Mi a LÉNYEG?

[zsolt68]

@vaskalapos (13463):

Itt kezdem elveszteni a fonalat.

Segítek. Az integrálás azt jelenti, hogy besatírozzuk a görbe alatti területet. @vaskalapos (13411):
Az ovodában még zsírkrétával is elfogadják.

Ha az erő nem változna, akkor egyszerűbben is lehetne számolni.
F = m g
v_t = g t
s_t = 0.5 v_t t = 0.5 g t²
Ha v₀ ≠ 0, akkor
v(t) = v₀ + g t
s(t) = v₀ t + 0.5 g t²

Nagyobb távolságok esetén F nem tekinthető állandónak.
Persze az R^-2 görbét is ki lehetne integrálni, ha a kiindulási ponton kívül előre tudnánk a végpontot is. De én nem tudom. (Habár nincs kizárva, hogy aki egész nap az égi mechanikával foglalkozik, az ki tudja számolni - a peremfeltételekből.)
Szóval a magam részéről (egyelőre) maradok a numerikus módszernél.

Az integrálásnál a téglalap formulát használom, ami nem a legpontosabb. Sokkal kisebb lenne a számítási hiba, ha trapéz formulát használnék. Azonban van egy kis bökkenő. Nem egy előre megadott görbét kell integrálni, hanem az integrálandó görbe alakja menet közben derül ki. (Ezt nevezik egy fizikai rendszer időbeli fejlődésének.) Szóval ha előre tudnám, hogy Δt idő múlva hova érkezik a rakéta, akkor a pillanatnyi sebesség helyett az átlagsebességgel számolnék, ami pontosabb eredményt adna. De nem tudom. Mert ha tudnám, nem is kellene számolni.

Ha már itt tartunk, nekem az a véleményem, hogy integrálni nem tudunk.
Tudunk deriválni, és visszaemlékezünk, hogy milyen függvényt deriválva kaptunk egy bizonyos eredményt, és ezt az emléket felhasználva rekonstruáljuk az eredetileg derivált függvényt. Ezt a folyamatot nevezhetjük nagyképűen integrálásnak. Valójában csak emlékeket keresünk elő. Néha a sajátunkat, néha táblázatból másokét.
Sőt, nem csak mi nem tudunk integrálni, hanem integrálni egyenesen lehetetlen. Ugyanis a deriválásnál a másodrendűen kis tagokat eldobáljuk (nevezhetjük ezt fapofával veszteséges tömörítésnek). Márpedig akkor információvesztés történik, és így az eldobált tagokat - információ hiányában - nem lehet rekonstruálni.
Nézzünk néhány szemléletes példát:
A téglalap formula csak a konstans integrálásánál pontos. Minden egyéb esetben számítási hiba keletkezik (legfeljebb bizonyos esetekben a számítási hibák valamennyire kompenzálják egymást, pl. szinusz). Egy konstans integrálásához azonban elegendő a szélességet megszorozni a magassággal, nem szükséges elemi darabokra vágni a "görbét". (A téglalap formula esetén egyébként variálhatunk azzal, hogy az elemi oszlop magasságot a szakasz elején, vagy a szakasz végén értjük. Az egyik esetben pozitív, a másik esetben negatív lesz a hiba; monoton függvény esetén persze. Lásd: megjegyzés.)
Hasonló módon belátható, hogy a trapéz formula legfeljebb elsőfokú polinom esetén pontos.
A Simpson-formula pedig legfeljebb másodfokú polinom esetén ad pontos eredményt. Bár ezzel a módszerrel a hiba általában kisebb, mint az előző két módszer esetén. De egy magasabb rendű polinomra vagy egy testszőleges transzcendes függvényre ez sem ad teljesen pontos értéket.
Ha tovább megyünk, akkor megállapíthatjuk, hogy a numerikus integrálásnál csak akkor kapunk pontos eredményt, ha ismerjük az integrálandó görbe határozatlan integrálját. Tehát a kör bezárult. (Ha ismerjük a határozatlan integrált, akkor nem is kell numerikusan számolni.)

