Energia-impulzus-tenzor, megmaradások, tömeg

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.04. 19:38

A relativitáselmélettel foglalkozó elméleti fizika tanok azt szokták állítani, hogy a magára hagyott anyagi kontinuum (mint zárt rendszer) energiaimpulzus-tenzora a $\frac{\partial T^{ik}}{\partial x^k} = 0$ kontinuitási, vagy másként fogalmazva lokális "megmaradási egyenletnek" tesz eleget.

Valóban megállja ez a helyét?? Ezzel kapcsolatban kinek mi a véleménye?

mimindannyian

Mire alapozva állítják ezt, és mivel nem értesz egyet?

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.05. 18:57

Hát ez egy kicsit komplikált dolog. Többlépcsős következtetésekkel jutnak erre, ami szerintem megtévesztően magától értetődőnek tűnik, ha nem vagyunk elég körültekintőek ebben a témában.

mimindannyian

Ha azt várod, hogy valaki utánanéz, feldolgozza, és leírja neked ezt a komplikált dolgot, akkor ne fogd vissza magad, te is megpróbálhatod leírni, hogy szerinted mi a bibi.

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.05. 19:05

Rendben, de remélem nem baj, ha egy kicsit hosszú lesz.

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.12. 01:52

dgy írta:Az ideális folyadék definíciója az, hogy nem csak álló helyzetben, de mozgás közben sem ébrednek benne nyíróerők. Pont. Ennyi.

Ez inkább csak a viszkozitásmentességet próbálja fura módon definiálni.. Vagy a cikkben említett és idézett Szabó János egyik mondatának azonos értelmű átfogalmazása.
Az "álló helyzet" és "mozgás közben" megfogalmazások a teljes makroszkopikus rendszerre értettséget sugallják. Az ilyen pillanatnyi mozgás, mivel relatív, nem érdekes a belső szerkezetre nézve. A folytonos anyag pici elemi darabjára, mint "teljes rendszerre" ugyan ez érvényes. A nyírófeszültségek eltűnését tetszőlegesen választott térszerű koordinátatengely irányultság esetén az energiaimpulzus-tenzor térszerű sajátértékeinek háromszoros elfajultsága jelenti. Ha ez nem csak éppen pont úgy alakult, hanem ténylegesen ez jellemző a vizsgált anyag tulajdonságára, mint állapot, akkor benne nem ébrednek nyírófeszültségek.

dgy írta:A definíció nem beszél az összenyomhatatlanságról, mert az az idealitástól függetlenül fennálló vagy fenn nem álló tulajdonság.

A folyadék idealitásába az összenyomhatatlanságot általában bele szokták venni.. (Én több helyen így olvastam.)

Marx a fent megjelentetett cikk 2. paragrafusában a folyadékot egy helyen (94. oldal alja) inkompresszibilisnek veszi (csak hallgat róla), és ezzel lényegében nem csak önellentmondó, hanem még ráadásul ez alapján kíván másik cikkében relativisztikusan elemi dinamikát alapozni.
A bevezető első mondata:

Marx György írta:"Megadjuk a relativisztikus dinamikának variációs elvből kiinduló megalapozását."

Itt nem a hidrodinamikára gondol...

Marx György írta:"Ideális folyadéknak nevezzük az olyan anyagot, melyben nyírófeszültségek nem hatnak, csak izotróp nyomás."

Marxnál a 94. oldal alján a nyomás (sajnos) az infinitezimális anyagdarabot nem deformálja, hanem a merev, és akár PONTszerű anyag"valamit" manipulálja. Egyszerűen csak ad neki tömeget, vagy elvesz. Ez szerintem hibás elgondolás..
Novobátzkynál rendesen deformálódik az infinitezimális anyagdarab a nyomás hatására, úgy ahogyan annak kell. (Novobátzky könnyv 99. oldal.)

Kezdjük a közepéről, és nézzük hogyan jön (19) a (17)-ből és (18)-ból (alsóindexes $ict$ -s formalizmus van most):

(17) $T_{ik} = \mu u_i u_k + p\delta_{ik}$ .

(18) $\partial_k T_{ik} = 0$ . Ebbe behelyettesítve az előző kifejezést, adódik:

$\partial_k (\mu u_i u_k + p\delta_{ik}) = 0$ ,

$\partial_k (\mu u_i u_k) + \partial_k (p\delta_{ik}) = 0$ ,

$\partial_k (\mu u_i u_k) + \delta_{ik}\partial_k p + p\partial_k \delta_{ik} = 0$ .

Az utolsó tag nulla, mert a konstans $\delta_{ik}$ deriváltja nulla.
A középső tagban pedig a Kronecker delta csak kicseréli a parciális deriválás indexét. Ezzel:

$\partial_k (\mu u_i u_k) + \partial_i p = 0$ . A második tagot áttéve a jobboldalra:

(19) $\partial_k (\mu u_i u_k) = -\partial_i p$ .

Elvégezve a parciális deriválást úgy, hogy a zárójelben lévő kifejezést kéttényezős szorzatnak tekintjük, melyben az egyik tényezőt $u_i$ -nek, a másikat $\mu u_k$ -nak vesszük:

(19) $\mu u_k \partial_k u_i + u_i\partial_k(\mu u_k) = -\partial_i p$ . Szorozva $u_i$ -vel:

$\mu u_k u_i\partial_k u_i - c^2\partial_k(\mu u_k) = -u_i\partial_i p$ .

Az első tag nulla, mert: $u_i\partial_k u_i = \frac{1}{2}\partial_k(u_i u_i) = \frac{1}{2}\partial_k(-c^2) = 0$ .

Tehát, így következik mindjárt (20):

$\partial_k(\mu u_k) = \frac{1}{c^2}u_i\partial_i p$ . Mivel azonban $u_i\partial_i p \equiv \frac{dx_i}{d\tau}\frac{\partial p}{\partial x_i} \equiv \frac{dx_i\frac{\partial p}{\partial x_i}}{d\tau}\ \equiv \frac{dp}{d\tau}$ , kapjuk:

(20) $\partial_k(\mu u_k) = \frac{1}{c^2}\frac{dp}{d\tau}$ . Baloldalt elvégezve a deriválást:

$\mu\partial_k u_k + u_k\partial_k\mu = \frac{1}{c^2}\frac{dp}{d\tau}$ .

A második tagban egészen hasonlóan a jobboldalhoz $u_k\partial_k\mu\equiv\frac{d\mu}{d\tau}$ . Így:

(20.a) $\mu\partial_k u_k + \frac{d\mu}{d\tau} = \frac{1}{c^2}\frac{dp}{d\tau}$ .

Itt álljunk meg egy hosszabb pillanatra! Marx (20)-ból egy csapásra a következő összefüggésre jut:

$\frac{dM}{dt} = \frac{d}{dt}\int{\mu\,\frac{dt}{d\tau} dV} = \frac{1}{c^2}\int{\frac{dp}{d\tau} dV} \neq 0$ .

Na, innen jön a "megváltozik a nyugalmi tömeg" Marx(-DGy)-féle elképzelés.

Szerintem itt fontosak lennének a részletek, de a szerzője ezzel nem igen törődött..
a.) Megpróbálok követni egy gondolatmenetet, melyben egyáltalán nem bizonyul jónak az eredmény.
b.) Majd jóval lentebb megadok egy másik gondolatmenetet, mellyel értelmezhető a hasonló eredmény.

Nézzük előbb az elsőt:
a.)
Az inkompresszibilis anyag terében a négyessebesség divergenciája nulla: $\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\equiv\partial_k u_k = 0$ .
Úgy tűnik Marx ezt szó nélkül felhasználja (20)-ra, és ezzel (20.a) első tagja eltűnik. Így próbál eljutni a 94. oldal alján lévő előbb felírt összefüggésére, melynek végső állítása: $\frac{dM}{dt} \neq 0$ . (Vélhetően itt $t$ egy megfigyelő "valódi" ideje.)

Tehát $\mu\partial_k u_k$ eltűnik, és marad $\frac{d\mu}{d\tau} = \frac{1}{c^2}\frac{dp}{d\tau}$ , vagyis $\frac{d}{d\tau}\mu = \frac{d}{d\tau}\frac{p}{c^2}$ .

A baloldalt, isten tudja mi alapján elgondolt közvetett deriválással, vélhetően átírja $\frac{d\mu}{d\tau} = \frac{d}{dt}\mu\,\frac{dt}{d\tau}$ alakúra (itt gondolom $t$ egy megfigyelő "valódi" ideje.), szoroz $(\sqrt{g})dV$ térfogattal (csak most $\sqrt{g}=1$ , amit ezért el is hagy, de a térfogat jelentéshez mindenképpen kell), majd (gondolom a $dV$ -hez tartozó hiperfelületen haladva) integrál egy bizonyos tartományra, melyhez a következőt mondja:

Marx György írta:"Ha (20) mindkét oldalát olyan tartományra integráljuk, melynek határán $\mu u_k$ tömegáramlás nincs, ..."

Hmmm... Honnan veszi azt, hogy létezik egyáltalán ilyen tartományhatár egy dinamikus kontinuumban, ahol általában $\mu \neq 0$ , tehát ahol $u_k = 0$ ?? (_{az anyagra értelmezett négyessebesség nem nullavektor!}) És ehhez még azt, hogy mindenhol $\partial_k u_k = 0$ ??, ami egyébként sehol máshol a cikkben nem áll. Szerintem ez totál illogikus, és még ellent is mond a relativitáselméletnek. Ugyanis, ha nincs tömeg beáramlás (vagy ami azonos vele: energia beáramlás) a tértartományba, akkor hogyan is növekedhetne (kiáramlás hiányában pedig, hogyan csökkenhetne) már a tértartományba foglalt tömeg (energia)?? Kicsit lentebb ugyanis ezt állítja: $\frac{dM}{dt} \neq 0.$

Ráadásul:

Marx György írta:"...olyan tartományra integráljuk, melynek határán $\mu u_k$ tömegáramlás nincs, ..."

vagyis a sebesség nulla(??), de azért

Marx György írta:"...az anyag más nyomású helyre kerül."

