 1)) végezzük. Mivel a nulla önmaga tükörképe, így az szingli marad ebből a szempontból. Viszont az inverze nem, tehát ezek egy sajátos hármast alkotnak, amiben még az is vitatható, hogy a negatív és pozitív végelem tekinthető-e azonosnak (ebbe most nem mennék bele, de bizonyos szempontok szerint azonosulni látszanak..). Ennek az utóbbi dolognak reverziója is van:
A nulla felírható hasonló formában, mint az inverz végelem:
.
Ebben a kontextusban lényeges, hogy
, és nyilván pl.
.
Valamint teljesen értelemszerűen:
, és
.
És a következő is így adódik:
, valamint
, ... és így tovább. Láthatóan adódik 0/0 teljes határozatlansága (nem értelmetlensége, csak határozatlansága). Értelemszerű, hogy a határozatlanság egyenlőségjel bontó. A 0/0 kifejezés inverz 0
-1/0
-1≡(0/0)
-1 alakban is ugyanazt jelenti. Teljesen nyilvánvaló, hogy határérték (limesz) számításnál ezek, mint helyettesítési értékek, általában nem a határértéket jelentik, tehát azoknak (
lim(...)) általában nem a megoldásai. És fordítva, csak a megfelelő meggondolásokból választott limeszek megoldásai egyeznek meg ezekkel a (kivételeseknek mondható) kifejezésekkel. Így limesszel egyszerűen belátható a 0/0 kifejezés határozatlansága, csakúgy mint a 0
0 kifejezés határozottsága (0
0=1). Ezt itt
<-- beláttam, csak elírtam azt, hogy a k faktort véletlenül betettem a rendet jelentő l hatványkitevő alá. Ezt most kijavítom:
Tehát a következőképpen kell a 0
0 problémát vizsgálni:
Nem akármilyen függvényekből, hanem számokból kiindulva, hiszen ebben a problémában (kérdésben) szám hatványozásáról van szó, és konkrétan ezekkel a számokkal kell nullához tartani.
0
0 = lim
a→0⁺,b→0(a
b) = ?
Ha a és b számok tetszőleges (nem nulla) rendű és (nem nulla) faktorú egyszerre nullához tartása esetén egyértelmű az eredmény, akkor nincs kétség.
Ennek megfelelően a-t felírhatjuk |k|x
|l| alakban, és b-t felírhatjuk mx
|n| alakban, ahol x pozitív értékű valós szám:
, ahol így egyöntetűen
.
k és m adja a nullához tartás faktorát, l és n adja a nullához tartás rendjét.
Így:
, ami tetszőleges nem nulla valós értékű k,l,m,n esetén egyértelmű.
Ki lehet próbálni: [0.8x^2.3]^[1.3x^0.9]
https://www.mathsisfun.com/data/function-grapher.php vagy pl. ezzel: [0.6x^4.3]^[-0.7x^3.2]
Könnyen adódik, hogy
, és hasonlóan
, és így tovább.
Ezt még tovább gondolva pl. a
végtelen lánchatvány határozatlan, de nem teljesen, hanem csak a {0, ... ,1} halmazon. Mivel ebben a végtelen felírásban nem létezik a 0
0 belső kezdet, az eredmény szerintem általában nem csak 0 vagy 1.
Azok az ellenérvek, amik az a számot úgy írják fel például, hogy c
-1/d, ahol a c>1 és d→0, vagyis -1/d→-∞, és a így tart nullához, azok hamisak, ugyanis nem tartoznak a 0
0=? kérdéshez, hiszen láthatóan itt a c nem nulla konstans szám hatványozásáról van szó, amit hiába csomagolnak át, akkor is ez utóbbiról van szó, és az nem adhat választ a nulla hatványozására. A nulla hatványozására, és azon belül speciálisan a 0
0 hatványra teljesen értelemszerűen az én útmutatásom alapján kaphatunk választ.
Vajon a
kifejezés mivel lehet egyenlő? Egyszerű meggondolások alapján szerintem ez a pozitív véges (azaz nulladrendű) valós halmazon teljesen határozatlan.