Megjegyzés: A figyelmes (kód-)olvasó észreveheti, hogy a megtett út számításánál nem voltam teljesen következetes a téglalap szabály alkalmazásával.

[vaskalapos]

@zsolt68 (13470):

Jol latom, hogy szembe mennek egymassal? Azaz parhuzamosan.
Egymással szembe mennek, kezdetben párhuzamosan. Mivel a rakéta tömege elhanyagolható, így a Jupiter nem fog irányt változtatni, a rakéta viszont igen. (Éppen az irányváltozás vizsgálatának céljából készült a szimuláció.)

vaskalapos írta:
Csak x iranyi kezdosebesseguk van, y iranyu nincs. Miert?
A jelenség egyszerűbben tanulmányozható így, nem kell tekergetned a fejedet.

Azt mar kiszamoltad, hogy lehet sebessegnovekedes.
Mar csak az a kerdes, hogy mekkora.
kulonbozo sebessegparokkal es kulonbozo iranyokkal erdemes megnezned.

Intuitivan arra gondolok, hogy a legnegyobb hatast akkor kapod, ha hajdnem utkoznek, majdnem lezuhan...

[vaskalapos]

@zsolt68 (13478):

Segítek. Az integrálás azt jelenti, hogy besatírozzuk a görbe alatti területet.

Nem.

[Gábor]

Na jó én feladom, próbáltam képleteket beírni, mert állítólag a fórum kezelni tudja LaTeX-et. De nem.

[zsolt68]

@vaskalapos (13507):
"A vita több puszta ellenkezésnél. Érvek és ellenérvek logikus láncolata." (c) Holló Színház

Nem.

Az a baj, hogy a Rieman szerint nem integrálható függvényeknél tényleg nem lehet satírozni, mert a sok apró lyukon kifolyik a satírozás az interdiszciplináris csillagközi fázistérbe. És ehhez még az sem kell, hogy a függvénynek a hétköznapi értelemben szakadása legyen (jobb- és baloldali határérték különböző). Az is elegendő, ha egyetlen pontban nem értelmezett a függvény, miközben a kétoldali határérték ugyanoda tart.

[zsolt68]

@Gábor (13525):
Erősen talajközeli megoldás a vízszintes hajítás.
v_y = |v| sin α - g t
v_x = |v| cos α
y(t) = |v| sin α t - 0.5 g t²
x(t) = |v| cos α t
Ez egy parabola.

Ha nagyobb távolságban vagyunk, akkor már változik g értéke.
De ebben az esetben is egyszerű a függőleges ejtés (0 kezdősebességgel).
Kis magasságban g állandó.
v_y = - g t
y(t) = y₀ - 0.5 g t²

Nagyobb magasságban lényeges, hogy 0 legyen a kezdősebesség, mert különben (esetleg) nem lenne függőleges a pálya, és akkor nem tudnék számolni.
A mozgási energia: E_k = 0.5 m v², ez azonban kezdetben nulla.
A potenciális energia: E_p = - m₁ m₂ G / R, kezedetben legyünk R₁ magasságban.
0.5 m₁ v² - m₁ m₂ G / R = 0 - m₁ m₂ G / R₁
Ebből megkaphatjuk a sebesség és a magasság közötti összefüggést.
0.5 m₁ v² = m₁ m₂ G / R - m₁ m₂ G / R₁
Egyszerűsítünk m₁-el és szorzunk kettővel.
v² = 2 m₂ G / R - 2 m₂ G / R₁
Jön még egy gyökvonás. Mivel ejtésről van szó, ezért a két lehetséges megoldás közül a sebesség most lefelé fog mutatni.
v = Sqrt( 2 m₂ G / R - 2 m₂ G / R₁ )
Még egy kicsit rendezkedhetünk...
v = Sqrt( 2 m₂ G ) Sqrt( 1 / R - 1 / R₁ )
Az eredmény nem tűnik ismerősnek. De talán csak elrontottam.