Egyáltalán miért is (tér?)tartományról beszél, mikor az anyagi kontinuum egy anyagdarabjáról van valójában szó.
Ezek nem egészen azonosítható dolgok... Hiába, hogy az anyagdarab, mint anyagi tartomány, minden pillanatban tértartományban foglal helyet, az integrálás tartományát egyáltalán nem mindegy, hogy melyikhez kötjük, mert a "maga nemében" rögzített határaik a mozgások miatt általában nem esnek egybe. Hacsak nem az anyaggal minden pontban "együttmozgó" koordináta-rendszert veszünk fel, de itt Cartesiusi metrika van most, tehát az szóba sem jöhet. És még ráadásul mikor Cartesiusi metrikára tér át az amúgy görbült téridőn, akkor azt csak egy infinitezimálisan kis tartományban tudja összeegyeztetni vele, tehát nem is tudni hova integrál...

Ezen súlyos problémák ellenére azért próbáljuk meg valahogyan követni Marx (valamiért

) nem részletezett gondolatmenetét:

Tehát ott tartunk, hogy integrálja $\frac{d}{dt}\mu\,\frac{dt}{d\tau} (\sqrt{g})dV = \frac{1}{c^2}\frac{dp}{d\tau} (\sqrt{g})dV$ egyenletet:

$\int{\frac{d}{dt}\mu\,\frac{dt}{d\tau} (\sqrt{g})dV} = \frac{1}{c^2}\int{\frac{dp}{d\tau} (\sqrt{g})dV}$ . (Most $\sqrt{g}=1$ .)

Kérdés, hogyan vihető ki baloldalt $\frac{d}{dt}$ az integráljel elé?

1.) Kell hozzá, hogy $(\sqrt{g})\frac{dt}{d\tau}dV = dV_0$ ne függjön a $t$ időtől.
2.) Valamint az integrálási tartomány határa se függjön a $t$ időtől.

Ekkor: $\int{\frac{d}{dt}\mu\,dV_0} = \int{\frac{d}{dt}\left(\mu\,dV_0\right)} = \frac{d}{dt}\int{\left(\mu\,dV_0\right)}$ lenne, és ezzel:

$\frac{d}{dt}\int{\mu\frac{dt}{d\tau} (\sqrt{g})dV} = \frac{1}{c^2}\int{\frac{dp}{d\tau} (\sqrt{g})dV}$ lenne.

Ahol az $1$ értékű $\sqrt{g}$ -t elhagyva megkapjuk a 94. oldal alján lévő egyenletet:

$\frac{d}{dt}\int{\mu\,\frac{dt}{d\tau} dV} = \frac{1}{c^2}\int{\frac{dp}{d\tau} dV}$ . Ami az (5) $M = \int{\mu\,\sqrt{g}\frac{dt}{d\tau} dV}$ ide nem vonatkoztatható(!!!) egyenlet alapján $\frac{dM}{dt}$ lenne, ami talán nem nulla, mert ránézésre úgy tűnik a jobboldalon $\frac{dp}{d\tau}$ általában nem nulla.. (5) azért nem vonatkozik ide, mert abban $dt$ nem a valódi idő differenciálját jelenti(!!!), hanem csupán a tetszőleges koordinátázásból adódó $\frac{dx^4}{c}$ mennyiséget. Ez roppant félrevezető, melyet a (3)-ban ejtett hiba (a végén a nevezőben az oda nem kellő képzetes $i$ ) még erősít.

1.) problémája, hogy $\frac{dt}{d\tau}$ mennyiség (ami vélhetően $\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ . (Novobátzky könyv 102. oldal teteje.)) függvénye a $t$ időnek ( $v(t)$ miatt), ezért $\frac{dt}{d\tau}dV = dV_0$ is függvénye a $t$ időnek. (Arról nem is beszélve, hogy $\sqrt{g}$ nem is nagyon illik ide, csak az (5)-el összekeveredett vélhető elképzelést láttatom vele, ezért is van zárójelben.) $dV = dx_1 dx_2 dx_3$ koordinátadifferenciál szorzat természetesen nem függvénye a $t$ időnek. $dV$ és $dV_0$ egyébként ilyen értelemben nem egy hiperfelületen vannak, ezért nem esnek egybe, hanem csak metszik egymást. Azzal, hogy $\frac{d\mu}{d\tau}$ -t egy közvetett deriválásos (ami mellesleg hamis) formában gondolja el, hogy aztán abból $\frac{dt}{d\tau}$ -t hozzácsapva $dV$ -hez $dV_0$ adódjon, még nem változik meg az integrálás menete. Az integrálás továbbra is a $dV$ -nek megfelelő hiperfelületen történik, ha azon lett előírva, így $dV_0$ nem egy új integrálelem, valamint így nem is egy másik rendszerbeli (nyugalmi) koordinátadifferenciál szorzat, és ezért függvénye a $t$ -nek. Ezek alapján $\frac{d}{dt}$ nem emelhető át az integráljelen.

2.) problémája teljesen hasonló a tartományba való be- vagy kiáramlás problémájával...
Az idézetben aláhúzott állítás talán inkább csak azt akarja mondani, hogy olyan tartományra integráljunk, melynek határán nem jut se be, se ki anyag. Erre utal a folytatás első szavainak megfogalmazása is:

Marx György írta:"A kiszemelt anyagmennyiség..."

A kontinuum kiszemelt elemi $\delta V$ , vagy $\delta V_0$ (_{ez most mindegy, mert ugyan arról a -val jelölt anyagdarabról van szó}) anyagdarabjára $\frac{d(\delta M)}{dt} \neq 0$ , vagy akármennyi kiszemelt anyagdarabra $\frac{d\int{\delta M}}{dt} = \frac{dM}{dt} \neq 0$ csak akkor igaz általában, ha általában a sebességtér divergenciája $\partial_k u_k \neq 0$ . Ennek helyes számítási menetét a Novobátzky könyv 39. Kontinuumok mechanikája című pontja tartalmazza.

$M$ nem pontszerű, hanem integrális mennyiség, tehát a hagyományos anyagmegmaradással rendelkező pontmechanikába NEM emelhető át ez az időbeli fejlődés, ugyanis a PONTnak nincsenek dilatációs tulajdonságai, az anyagmegmaradás pedig nem engedi meg a kinetikus energiának, hogy (pl. ütközés során) tisztán anyagi nyugalmi energiává váljon (egyesülés itt most nincs), vagy fordítva (ami a bomlás esete lenne). Éppen ezért a pontszerű részecskék rugalmatlan ütközésének esete kivezet ezekből a témakörökből...
A relativisztikus pontmechanikában továbbra is marad $\frac{dm}{dt}=0$ , és $\frac{dm}{d\tau}=0$ , ahol $m$ egy PONTszerű nyugalmi tömeg.

Látható, hogy Marx György $\frac{dM}{dt}$ képlete egyszerűen nem jön ki, és talán ezért nem is részletezte a levezetését a cikkében...

És jön hozzá a szöveg:

Marx György írta:"A kiszemelt anyagmennyiség nyugalmi tömege változik, ha az anyag más nyomású helyre kerül. (A nyomásból származó erő az anyagon belső munkát végez, megváltoztatja annak sebességén kívül belső energiáját is, ami a nyugalmi tömeg változásában jut kifejezésre.)"

A "kiszemelt anyagmennyiség" tulajdonképpen $M = \int_{anyag\,szerint}{\delta M}$ , ami a mozgolódások és deformáció miatt általában nem adható meg a megfigyelő koordinátáiban rögzített tértartomány integrálásával, azaz $\int_{anyag\,szerint}{\delta M} \not\equiv \int_{V}{\mu\,dV}$ integrállal (az esetleges pillanatnyi egyenlőségük, _{mert éppen akkor ott van az anyag}, nem azonosság). Ez a probléma a cikkben talán azért nem olyan feltűnő elsőre, mert jelölésegyszerűsítésképp az integráljelen nincs jelölve a tartomány értése. Ahogy azt fentebb is írtam, a kiszemelt anyagrész egyáltalán nem azonos pusztán egy térbeli tartománnyal. A b.) elgondolásban éppen ez lesz kijavítva.
Ebből is jól látszik, hogy Marx György mennyire nem értette meg Novobátzky Kontinuumok mechanikája című 39. alfejezetét (99. oldal a könyvben), és benne az anyagelemre vonatkoztató $\delta$ jelölést, meg persze a hozzá kapcsolódó dilatációs kalkulációt, a kombinált (195) végeredménnyel együtt.

Visszatérve a $\frac{d}{d\tau}\mu = \frac{d}{d\tau}\frac{p}{c^2}$ egyenlethez, vigyük tovább az inkompresszibilis jelleget.
Differenciálokra áttérve ez még egyszerűbb alakú: $c^2 d\mu = dp$ . (A nyomás adja a nyugvó tömeget..

)
Ennek az általános megoldása: $\mu = const. + \frac{p}{c^2}$ , ahol a konstanst így $\mu_0$ -nak kell választani, mert $\frac{d}{d\tau}\mu_0 \equiv u_i\partial_i\mu_0 = 0$ így illeszkedik a $\partial_i u_i = 0$ inkompresszibilis jelleghez, mivel ekkor:

$u_i\partial_i\mu_0 + \mu_0\partial_i u_i = \partial_i(\mu_0 u_i) = 0$ , ami éppen a kontinuitási egyenlet.

Ez a $\mu_0$ nyugalmi tömegsűrűségű anyag megmaradását jelenti, tehát az összetevő elemi részeinek $m = \mu_0\delta V_0$ nyugalmi tömege állandó a mozgása során. Azért így a helyes, és nem pedig így: $m = \int{\mu_0\ dV_0}$ , mert $\mu_0$ csak az egyes infinitezimális elemi anyagdarabokon belül konstans (és ugye így a mozgás során), viszont minden egyes ilyen elemhez tetszőleges érték tartozhat, tehát $\mu_0$ függvénye a térnek, és az időnek is, mert ugye a koordináta-rendszer szerinti térpontban minden időben lehet más anyagelem a mozgásuk miatt. (Itt a "térpontban" megfogalmazás talán nem tökéletes nyelvileg, hiszen az anyagelem nem pontszerű, hanem infinitezimálisan kiterjedt. Zavarba ejtő, viszont matematikailag nem probléma, hogy minden egyes ponthoz külön infinitezimális kiterjedésű tartomány tartozik.)

$\mu = \mu_0 + \frac{p}{c^2}$ . _{(22) majdnem ilyen alakú, csak ott skalárpotenciált farag a nyomásból (amit kicsit lentebb részletezek), és az abban szereplő már nem konstans az anyagelem világvonala mentén, hanem fejlődő. Ezzel együtt ekkor már a négyessebesség divergencia sem nulla...}

Ezt visszaírva a (17)-be, megkapjuk az összenyomhatatlan inkompresszibilis folyadék energiaimpulzus-tenzorát:

(26) $T_{ik} = \left(\mu_0 + \frac{p}{c^2}\right) u_i u_k + p\delta_{ik} = \mu_0 u_i u_k + p\left(\delta_{ik} + \frac{1}{c^2}u_i u_k\right)$ . (Novobátzky könyv 106. oldal (211) képlet.)

(17) $T_{ik} = \mu u_i u_k + p\delta_{ik}$ az energiaimpulzus-tenzornak részeiben nem egy igazán jól értelmezhető felbontása. Marx ezzel kapcsolatban cikkében a következőt idézi:

Marx György írta:"Szabó János szerint erre az alakra közvetlenül a következőképpen juthatunk: Az első tag a tömegmozgásról számot adó kinetikus energia-impulzustenzor. A második tag a rugalmas feszültségekről számot adó tenzor. Ha megköveteljük, hogy utóbbinak nem-diagonális, nyíró-jellegű komponensei bármely inerciarendszerben tűnjenek el, egyértelműen a $p\delta_{ik}$ alakra jutunk."

(Az utolsó mondathoz: Már az elején említettem, hogy a választott megfigyelő inerciarendszernek semmi köze ahhoz, hogy megköveteljük a nyírófeszültségek nemébredését. Utóbbi az anyag lehetséges állapotát korlátozó követelés, melyet mondjuk egy állapotegyenlet állít be..)
Ha igaz volna, hogy az első tag a tisztán kinetikai energiaimpulzus-tenzor, akkor a második tag hibás, ugyanis abban nem csak a nyomásnak megfelelő három diagonális komponensnek ad $p$ értéket, hanem a negyediknek is, ami így önmagában hibás energiaimpulzus-tentor. Ez teljesen egyértelmű. A negyedik diagonális tag a negatív nyugalmi energiasűrűséget jelenti (a (+,+,+,+)-os, $i$ -t használó, és csak alsóindexes szignatúrában), és ennek abszolút értéke nagyobb kell legyen, mint $3p$ , különben az energiaáramlás gyorsabb lenne a vákuumbeli fénysebességnél. Ezért ennek nem lehet úgy (se) pozitív (se) $p$ értéket adni, hogy a két résztenzort összegezve ez a $T_{ik}$ -ban ne esne ki, és akkor az első tenzor ebben a komponensben még mindig tartozik a másodiknak legalább $-3p$ -vel, tehát az nem lehet tisztán kinetikus jellegű. Ezt meggondolva máris adódik, hogy az első tagban $\mu$ -nek tartalmaznia kell egy $+\frac{p}{c^2}$ tagot, hogy az említett $p$ kiessen, és ami marad, az sem csak a tömegmozgásról ad számot, hanem tartalmazza az anyagdarabban tárolt rugalmassági energia nyugalmi értékének megfelelő részt is, ezért az nem tisztán kinetikai nyugvásból származik. Így a $\mu$ valójában $\frac{\epsilon + p}{c^2}$ kell legyen, ahol még $\frac{\epsilon}{c^2} \neq \mu_0$ , tehát $\epsilon/c^2 = \mu_0 + r/c^2$ , ahol $r$ a rugalmassági energia nyugalmi értéke. A tisztán kinetikai energiaimpulzus-tenzor $\mu_0 u_i u_k$ , ahol $\mu_0$ a saját rendszerében teljesen nyugvó tömegsűrűséget jelent.

Általában, és inkább folytonossági szemléletben azonban, $\mu_0$ nem választható külön az anyagban. Így általában a $\partial_i(\mu_0 u_i) = 0$ egyenlet sem létezik, tehát $\mu$ összetevődésének pontos ismeretéhez valamilyen állapotegyenletnek az ismerete is szükséges.

A tapasztalat azonban az anyag szerkezetének ilyen-olyan, összetettebb, vagy elemibb, de részecskeszerű szerkezetét tárta fel (melyek elemei gyakran még jól szeparálhatóak is, mint gázok, folyadékok, plazmák, elektron"felhő", egyéb részecskecsoportosulások...), ezért hasznos lehet formálisan mégis különválasztani $\mu_0$ -t, ami azt jelenti, hogy fenntartani rá a $\partial_i(\mu_0 u_i) = 0$ kontinuitási egyenletet, de úgy, hogy közben $\partial_i u_i \neq 0$ , vagyis kompresszibilis (összenyomható) az anyag, mert hiszen az inkompresszibilitás (összenyomhatatlanság) elvileg is súlyosan hibás idealizáció volna, mert az a fénysebességet túlszárnyaló hatástovábbítást engedne meg, amit ugye alapvetően tilt a relativitáselmélet. Ezért könyvében Novobátzky is tiltakozik az inkompresszibilitás idealizációja ellen a 107. oldal tetején.

Tehát $\partial_i(\mu_0 u_i) = u_i\partial_i\mu_0 + \mu_0\partial_i u_i = 0$ ,

és így $\mu_0\partial_i u_i = -u_i\partial_i\mu_0 = -\frac{d}{d\tau}\mu_0$ , azaz:

A négyessebesség divergenciája a részecskék sűrűségének csökkenését jelenti.

$\int{\mu_0 dV_0} = n\,m$ , ahol $m$ az invariáns és konstans részecsketömeg, $n$ pedig a térfogatba foglalt részecskék száma. (Itt most csak egyféle anyagot gondolunk el, ezért benne csak egyforma alkotórészecskék vannak.)

Meg lehet alkotni olyan mozgásegyenletet, melyben nem szerepel $\mu_0$ . Ez úgy lehetséges, hogy más mennyiséget vezetünk be, és ezzel más, bizonyos szempontból (vagy esetekben) esetleg hasznos leírást nyerhetünk.

Eddig a mozgásegyenletünk:

(19) $\partial_k (\mu u_i u_k) = \mu u_k \partial_k u_i + u_i\partial_k(\mu u_k) = -\partial_i p$ . Ezt $u_i$ -vel szorozva jött (20):

(20) $\partial_k(\mu u_k) = \frac{1}{c^2} u_k \partial_k p$ .

Vezessük be $\mu$ -nek $\mu_0$ -tól való eltérését egy $P$ függvénnyel:

(22) $\mu = \mu_0 \left(1 + \frac{P}{c^2}\right)$ .

Helyettesítsük be ezt (20)-ba:

$\partial_k\left[\mu_0 \left(1 + \frac{P}{c^2}\right) u_k\right] = \frac{1}{c^2} u_k \partial_k p$ . Elvégezve a parciális deriválásokat kapjuk:

$\partial_k(\mu_0 u_k) + \partial_k\left(\frac{\mu_0 u_k P}{c^2}\right) = \frac{1}{c^2} u_k \partial_k p$ ,

$\partial_k(\mu_0 u_k) + \frac{P}{c^2}\partial_k(\mu_0 u_k) + \frac{1}{c^2}\mu_0 u_k \partial_k P = \frac{1}{c^2} u_k \partial_k p$ . Az első két tag nulla. Ezek elhagyása után $\frac{1}{c^2}$ -tel egyszerűsítve marad:

$\mu_0 u_k \partial_k P = u_k \partial_k p$ . Átírjuk $u_k \partial_k$ -t $\frac{d}{d\tau}$ -ra: $\mu_0 \frac{dP}{d\tau} = \frac{dp}{d\tau}$ .

Ez az összefüggés független $d\tau$ -tól, tehát a világvonalaktól is, így azt egyszerűsítve hagyjuk el, és térjünk át pusztán differenciálokra:

$\mu_0 dP = dp$ . A mértékegységek: [tömegsűrűség] [energia/tömeg] = [energiasűrűség]

Az egyenletből és a mértékegységekből is jól látható, hogy $P$ (skalár)potenciál, amit nevezzünk el nyomáspotenciálnak. Ez lesz a hidrodinamika nyomáspotenciálja.

Átvisszük $\mu_0$ -t a másik oldalra, majd integrálunk: (23) $\int{dP} = P = \int{\frac{dp}{\mu_0}}$ .

Ahogyan $p$ , úgy természetesen $P$ is függvénye a térnek, és az időnek.

Ezek teljes differenciáljait átírva a kettővel előbbi egyenletben kapjuk: $\mu_0\frac{\partial P}{\partial x_k}dx_k = \frac{\partial p}{\partial x_k}dx_k$ .

Mivel ebben $dx_k$ tetszőleges, következik, hogy $\mu_0\frac{\partial P}{\partial x_k} = \frac{\partial p}{\partial x_k}$ . Egyszerűbb jelöléssel: $\mu_0\partial_k P = \partial_k p$ .