Adott tehát a sebesség a magasság függvényében, vagy akár fordítva. Az idő függvényében azonban (egyelőre) nem tudok mondani semmit.
Vegyük észre, hogy a sebesség nem más, mint a magasság időbeli változása (jelen esetben, mert függőleges).
v = dR/dt
Ezt behelyettesítve egy nemlineáris differenciálegyenletet kapunk.
dR/dt = Sqrt( 2 m₂ G ) Sqrt( 1 / R - 1 / R₁ )
Eléggé bonyolultnak látszik, formalizálni kellene...
R' = k Sqrt ( 1/ R - c )
akol k és c konstans.
Valahogy jobban szeretek x és y változókkal matatni.
x' = k Sqrt( ( 1/x ) - c )
És itt elakadtam, nincs most ötletem. (Reggeli, el.)

BTW: hogy is van ez a dolog a királyi úttal? Azt mondják, a király is gyalog jár.

12:20 Próbálkozok, tehát vagyok.

Egyrészt:
Sqrt( x ) = x^1/2
(x^3/2)' = 3/2 x^1/2
(2/3 x^3/2)' = 2/3 3/2 x^1/2 = x^1/2

Másrészt:
(ln x - cx)' = 1/x - c

Ezt a kettőt kellene összekombinálni. Most sajnos a komplex Euler formula nem segít.
[2/3 (ln x - cx)^3/2]' = 2/3 3/2 (ln x - cx)^1/2 (1/x - c) = (ln x - xc)^1/2 (1/x - c)
Majdnem jó. Attól eltekintve, hogy teljesen rossz.

Na fussunk neki ismét...
[2/3 (1/x - c)^3/2]' = 2/3 3/2 (1/x - c)^1/2 ( -1/x² - 0 )
[-2/3 (1/x - c)^3/2]' = (1/x - c)^1/2 x^-2
Alakul. Habár teljesen rossz irányba haladok.
Ráadásul ez nem is az időfüggvényt adja meg. Most inkább egy olyan x(t) fügvényt kellene kiötleni, ami megoldása a fenti egyenletnek. Ne felejtsük, hogy itt most x==R, vagyis amit keresünk, az egyrészt R(t), másrészt v(t) = dR(t)/dt lenne.

[vaskalapos]

@zsolt68 (13551):

Segítek. Az integrálás azt jelenti, hogy besatírozzuk a görbe alatti területet.Az ovodában még zsírkrétával is elfogadják.

Nem.

"A vita több puszta ellenkezésnél. Érvek és ellenérvek logikus láncolata." (c) Holló Színház

Bocsanat, azt hittem, hogy nem kell kifejtsem, nyilvanvalo. Eleg felhivni ra a figyelmedet.

Pongyolan fogalmazva az integralas a gorbe alatti terulet meghatarozasa.
Attol. hogy besatirozod, meg nem tudod mekkora.
Satirozas nelkul is meghatarozhato.

Mas meghatarozas talan annak a fuggvenynek a meghatarozasa, amelyiknek a derivaltja a vizsgalt fuggveny? Itt egyaltalan nincs szo satirozasrol.
Tehat: az integralas az nem satirozas.

[zsolt68]

@vaskalapos (13578):

Attol, hogy besatirozod, meg nem tudod mekkora.