Most kovácsoljuk össze (19) mozgásegyenletet a belőle fakadó (20) egyenlettel.
Behelyettesítve (20)-at (19)-be:

$\mu u_k \partial_k u_i + \frac{1}{c^2} u_i u_k \partial_k p = -\partial_i p$ , (Átrendezés:)

$\mu u_k \partial_k u_i = -\frac{1}{c^2} u_i u_k \partial_k p - \partial_i p$ , (Jobboldalon az utolsó tagban egy Kronecker deltával indexváltoztatás:)

$\mu u_k \partial_k u_i = -\frac{1}{c^2} u_i u_k \partial_k p - \delta_{ik}\partial_k p$ , (Kiemelés:)

$\mu u_k \partial_k u_i = -\left(\delta_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\partial_k p$ , (Baloldalon azonos átírás:)

(24) $\mu \frac{du_i}{d\tau} = -\left(\delta_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\partial_k p$ .

Helyettesítsük be (22) $\mu = \mu_0 \left(1 + \frac{P}{c^2}\right)$ összefüggést az átrendezés előtti összekovácsolt egyenletbe:

$\mu_0 \left(1 + \frac{P}{c^2}\right)u_k \partial_k u_i + \frac{1}{c^2} u_i u_k \partial_k p = -\partial_i p$ . Osztva $\mu_0$ -al, és felhasználva, hogy $\frac{\partial_k p}{\mu_0} = \partial_k P$ :

$\left(1 + \frac{P}{c^2}\right)u_k \partial_k u_i + \frac{1}{c^2} u_i u_k \partial_k P = -\partial_i P$ .

Az első tagot $ab' = (ab)' - ba'$ összefüggés alapján átalakítva, ahol a deriválásnak most $u_k\partial_k \equiv \frac{d}{d\tau}$ felel meg:

$u_k\partial_k\left[\left(1 + \frac{P}{c^2}\right) u_i\right] - u_i u_k \partial_k\left(1 + \frac{P}{c^2}\right) + \frac{1}{c^2} u_i u_k \partial_k P = -\partial_i P$ .

A második tag átalakítva a harmadikkal egyezik, és kiejtik egymást:

$u_k\partial_k\left[\left(1 + \frac{P}{c^2}\right) u_i\right] - \frac{1}{c^2} u_i u_k \partial_k P + \frac{1}{c^2} u_i u_k \partial_k P = -\partial_i P$ . Marad:

$u_k\partial_k\left[\left(1 + \frac{P}{c^2}\right) u_i\right] = -\partial_i P$ . Készen is vagyunk, a (19) hidrodinamikai mozgásegyenlet új alakja:

(25) $\frac{d}{d\tau}\left[\left(1 + \frac{P}{c^2}\right) u_i\right] = -\partial_i P$ .

Ezzel kiküszöböltük $\mu$ -vel együtt $\mu_0$ -t is, és $p$ -t is, tehát lényegtelenné vált, hogy $\mu_0$ valóban különválasztható-e, vagy sem $\mu$ -ben, hiszen ezek helyett sikerült bevezetni egy $P$ potenciált, amely kifejezetten hasznos mennyiség lehet bizonyos dinamikai problémák tárgyalására/leírására. Pl.:

Marx György írta:"Az atommagban terjedő hanghullámok sebessége megközelíti a fénysebességet, ami kívánatossá teszi e téren is a relativisztikus effektusok megbecslését. A hidrodinamika egyenleteinek extrém relativisztikus alakját alkalmazta Landau a mezon-keletkezés elméletében a nagyenergiával ütköző nukleonok belsejében terjedő lökéshullám leírására."

A cikk 3. paragrafusa a sebességpotenciállal, potenciáláramlással, relativisztikus Bernoulli-egyenlettel folytatja a hidrodinamika alapjait.

Ahogy fentebb említettem, megadok egy gondolatmenetet arra, hogyan lehet mégis valamiképpen értelmezni a kérdéses "megváltozik a nyugalmi tömeg" igen rosszul megfogalmatott dolgot...
b.)
Természetesen a saját nyugalmi tömeg nem fog megváltozni.

Marx György írta:"A kiszemelt anyagmennyiség ... melynek határán ... tömegáramlás nincs"

Értsük ezt inkább úgy, hogy átáramlás nincs.

Használjunk a vizsgálati helyen Cartesiusi metrikát. ( $\sqrt{g}=1$ )
Legyen a "kiszemelt anyagmennyiség" egy infinitezimális anyagelem, melynek térfogatát ekkor Novobátzky könyve nyomán az erre vonatkozó $\delta$ jelölést használva, jelöljük $\delta V$ -vel, és szorozzuk be a (20.a) egyenletet ezzel:

$\mu\partial_k u_k \delta V + \frac{d\mu}{d\tau} \delta V = \frac{1}{c^2}\frac{dp}{d\tau} \delta V$ . Baloldalt a második tagot közvetett deriválással átírjuk $\frac{d\mu}{dt}\frac{dt}{d\tau} \delta V$ .

Ebben az elgondolásban ezzel nincs baj, mert külön bármely vizsgálati helyen a próbatest szerű kiszemelt anyagelem világvonal menti ottani $\mu$ nyugalmi sűrűsége tekinthető egyedül a megfigyelő $t$ idejétől függő mennyiségnek: $\frac{d}{dt}\mu\,\frac{dt}{d\tau} \delta V$ . Ebben $\frac{dt}{d\tau} \delta V = \delta V_0$ , tehát:

$\mu\partial_k u_k \delta V + \frac{d}{dt}\mu\,\delta V_0 = \frac{1}{c^2}\frac{dp}{d\tau} \delta V$ . Hasonlóan jobboldalt is elvégezzük az átalakítást:

$\mu\partial_k u_k \delta V + \frac{d}{dt}\mu\,\delta V_0 = \frac{1}{c^2}\frac{d}{dt}p\,\delta V_0$ .

Kívánatos a megállapítás eléréséhez, hogy matematikailag különválasszuk az éppen kiszemelt infinitezimális próbatest szerű anyagelemet, és a környezetet, melyet az anyagi kontinuum többi része jelent. Ez a vizsgálati függetlenítés azt jelenti, hogy rögzítjük a próbatest nyugalmi térfogatát, tehát $\frac{d}{dt} \delta V_0 = 0$ , és ezzel együtt $\partial_k u_k = 0$ . (Novobátzky könyv 105. oldal (210) képlet.)
Az egyenlet baloldalának első tagja utóbbi összefüggés miatt eltűnik, a többiben pedig $\delta V_0$ bevihető a deriválás alá:

$\frac{d}{dt}\left(\mu\delta V_0\right) = \frac{1}{c^2}\frac{d}{dt}\left(p\,\delta V_0\right)$ . Differenciálokra áttérve: $d(\mu\delta V_0) = \frac{1}{c^2}d(p\,\delta V_0)$ .

Ebben $\mu = \frac{\epsilon + p}{c^2}$ , és $\mu\delta V_0 = \delta M$ . Így:

$d(\delta M) = \frac{1}{c^2}d(p\,\delta V_0)$ . Mivel $\delta V_0$ rögzített: $d(\delta M) = \frac{1}{c^2}dp\,\delta V_0$ .

Ebből pedig az látható, hogy egy rendszer teljes tömege (_{a képletben még csak infinitezimálisan kicsi a tekintett rendszer, és éppen nyugalmi mennyiségekkel van felírva..}) tartalmazza annak a munkának, mint energiának a tömegegyenértékét is, mely az infinitezimális tartományon (anyagdarabon) belüli egyes picike darabkák egymás melletti elhelyezkedéséhez szükséges. Más szóval a rendszer külön gondolt kis picike részeinek saját összesített $\epsilon\,\delta V_0$ energiáján kívül az összeállításához, létrehozásához szükséges $p\,\delta V_0$ energiát is tartalmazza, amit együtt nevezzünk az infinitezimális anyagdarab nyugalmi entalpiájának:

$\delta entalpia_0 = (\epsilon + p)\delta V_0$ .

Ebben a tekintetben az E₀ = m₀c² összefüggésben a baloldal az entalpiát jelenti. Mivel a $\delta M$ nyugalmi érték, így ez az entalpia is itt most csak amolyan "nyugalmi entalpia" (_{erre utal a 0 index}). Egy véges kiterjedésű rendszer teljes, azaz infinitezimális kis darabjainak mozgási energiáját (_{erre utal az M index}) is tartalmazó $M_M = \int{\delta M_M}$ tömegegyenértéknek nyilván tartalmaznia kell a nyomásból eredő, és az energiát entalpiára kiegészítő tagot is. Logikus lenne a képletet úgy átírni, hogy benne az $\epsilon$ nyugalmi energiasűrűség helyett az $\epsilon_M$ megfigyelő rendszerbeli energiasűrűséget venni, a $\delta V_0$ nyugalmi térfogat helyett a $\delta V$ megfigyelő rendszerbeli térfogatot venni, és a $p$ nyomás, mivel invariáns skalár, marad ugyan az. Ekkor az infinitezimális anyagdarab (nem nyugalmi) entalpiáját kapjuk (melynek következetes levezetését majd egy másik hozzászólásomban tárgyalom..): $\delta entalpia = (\epsilon_M + p)\delta V$ , melynek integrálja a véges kiterjedésű rendszer "igazi" entalpiája:

$entalpia = \int{\delta entalpia} = \int{(\epsilon_M + p)\delta V}$ .

Az "igazi" (azaz nem nyugalmi) entalpia a teljesen általános E = mc² összefüggés alapján $M_M c^2$ , vagy infinitezimális anyagdarabra $\delta M_M c^2$ .

Ezek alapján: $\delta M_M = \mu_M\delta V = \frac{\epsilon_M + p}{c^2}\delta V$ .

Kezdeti gondolatmenetünk a $V_0$ nyugalmi térfogat értékének, és az $\epsilon$ nyugalmi energiasűrűség értékének rögzítettségéhez vezetett. Rögzítsük most a $\delta V$ térfogat értékét, és az $\epsilon_M$ energiasűrűség értékét. Ekkor a mozgási energia egyenértékét is tartalmazó tömeg "megváltozása", ha a $\delta V$ térfogaton belül pusztán folytonosan más nyomást képzelünk el:

$d(\delta M_M) = \frac{1}{c^2}dp\,\delta V$ .

Érdemes észrevenni, hogy az elején a vizsgálati elgondolás még valamennyire fizikai folyamatszerű, de végül már inkább csak matematikai átúsztatásnak (matematikai crossfade-nek) tűnik. Ezzel így nincs baj, mert elég körültekintőek voltunk a gondolatmenet megalkotásában, tehát ez a matematikai crossfade fizikailag is értelmes. Jól kivehető benne a nyomáshoz tartozó energia potenciál jellege, amit fentebb a bevezetett $P$ nyomáspotenciál ad. Lényegében ugyan arról van szó, csak picit más gondolatmenetben, és nézetben. Ezért szerkesztettem ezt a b.) pontot közvetlenül a nyomáspotenciált tárgyaló rész után. Az E=mc² általános összefüggés a potenciális jellegű megvalósult energiáknak is természetesen tulajdonít tömegértéket. Ezt célszerű lokalizálni, hacsak lehet, ami a nyomás esetében nem okoz problémát. Egyszerűen az anyagi kontinuumok kis részdarabkáinak tömegéhez vannak felszámolva (_{+ nyomás}) a saját nyugalmi (_{kinetikai + rugalmassági}), valamint mozgásukból adódó tömegük felett.

Marx György írta:"A nyomásból származó erő az anyagon belső munkát végez, megváltoztatja annak ... belső energiáját is, ..."

A kiszemelt anyagdarab-on, és -nak nem.. Az anyagdarabra ható (_{éppen nyomásból származó}) mechanikus erő a környező anyagdaraboktól származó potenciális és rugalmassági energiát alakítja át a kiszemelt anyagdarab kinetikus energiájává, vagy éppen fordítva.

Marx György írta:"... megváltoztatja annak ... belső energiáját is, ami a nyugalmi tömeg változásában jut kifejezésre."

Ez így nem jó.. Természetesen az anyagi kontinuum rendszernek a saját nyomásából származó potenciális energiája az egész rendszernek belső energiája, de az egyes darabjainak szempontjából annak az nem belső energiája, és nem a saját nyugalmi tömegének számít, hanem azon felül felszámítódó tömeg.

Tehát az anyagi kontinuumok relativisztikus dinamikájában nincs semmi misztikus "megváltozik a nyugalmi tömeg" dolog. (A pontmechanikában még úgy se..)

Egyszerűen arról van szó, hogy a nyomással kapcsolatos potenciális energiának is van tömegértéke, ami az általánosan igaz m = E/c² alapján is adódik. A $P$ nyomáspotenciál skalármezője így összesítve "tömeget ad" az anyagi kontinuum darabkáinak. Ezt a skalármezőt maga az anyagi kontinuum sűrű sokasága szolgáltatja önmaga egyes kis darabjainak.

(Ennek semmi köze sincs a kvantumelmélet, vagy pontosabban fogalmazva a részecskefizika mértéktérelméleti Higgs-mechanizmusához, melyben egy nem eltűnő vákuumértékű önkölcsönható hipotetikus mezőt is tartalmazó Lagrange-sűrűség mértéktranszformációs azonos átalakítása "ad tömeget" a benne szereplő különféle egyéb részecskéknek.)

A $\delta M = \mu(x)\,\delta V_0$ az anyagi rendszer infinitezimális darabjának teljes "nyugalminak vett(!!) energiája" (tömegértékben), melynek matematikai és fizikai megfontolásból célszerű az "energia" szó helyett másikat adni, így (nyugalmi) entalpiának nevezzük inkább el. Az infinitezimális anyagdarab impulzusát ezzel kell számolni (nem pedig $\mu_0(x)\,\delta V_0$ -al). Ha az anyagi kontinuum, mint rendszer, véges méretű darabjára/részére, vagy egészére integrálunk, akkor $M_M = \int{\delta M_M} = \int{\mu_M(x)\,\delta V}$ a részrendszer, vagy a teljes rendszer "igazi" (nem nyugalmi _{erre utal az M index}) entalpiája tömegértékben. A rendszer/részrendszer impulzusát ezzel az entalpiának megfelelő tömeggel kell számolni, és nem pedig a szokványos energiának megfelelővel. A kontinuum rendszer/részrendszer pontmechanikára redukált energiaimpulzus vektora tulajdonképpen így entalpiaimpulzus vektor. (Vigyázat! Az $\int{}$ jelen nincs jelölve az integrálási tartomány határa, de ez most nem rögzített a megfigyelő szerinti $x$ koordinátákkal. A kiszemelt konkrét anyagmennyiség a mozgása során viszi magával az integrálási tartomány határát, tehát az függ az integrálás szempontjából konstans $t$ időtől.) Ez pedig Marx György (2)-es képletével vág egybe (csak én, mint Novobátzky is, az infinitezimális anyagdarab(!!!)ra helytállóan a $\delta$ jelölést használom (_{amely most nem variációt jelent}), és NEM pedig az infinitezimális változás(!!!) $d$ jelét), melyhez ő ezt írta:

Marx György írta:"A folyadék anyageloszlásának jellemzésére bevezetjük a $\mu$ nyugalmi tömegsűrűséget. Ezt a következőképpen értelmezzük. Valamely tartományban helyet foglaló teljes $M$ nyugalmi tömeg és annak $\mu$ nyugalmi sűrűsége közt álljon fenn mindig a következő kapcsolat: $M=\int{\mu(x)\,dV_0}$ . (2)"

Ebből még nem derül ki, hogy mihez rögzíti azt a tartományt. Az anyaghoz, vagy a tetszőleges $x$ koordinátázáshoz. Ez egyáltalán nem mindegy $\frac{dM}{dt}$ kérdésében. (Az aláhúzott rész az utóbbit sugallja.) Ráadásul a 94. oldal alján Cartesiusi metrikát használ, amit ki sem tud terjeszteni a valójában görbült téridő egy infinitezimális tartományánál nagyobbra. Görbületlenségről pedig szó sincs.

Marx egyszerűen nem is gondolta (pedig egyértelmű), hogy ha egy teljes rendszert mérlegre teszünk, akkor nem csupán kis tömegecskék kinetikus halmazát mérjük így, hanem azok kölcsönhatásait is, vagyis a kölcsönhatási energiák tömegegyenértékét is, tehát a benne lévő rugalmassági energiát, és még a nyomást is tartalmazza(!!!) az $M$ tömeg. A rendszer teljes impulzusát ezzel kell számolni, nincs mit csodálkozni ezen (Novobátzky könyv 115. oldal (227) képlet). Nem kell ehhez még termodinamika sem, csak relativisztikus dinamika. Novobátzky is a könyvében a 114. oldal felétől a 115. oldal feléig tisztán relativisztikus dinamikát alkalmaz, és az alapján adódik az entalpia mikéntje.

Marx György "megváltozik a nyugalmi tömeg" szemlélete a nyomást belegyömöszöli a(z akár PONTszerű) merev anyagelembe, mint már valami anyagi eredetű nyugvó tömeget. Az anyagelem saját teljes nyugalmi tömegét, vagy ennek egy részét lényegében fizikálisan azonosítja vele. Említés és magyarázat nélkül használja fel az inkompresszibilitás $\partial_k u_k = 0$ egyenletét. (A cikkében a hidrodinamika a 94. oldal alját kivéve sehol sem inkompresszibilis.)

Valójában a nyomás az anyag állapotából ered, és nem pedig egy anyagtól független "nyomáspotenciálból".
Bár igaz, hogy ha sűrű folytonos anyag egy-egy kis elemi részét nézzük, akkor a környezetében lévő lényegesen nagyobb többség szinte már tőle függetlenül előállítja a fizikai körülményeket. Így a hidrodinamika a nyomást a tér összes pontját tekintetve már az anyagtól lényegében független "térként" (mezőként) kezeli, és azt potenciállá alakítva már úgy, mint valami magasabb rangú független $P(x)$ skalárteret (mezőt), melynek az egyes anyagi részecskék csak alá vannak vetve. Ezért olyan esetekben ahol az anyag valóban sűrű, és szinte (majdnem) úgy viselkedik, hogy rugalmas nyírófeszültségektől mentes, jól használható ez a szemlélet.

Néhány hiba az idézett cikkrészben:

(3)-ban nem kell az $i$ .
(8)-ban középen $dx$ elől lemaradt a $\sqrt{g}$ .
(13) és (15) után a képletek végén $dx$ helyett $dV$ kell.
Ezek a hibák inkább csak amolyan nyomdai jellegűek, vagy még inkább már a cikk szerkesztése alatt keletkeztek, és maradtak úgy.

Elvi hibák:
(10) nem megmaradási tétel, mert nem a kovariáns divergencia fejez ki megmaradást, hanem a sima parciális deriválással képzett divergencia, még ha görbült is a tér.
(18) csak a specrel keretein belül fejezi ki az írt megmaradást, ugyanis általánosan, vagyis az áltrelben a gravitációnak is van energiája és impulzusa. Az viszont más kérdés, hogy (10) egyenlet mellett mégis valahogyan fennállhat megmaradás... (Landau könyv 96. paragrafusa.)
(11) és (12) közepe pedig lényegében felesleges.