Az integrál szemléletesen a görbe "alatti" területet jelenti. Azt a részt, ami az x-tengely és a görbe között van, ahol a görbe pozitív. Ahol a görbe negatív, vagyis az x-tengely alatt fut, ott a területet negatívnak értelmezzük. Felrajzolod a szinusz függvény egy periódusát. Megnézed, hogy pont középen metszi az x-tengelyt. Megállapítod, hogy a pozitív és a negatív rész területe ugyanannyi. Az egyiket jobbra sraffozod, a másikat balra. Nem szükséges teljesen befesteni. A végeredmény nulla. Nem kell tudni a rész területeket. Bonyolultabb függvényeknél hasonlóan lehet eljárni. Fejszámoló művészeknek satírozni sem kell, mert fejben tudják tartani, hogy melyik rész melyiknek a párja és mi esett ki az összegzésnél. Csak talán a hallgatóság szempontjából egyszerűbb követni, ha a tanár a táblán valahogy jelöli, hogy éppen mit csinál.
Egyébként az ún. vegyész integrál a szó szoros értelmében a görbe alatti terület. Milliméterpapírra felrajzolják a függvényt, kivágják ollóval, lemérik patikamérlegen.

Satirozas nelkul is meghatarozhato.

Természetesen. Meg is tettem. Miért nem abban keresel hibát?

[zsolt68]

Szólhattatok volna, hogy elrontottam az előjelet.
Ha a sebesség kezdetben nulla, és a lefelé zuhanó rakéta sebességét pozitívnak vesszük, akkor
v(t) = - dR(t)/dt
tehát
dR/dt = - Sqrt( 2 m₂ G ) Sqrt( 1 / R - 1 / R₁ )
R' = - k Sqrt ( 1/ R - c )
Vagyis a k betű előtt be kell satírozni egy minusz előjel alakú "negatív" területet.

Bár tulajdonképpen az előjel a konstansba beleérthető,
R' = k Sqrt ( 1/ R - c )
csak akkor nem
k = Sqrt( 2 m₂ G )
hanem
k = - Sqrt( 2 m₂ G )

Persze ezt a részeredményt nem ártana ellenőrizni, mielőtt tovább számolok vele. Nehogy úgy járjak, mint azok a fizikusok a Higgs-bozonnal, akik évtizedeken keresztül írták az egyenleteket a kézzelfogható bizonyítékok hiányában is.

@sajnos_kacat (13571):

Ehhez volt egy kulon [ keplet ] tag, ami most epp nem mukodik

Hmm, [ keplet ] ? vagy esetleg formula? (Kénytelen voltam szóközt tenni, különben lezabálta.)
Azt akartam írni, hogy a [ keplet ] így ebben a formában valószínűleg nem jó, mert akkor nem jelenne meg ez a szöveg. És el is tűnt. Tehát "keplet".

@Szilágyi András (13587):

Van, csak nincs kitéve gombra, mivel az átlag usernek úgy sincs rá szüksége.

A Gyík-ban nem találtam erre vonatkozó utalást.
phpBB Group?
http://www.phpbb.com/support/documentat ... ng_bbcodes

Please note that the administrator has the option to add new and custom BBCodes, so others may be availible to you which are not on this list.

Na jó, feladom. Még a végén azt hiszitek, hogy telhetetlen vagyok.
Tulajdonképpen a tudományban minek képleteket írni? Mivel a pH_D amúgy is azt jelenti, hogy a filizofálás tudora.
(Ja és nem is a satírozásé.)

[Gábor]

Teljesen rossz, és értelmezhetetlenek a számításaid. Impulzussal (lendület) kellene számolnod, a tömeg megszorzása a gravitációs állandóval teljesen hibás, és értelmezhetetlen. Kétféleképpen számolhatsz. Kinematikusan, ami vektorokkal történik, és valódi számítást is végezhetsz ahol a kéttest problémát kellene figyelembe venned, és komoly integrálszámításokba kéne bonyolódnod, ahol a szonda tömege - mint vaskalapos is utalt rá - igen is számít. Csak, hogy megemlítsek egy hibát a sok közül! Olyanok a számításaid mintha a másodfokú egyenletet elsőfokúként kezdenéd el megoldani, mert még soha nem hallottál a megoldóképletekről. Hibás, felejtsd el ezt az egészet. Ez egy számítógépes program. Visszafejtettem a programod és nagyon szép bmp ábrát rajzol, meg az egérmutató sebességének kiírására teljesen jó, de semmi köze az égimechanikához.