Marx György írta:"A folyadék áramlását leírja az $u^i(x)$ négyessebesség. Mivel most az $x^i$ koordináta független változó, $u^i$ -t nem $x^i$ deriváltjának tekintjük, hanem inkább az áramlásnak négyestérbeli irányát kijelölő egységvektornak.
(1) $u_i(x)u^i(x) = -c^2$ "

Az egységvektornak a távolságban mért hossza nem $ic$ , hanem $1$ , vagy $i$ . (Előbbi térszerű, utóbbi időszerű a (+,+,+,-)-os szignatúrában.)
Az $u^i$ négyessebesség mindenképpen $\frac{dx^i}{d\tau}$ , vagyis a négyeselmozdulás sajátidő szerinti deriváltja, aminek tényleg nem a hossza, hanem az iránya hordozza az információt.
Mivel $d\tau = \frac{ds}{ic}$ , ezért $u^i = \frac{dx^i}{d\tau} = ic\frac{dx^i}{ds}$ , és mivel $dx^i$ hossza $ds$ , ezért $\frac{dx^i}{ds}$ csupán csak $dx^i$ -nek $1$ -re normálása. Ebből rögtön következik, hogy a $dx^i$ négyeselmozdulás, és az $u^i$ négyessebesség négyesvektorok fizikai információtartalma azonos, és csak négyestérbeli irány jellegű.
Szépen ki is jön (1): $u_i u^i = \frac{dx_i}{d\tau}\frac{dx^i}{d\tau} = ic\frac{dx_i}{ds}ic\frac{dx^i}{ds} = i^2 c^2\frac{dx_i dx^i}{ds^2} = -c^2\frac{ds^2}{ds^2} = -c^2$ .

Véleményem szerint ezek, és a kitárgyalt 94. oldal alján lévő "megváltozik a nyugalmi tömeg" elvi hiba mellett van még egy kevésbé feltűnő szintén elvi jellegű hiba. Ez esetleg belemerülve azért kevésbé feltűnő, mert mélyebb meggondolásokat igényel, viszont ezek felmerülése egyszerűen és hibásan egy mondattal el vannak fedve:

Marx György írta:"A variáció elvégzésekor vegyük figyelembe, hogy egy tetszőleges tartományban levő $M$ nyugalmi tömeg, valamint az abban uralkodó $p$ nyomás természetesen független a metrikaválasztástól. $\mu$ -nek $g_{ik}$ -tól való függését az (5) értelmező egyenlet szabja meg."

Mivel $M$ és $p$ invariáns skalárok, az igaz, hogy függetlenek a metrika"választástól", HA(!!!) a már megvalósult világon választunk koordinátázást, és így értve egy "metrikaválasztást". DE(!!!) a teljes variálással nem csak ez történik, hiszen magát a világot, azaz benne az összes eseményt is variáljuk. Viszont mivel mi egy megvalósult világon keresünk matematikai formát, összefüggéseket, így ezeket ( $M$ és $p$ ) most csak nem variáljuk. Ez azzal az esettel vág egybe, mikor a tömegpont mozgásának variációs hatáselvében a pálya egyenlete a kérdés, és ezért a pálya végpontjait nem variáljuk. A másik ezzel nem egybevágó eset a tömegpont mozgásának variációs hatáselvben, mikor a megvalósult pálya végpontjait variáljuk, és így keresünk matematikai összefüggéseket. (Landau I 43. paragrafus, Landau II 9. paragrafus 46. oldal.)
Szóval a cikk az idézett résznél egyszerűen azt sugallja, hogy azért nem variálódnak, mert invariáns skalárok. Na de rögtön feltűnik, hogy $\mu$ is invariáns skalár, mégis variálható, ahogyan pl. $d\tau$ , $ds$ , vagy $ds^2$ is.

A variációs elven alapuló levezetés (11), (12) és (14) nélkül, valamint egy kicsit összetettebb szemléletben megalkotva, így az imént leírt elvi hibákat kijavítva (plusz (13) első tagjának szó nélkül hagyott kétességét eldöntve) más képet ad:

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.12. 01:58

Az anyagi folytonosságok (kontinuumok) fizikájában a tehetetlen nyugalmi tömeg integrális mennyiség. Jelöljük ezt $M$ -el, és a hármastérfogati sűrűségét $\mu$ -vel. Az összefüggés azonnal adódik:
(Szinkronban az idézett Marx cikkel, és Novobátzky könyvével, (+,+,+,-)-os szignatúrát használunk.)

$M = \int{\mu\sqrt{\gamma}\,dV}$ , ahol $dV = dx^1 dx^2 dx^3$ , és $\gamma$ a háromdimenziós tér metrikus tenzorának determinánsa,

melyre a következő áll: $\gamma = -\frac{g}{g_{44}}$ , tehát $\sqrt{\gamma} = \frac{\sqrt{g}}{\sqrt{-g_{44}}}$ , és mivel $\frac{1}{\sqrt{-g_{44}}} = \frac{dx^4}{cd\tau}$ , ezért $\sqrt{\gamma} = \sqrt{g}\frac{dx^4}{cd\tau}$ .
(Landau könyv 84. paragrafusa.)

Ebben $\tau$ egy megfigyelő valódi sajátideje, aki az $x^1, x^2, x^3 = const.$ háromdimenziós térbeli pontban (világvonalon) van, tehát számára $dx^1 = dx^2 = dx^3 = 0$ . Bevezetve egy $t = \frac{x^4}{c}$ "koordinátaidőt" (ami nem valódi idő), $dt = \frac{dx^4}{c}$ , és ezzel:

$\sqrt{\gamma} = \sqrt{g}\frac{dt}{d\tau}$ .

A cikkben szereplő (5) $M = \int{\mu\sqrt{g}\frac{dt}{d\tau}\,dV}$ láthatóan egyezik ezzel: $M = \int{\mu\sqrt{\gamma}\,dV}$ .

Ezek térfogati integrálok, melyek tartományhatárát a (fizikailag nem valós) térváltozók, azaz a koordináták értékeiben rögzítjük. Viszont $\int{\mu\sqrt{g}\frac{dt}{d\tau}\,\delta V} = \int{\mu\sqrt{\gamma}\,\delta V} = \int{\mu\,\delta V_0}$ konkrét véges méretű anyagdarabra vonatkozó integrálok, melyek tartomány határát fizikailag valós anyag(beli)határ rögzíti. (_{Ebben a pár képletben nem variációt jelent, hanem az anyagdarabra vonatkoztatást jelöli.}) Ez lényeges különbség, ami nem csak szemléletbeli, hanem matematikai is. Ugyanis $dV = dx^1 dx^2 dx^3$ nem függvénye $t$ -nek, viszont $\delta V = \delta V(t)$ igen. (Novobátzky könyv 99. oldal (194) térfogati dilatáció képletek.)

Az elosztott $M$ tömeg infinitezimális (de nem pontszerű) részei eseményszerűen foglalnak helyet a "szubsztanciális" rendszerekben a háromdimenziós térben, és a világot ilyen szempontból nem szeretnénk variálni, azaz ilyen szubsztanciális nyugalmi tömeget nem kívánunk sem hozzáadni, sem elvenni a világból, hanem inkább a már benne lévő eloszlott tömeg, azaz az anyagi kontinuum relativisztikus dinamikájának mibenlétét keressük.

Tehát, az $M$ tömeget nem variáljuk, variációja nulla: $\delta M = 0$ .

Az elosztott $M$ tömeg infinitezimális (de nem pontszerű) részei részben nyugalmi tömegegyenértékek csupán, amik a "szubsztanciális", azaz az elemi anyagdarabok rendszerében általában nem nyugszanak, és nem is csak nyugvó pontszerű tömegek "relativisztikus" értékeinek összegződése, hanem tartalmazza a kölcsönhatási energiák tömegegyenértékét is.

Ezért $Mc^2$ -et "energia" helyett nevezzük inkább entalpiának, $\mu c^2$ -et pedig entalpiasűrűségnek, $\mu$ -t pedig az entalpiasűrűség tömegegyenértékének.

Kérdés, hogy hol van ebben a dinamikus mechanikai rendszerben a kölcsönhatás??
Hát nyilván a dilatáció általi deformáció hordozza, na de ezt azért mégis konkretizálni kell.
Azért ilyen körülményes az egész dolog (ahogy az a megfogalmazásokból is érezhető), mert nem lehet egyszerűen szétválasztani/elhatárolni a kontinuum mélyén sem az anyagot pontszerű részecskékre, és egy ténylegesen köztük lévő/zajló kölcsönhatásra. Ez nem részecskefizika, hanem egy relativisztikus kontinuum fizika, melyben éppen lehetőséget keresünk a mechanika alapjainak elméleti megfogalmazására.
Találnunk kell valamilyen mennyiséget, ami az elmélet keretein belül maradva ezt, vagy legalábbis egy egyszerűbb könnyített formáját jól leírja. (Most még nem világlik ki, de itt tulajdonképpen izotróp jellegű kölcsönhatásra gondolok...)
Nézzük meg, mik a matematikai lehetőségek:

$\mu$ tehát, tartalmazza a kontinuum mechanikához szükséges kölcsönhatást is.
Akkor bontsuk fel ezt egy határesetben nyugvásból származó $\epsilon/c^2$ tömegsűrűségére, és egy határesetben fényszerű, ütköző kölcsönhatásra, melyet $p$ fog jelölni. Ebből már kikövetkeztethető, hogy $p$ invariáns skalár mennyiség (Novobátzky könyv 26. Fénynyomás című pontjában leírtak alapján.) Az ütközés eseményt jelent, és a világot ilyen szempontból nem szeretnénk variálni, azaz rögzítjük az események meglétét, hogy az "egyes részecskék" találkozgatnak egymással (de könnyítésként feltételezve, hogy izotróp irányeloszlásban). Ez némiképp azzal analóg, mikor a hagyományos legkisebb hatás elvben rögzítjük a pálya egy kezdő és végpontját.

$\mu c^2 = \epsilon + p$ , vagy $\mu = \frac{\epsilon + p}{c^2}$ . Ahol láthatóan $p$ energiasűrűség jellegű (ahogy $\epsilon$ is).

Az egyik idealizált határeset, amikor $p = 0$ , és $\mu = \epsilon/c^2 = \mu_0$ , vagyis az "egyes részecskék" sosem találkoznak egymással, és $\mu_0$ teljesen nyugvó tömegsűrűséget jelent. A szubsztancia ekkor inkoherens porszerű, de mégis folytonos anyag lenne.
A másik idealizált határeset a fényszerűség, amikor a Viriáltételből következően $p = \frac{\epsilon}{3}$ lenne.

A két határeset között az anyagi kontinuumban $\epsilon = \mu_0 c^2 + r$ , vagyis $\mu = \mu_0 + r/c^2 + p/c^2$ , ahol $r$ a rugalmas energia nyugalmi sűrűségét jelenti. Az első határesetben tehát $r = 0$ . A második határeset felé tartva $\mu_0 \rightarrow 0$ , így $r \rightarrow \epsilon \rightarrow 3p$ , ahol $r > 3p$ mindig igaz kell legyen, különben a hatás terjedési sebessége nagyobb lenne $c$ -nél.

A legkisebb (pontosabban stacionárius) hatás elvéhez folyamodunk:

$S = \int_a^b{L' dt'}$ , ahol $L'$ jelöli a hagyományos Lagrange-függvényt, és $t'$ a hagyományos "valódi" időt (amit fentebb $\tau$ -val jelöltünk), azaz nem koordinátaidőt, hanem egy bizonyos megfigyelő sajátidejét, aki a rendszert az adott helyen szemléli, és órájával az ottani események között eltelt időt méri. Tulajdonképpen ezt a szemlélőt az infinitezimális anyagdarabhoz rögzítjük, és ugye már megtárgyaltuk, hogy ez nem értelmezhető a kölcsönhatásban álló anyagrészecskék nyugalmi rendszerének, csupán csak az infinitezimális anyagdarab (mondhatni) nyugalmi rendszerének.
Az $S$ hatás invariáns skalár kell legyen. Mivel ebben a szemléletben $L'$ még a pontszerű anyagrészecskére vonatkozó Lagrange-függvény, és a nyugalmi rendszer is erre vonatkozik, így az egyenletből látható, hogy $L'$ nem invariáns skalár.

Térelméletről lévén szó, nekünk ez így még egyáltalán nem jó. A Lagrange-függvényt Lagrange-sűrűséggel kell megadnunk, és az egész rendszerre integrálnunk kell, ami a világ esetén a teljes hármas térfogat. Ebben a (már térelméleti) szemléletben már nem a pontszerű anyagrészecske a főszereplő, hanem az infinitezimális anyagdarab, tehát az $L'$ a következő lesz:

$L' = \int_{-\infty}^{\infty}{L\,dV_0} = \int_{-\infty}^{\infty}{L\sqrt{\gamma}\,dV} = \int_{-\infty}^{\infty}{L\sqrt{g}\frac{dt}{d\tau}\,dV}$ , ahol $L$ a Lagrange-sűrűség.

Ezt behelyettesítve, kapjuk:
(A megfigyelő $t'$ sajátideje átírandó $\tau$ -ra, valamint ne feledjük, hogy $t$ csupán "koordinátaidő", és $cdt = dx^4$ .)

$S = \int_a^b{\left(\int_{-\infty}^{\infty}{L\sqrt{g}\frac{dt}{d\tau}\,dV}\right)d\tau} = \int{L\sqrt{g}\,dVdt} = {\frac{1}{c}\int{L\sqrt{g}\,dVcdt} = \frac{1}{c}\int{L\sqrt{g}\,d\Omega}}$ ,

ahol $d\Omega = dx^1 dx^2 dx^3 dx^4$ .

A jelölések egyszerűsítése végett az integrálási tartományok határait már nem jelöljük, de az elvnek megfelelően értjük.

$S = \frac{1}{c}\int{L\sqrt{g}\,d\Omega}$ .

Mivel itt $\sqrt{g}\,d\Omega$ már invariáns skalár, így az $L$ Lagrange-sűrűség is az.

Kérdés, hogy mi legyen a Lagrange-sűrűség? Erre Pl. a következő egyszerű lehetőségek vannak:

a.) $\epsilon$ ,
b.) $\mu c^2$ ,
c.) $\epsilon - p$ ,
d.) $\mu c^2 + p$ .

Az utolsó kettő kizárható, mert ezek olyan új és hasztalan mennyiségek, melyekről idáig nem volt szó, tehát semmi értékelhető szerepük, vagy kapcsolatuk nincs.
A b.) lehetőséget azért kell elvetnünk, mert ezzel az $S$ hatás és variációjának kifejezése az $M$ tömeg és variációjának kifejezésétől csak egy dimenziószámban térne el, ami így nem szolgálna hasznos eredménnyel, valamint $p$ is kiküszöbölődne.
Marad tehát egyedül az a.) lehetőség: $L = \epsilon = \mu c^2 - p$ .

Ez megegyezik Marx György (7) egyenletével, csak az ő szemlélete egyáltalán nem jó..
(Gondolok itt arra, hogy ő az $M$ tömeget, és $\mu$ tömegsűrűséget teljes mértékben kinetikusnak gondolja, ami nyilvánvalóan elvileg hibás, valamint nem egyezik Novobátzky tanaival.)

A variációs hatáselv szerint (a levezetést mellőzve) az energiaimpulzus-tenzort a következő alakban kell keresni:

(9) $\delta S = \frac{1}{2c}\int{T_{ik}\sqrt{g}\,\delta g^{ik}d\Omega}$ , ahol ${T_i^k}_{;k} = 0$ , ami a kovariáns mozgásegyenletet jelenti.

Ennek levezetése szintén a mechanika megalapozásához tartozik, melyet majd egy következő hozzászólásomban teszek meg. Itt most a relativisztikus anyagi kontinuum energiaimpulzus-tenzorának inkább már csak megalkotása a cél.

Tehát ilyen alakra kell hozni az $S = \frac{1}{c}\int{\epsilon \sqrt{g}\,d\Omega}$ egyenletet. Írjuk fel a variációját:

$\delta S = \frac{1}{c}\int{\delta\left(\epsilon \sqrt{g}\right)d\Omega}$ , mert $\delta d\Omega = 0$ . Elvégezzük az integráljel alatt a variálást:

$\delta S = \frac{1}{c}\int{\left(\epsilon\,\delta\sqrt{g} + \sqrt{g}\,\delta\epsilon\right)d\Omega} = \frac{1}{2c}\int{2\left(\epsilon\,\delta\sqrt{g} + \sqrt{g}\,\delta\epsilon\right)d\Omega}$ .

Nézzük előbb $g$ variációját:

$\delta g = \frac{\partial g}{\partial g_{ik}} \delta g_{ik} = [g_{ik}] \delta g_{ik} = g\,g^{ik} \delta g_{ik} = -g\,g_{ik} \delta g^{ik}$ , ahol $[g_{ik}]$ a $g_{ik}$ -nak (előjeles) aldetermináns mátrixát jelöli. (Transzponálni nem kell a szimmetria miatt.)

Az utolsó átalakításhoz pusztán felhasználtuk az $A^{ik}\delta g_{ik} = -A_{ik}\delta g^{ik}$ képletet.

Majd ebből $\sqrt{g}$ variációja $\delta g = \delta(\sqrt{g}\sqrt{g}) = 2 \sqrt{g}\, \delta \sqrt{g}$ alapján:

$\delta \sqrt{g} = \frac{1}{2} \frac{\delta g}{\sqrt{g}} = -\frac{1}{2} \sqrt{g}\, g_{ik} \delta g^{ik}$ .

$\epsilon/c^2$ variációját a $\delta M = 0$ egyenletből tudjuk meghatározni:

$\delta M = \int{\delta\left(\mu\sqrt{\gamma}\right)dV}$ , mert $\delta dV = 0$ . Elvégezzük az integráljel alatt a variálást:

$\delta M = \int{\left(\delta\mu\,\sqrt{\gamma} + \mu\,\delta\sqrt{\gamma}\right)dV} = 0$ . Mivel $p$ -t nem variáljuk, ezért az első tagban $\delta\mu = \delta\frac{\epsilon + p}{c^2} = \delta\frac{\epsilon}{c^2}$ lesz:

$\delta M = \int{\left(\delta\frac{\epsilon}{c^2}\,\sqrt{\gamma} + \mu\,\delta\sqrt{\gamma}\right)dV} = 0$ .

A két tagot azonos mennyiség variációjával szeretnénk felírni, hogy azt ki tudjuk emelni, mert így egy szükséges összefüggéshez jutunk.
Lényeges és kulcsfontosságú meggondolásokból következik, hogy mi lesz ez az azonos, vagyis közös mennyiség.
Marx György (13)-as egyenlete ezek nélkül kérdéses, és ő mélyen hallgat róluk...

A négydimenziós téridő $g^{ik}$ inverz metrikus tenzora közvetlen, és részében azonossági kapcsolatban van a hármastér $\gamma^{\alpha\beta}$ inverz metrikus tenzorával: (Landau könyv 306. oldal.)

$\gamma^{\alpha\beta} = g^{\alpha\beta}$ , ahol az $\alpha$ és $\beta$ indexek csak az 1, 2, 3 értékeket veszik fel.

Mivel a két tag egy variációból ered, ezért a keresett közös mennyiség ez előbbi kulcsfontosságú összefüggés miatt nem az alsóindexes metrikus tenzor variációja, hanem a felsőindexes, azaz az inverz metrikus tenzoré:

$\delta M = \int{\left(\frac{\partial(\epsilon/c^2)}{\partial g^{ik}}\delta g^{ik}\sqrt{\gamma} + \mu\,\delta\sqrt{\gamma}\right)dV} = 0$ .