Lefektetett, bizonyított szabályszerűségek vannak, ezeket leírnám ha lehetne a fórumba integrálszámítás írni, bár úgyse értenéd - felesleges. De lehet, hogy papíron kiszámolom neked, és beszkenelem, de csak pár nap múlva mert itt nincs szkenerem. De addig is ezt ne folytasd mert borzalmas!!! Kérlek.

[zsolt68]

@Gábor (13638):
Szerintem a képletszerver karbantartása nem tarthat örökké. Várd ki azt a pár napot, utána tudsz írni képleteket. Addig is küzdök...

Elővettem Scharnitzky zsebkönyvét. Jó régi, katonakoromban olvastam legutóbb, és akkor még értettem (vagy akkor úgy véltem, hogy értem). Szóval most csalok egy kicsit, mert szakirodalomra támaszkodok. Két megoldás van.
Kezdjük a szinguláris megoldással, amit úgy kaphatunk meg, hogy az egyenletet parciálisan differenciáljuk R szerint. Belátható, hogy a derivált R==R1 esetén nincs értelmezve, ettől szinguláris. Tehát a megoldás R(t) = R1 és dR(t)/dt=0, bravo! Ehhez persze kell egy erő, ami a rakétát az adott magasságban tartja, hogy ne zuhanjon le.

A reguláris megoldást a változók szeparálásával kaphatjuk meg. (Az egyszerűség kedvéért R helyett y változót használok.)
Ha a differenciálegyenlet dy/dx =g(y) alakban van megadva, akkor a megoldás
Integrál dy/g(y) = Integrál dx = G(y) lesz.
Vagyis az
1/g(y) = (-1/k) * (1/Sqrt( 1/y - c ) )
függvényt kell integrálni. Szóval a probléma kicsit bonyolultabb, mint gondoltam.

ahol a szonda tömege - mint vaskalopos utalt rá - igen is számít, hogy megemlítsek egy hibát a sok közül

Na akkor nekem rosszul tanították a fizikát. Meg nyilván az Eötvös-inga is csak arra való, hogy vizet keressenek vele a sivatagban. Komolyan nem értem, hogy a rakéta tömege miért lényeges. (Hacsak nem akarod figyelembe venni a Jupiter zuhanását is a rakéta felé. Két bolygó esetén megérteném, de a rakéta tömege olyan kicsi, hogy ezt nyugodtan elhanyagolhatjuk - szerintem.)

Most pedig megnézem W.Lewin professzor vonatkozó előadását, hátha okosodok belőle valamit. Lehet számolni lendülettel (ami angolul momentum, és impulzusnak a lendület megváltozását nevezik), továbbá lehet számolni energiával.
Amúgy is össze akartam vele vetni a saját eredményemet. Valamelyik előadásban kiszámolja a szökési sebességet, és ott meg van adva a magasság és a sebesség közötti összefüggés is.

a szonda tömege

Na egy pillanat. Talán értem a problémátokat. Nem akarom, hogy a szonda ütközzön a bolygóval.
Egy ütközésmentes hinta manővert akarok kiszámolni. De mivel az első nekifutásra bonyolultnak tűnik, ezért először egy függőleges ejtést próbálok kiszámolni, egészen az ütközés pillanatáig, de nem tovább. Szóval az egyszerűsített probléma a következő: R1 magasságból lepottyan a 0 kezdősebességű rakéta. Az ütközést a Jupiterrel már nem akarom számolni, sem rugalmasan, sem rugalmatlanu. Csupán az esés időfüggvénye érdekel változó nehézségi gyorsulás esetén.

[Gábor]

@zsolt68 (13646): Kicsit régi, de ide teljesen jó lesz. Ha megértetted szólj. ÉGI MECHANIKA (tankönyv).