Érdemes megjegyezni, hogy a teljes $\delta\frac{\epsilon}{c^2}$ variációban $\frac{\partial(\epsilon/c^2)}{\partial g^{ik}}\delta g^{ik}$ mellett $\frac{\partial(\epsilon/c^2)}{\partial(\partial_l g^{ik})}\delta(\partial_l g^{ik})$ tag, és $g^{ik}$ magasabb rendű deriváltjaitól való függésből származó tagok is vannak. Itt azonban ezek nem lépnek fel, mert $\sqrt{\gamma}$ nem függ $g^{ik}$ deriváltjaitól. Azok variációit nem tudnánk kiemelni az összeg mindkét tagjából, tehát ha ezek nem volnának nullák, akkor nem tudnánk tartani a $\delta M = 0$ egyenletet. Egyszerűen fogalmazva, ez az egyenlet nem engedi fellépni $g^{ik}$ deriváltjainak variációit, tehát: $\delta\frac{\epsilon}{c^2} = \frac{\partial(\epsilon/c^2)}{\partial g^{ik}}\delta g^{ik}$ .

$\sqrt{\gamma}$ variációja pedig a következő meggondolásokból egyszerűen következik:
A $g$ determináns variációjára a $\delta g = -g\,g_{ik} \delta g^{ik}$ képletet kaptuk.
Elég csak a diagonális alakkal foglalkozni, mert az így kapott összefüggés változatlan, tehát nemdiagonális alak esetén is ugyan az.

A négydimenziós metrikus tenzor diagonális alakja: $\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}$ , a háromdimenziósé: $\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$ .

Utóbbi $\gamma$ determinánsának variációját a négydimenziós térben egyszerűen úgy kaphatjuk meg $\delta g$ képlete alapján, ha benne a $g_{ik}$ -t diagonális alakban tekintve eltüntetjük belőle a $g_{44} = -1$ komponenst.

Erre egyedül az ugyanekkor szintén diagonális alakú $\frac{u_i u_k}{c^2} = \begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$ alkalmas.

Tehát $\gamma$ variációja: $\delta\gamma = -\gamma\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\delta g^{ik}$ . Amiből ugyan úgy, ahogy $g$ -nél következett:

$\delta \sqrt{\gamma} = -\frac{1}{2} \sqrt{\gamma}\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\delta g^{ik}$ .

Ezeket behelyettesítve $\delta M = 0$ egyenletbe, kapjuk:

$\delta M = \int{\left[\frac{\partial(\epsilon/c^2)}{\partial g^{ik}}\delta g^{ik}\sqrt{\gamma} - \mu\frac{1}{2}\sqrt{\gamma}\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\delta g^{ik}\right]dV} = 0$ .

Célunkat elértük, jobboldalt csak egyazon mennyiség variációja szerepel, így azt (és amit még lehet) kiemelhetjük:

$\delta M = \int{\left[\frac{\partial(\epsilon/c^2)}{\partial g^{ik}} - \frac{1}{2}\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\mu\right]\sqrt{\gamma}\,\delta g^{ik}dV} = 0$ .

Ami csak akkor lehet nulla, ha a szögletes zárójelben lévő kifejezés az integrálás teljes tartományán mindenütt nulla, azaz:

$\frac{\partial(\epsilon/c^2)}{\partial g^{ik}} = \frac{1}{2}\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\mu$ . Ide behelyettesítjük $\mu = \frac{\epsilon + p}{c^2}$ kifejezését:

$\frac{\partial(\epsilon/c^2)}{\partial g^{ik}} = \frac{1}{2}\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\left(\frac{\epsilon + p}{c^2}\right)$ . Beszorzunk $\delta g^{ik}$ -val, így a baloldal $\frac{\partial(\epsilon/c^2)}{\partial g^{ik}}\delta g^{ik} = \delta\frac{\epsilon}{c^2}$ lesz:

$\delta\frac{\epsilon}{c^2} = \frac{1}{2}\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\left(\frac{\epsilon + p}{c^2}\right)\delta g^{ik}$ .

Visszatérünk a hatás variációjához: $\delta S = \frac{1}{2c}\int{2\left(\epsilon\,\delta\sqrt{g} + c^2 \sqrt{g}\,\delta\frac{\epsilon}{c^2}\right)d\Omega}$ . Behelyettesítjük $\delta\sqrt{g}$ , és $\delta\frac{\epsilon}{c^2}$ kapott kifejezéseit:

$\delta S = \frac{1}{c}\int{2\left[-\epsilon\,\frac{1}{2}\sqrt{g}\,g_{ik}\delta g^{ik} + c^2 \sqrt{g}\,\frac{1}{2}\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\left(\frac{\epsilon + p}{c^2}\right)\delta g^{ik}\right]d\Omega}$ . Kiemelve $\frac{1}{2}\sqrt{g}\,\delta g^{ik}$ -t:

$\delta S = \frac{1}{2c}\int{\left[-\epsilon\,g_{ik} + c^2\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\left(\frac{\epsilon}{c^2} + \frac{p}{c^2}\right)\right]\sqrt{g}\,\delta g^{ik}d\Omega}$ . Az első tag jól láthatóan kiesik, majd $c^2$ is:

$\delta S = \frac{1}{2c}\int{\left[\frac{\epsilon}{c^2}\, u_i u_k + p\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)\right]\sqrt{g}\,\delta g^{ik}d\Omega}$ . Vagy átrendezve a szögletes zárójel tartalmát:

$\delta S = \frac{1}{2c}\int{\left[\left(\frac{\epsilon + p}{c^2}\right) u_i u_k + pg_{ik}\right]\sqrt{g}\,\delta g^{ik}d\Omega}$ .

A szögletes zárójelben maradt kifejezés pedig a külön most le nem vezetett (9) $\delta S = \frac{1}{2c}\int{T_{ik}\sqrt{g}\,\delta g^{ik}d\Omega}$ alapján:

$T_{ik} = \frac{\epsilon}{c^2}\, u_i u_k + p\left(g_{ik} + \frac{1}{c^2} u_i u_k \right)$ . Vagy átrendezve:

$T_{ik} = \left(\frac{\epsilon + p}{c^2}\right) u_i u_k + pg_{ik} = \mu u_i u_k + pg_{ik}$ . Ami láthatóan egyezik Marx György (17) eredményével,

csak itt helyesen $\mu$ valójában nem nyugvó tömegsűrűség, és ezért $\frac{\epsilon}{c^2} \neq \mu_0$ , mert az abszolút merevséget jelentene, ami ellentmond a relativitáselméletnek még infinitezimálisan kicsi esetben is. Következik, hogy nincs ilyen ideális folyadék, és nyilván nem az összenyomhatatlanságra kell alapozni a relativisztikus dinamikát. Azt legfeljebb egy körültekintően megalapozott helytálló gondolatmenettel matematikai vizsgálat céljából csak egy éppen kiszemelt anyagdarabra számítási célszerűségből köthetjük ki, ahogy azt fentebb egy b.) pontban tárgyaltam.

Az utóbbi képletek alapján a rugalmas nyírófeszültségektől mentes, és ezzel együtt izotróp kölcsönhatást tartalmazó anyagi kontinuum energiaimpulzus-tenzorának alakja nyugalmi rendszerben, és Galilei-féle koordináták esetén a következő:

(+,+,+,-) szignatúra, valamint alsó-felső indexes forma esetén $T_{ik} = \begin{bmatrix}p&0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&\epsilon\end{bmatrix}$ , ahol $\epsilon = \mu_0 c^2 + r$ .

Látható, hogy ebben az izotróp esetben $p$ háromszorosan elfajult sajátérték. Folyadékokra és gázokra ez érvényes. Szilárd anyag esetében a három rugalmas főfeszültség nem egyforma értékű, nincs elfajulás. A rugalmas nyírófeszültségek ezekből a különbségekből adódnak a koordináta-rendszer térszerű tengelyirányainak különböző megválasztásai esetén. Ha azokat a főfeszültségi irányokba választjuk, akkor szintén eltűnnek a nyírófeszültségek:

(+,+,+,-) szignatúra, valamint alsó-felső indexes forma esetén $T_{ik} = \begin{bmatrix}\sigma_1&0&0&0\\0&\sigma_2&0&0\\0&0&\sigma_3&0\\0&0&0&\epsilon\end{bmatrix}$ , ahol $\epsilon = \mu_0 c^2 + r$ .

Az entalpia sűrűsége tömegegyenértékben ekkor: $\mu = \frac{\epsilon + (\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3)/3}{c^2}$ .

A relativitáselméletben (pontosabban az energiaimpulzus-tenzorban) a nyomásnak pozitív értéke van, ahogy az energiasűrűség is mindig csak pozitív lehet. A negatív értéknek nincs értelme. (Landau könyv 353. oldal: "Megjegyezzük, hogy $T_{00}$ komponens mindig pozitív", (94,10). Itt ennek $T_{44}$ felel meg.) Ha pozitív energiasűrűséghez tartozna negatív nyomás, az a fényszerű határesetből is láthatóan azt állítaná, hogy a fény negatív impulzust szállít (vonósugár). Ennek azonban az ellentettje igaz (lökősugár). (Az persze egészen más kérdés, hogy technikailag trükközve esetleg létre lehet-e hozni fénnyel, vagy ami ugyan az, EM hullámokkal valamiképpen "vonósugár"-hatást... (Ezt a megjegyzést csak azért írtam, mert a neten fellelni ezzel kapcsolatban néhány bizarr írást..) Itt most a fény, vagyis az elektromágneses hullám fizikai alaptulajdonságáról van szó.)

Azonban folyadékok és szilárd anyagok esetén a nyomás (vagy a rugalmas főfeszültségek) negatív értékét is valamiképpen meg kell engedni, hiszen az (a hétköznapi tapasztalatainkkal is egybevágóan) létező anyagi állapotokat jelent. A nemrelativisztikus szilárdságtanban ez gond nélkül, és elengedhetetlenül benne van. A relativitáselméletbe való beillesztését jóval lentebb tárgyalom csak.

Elgondolkodtató, hogy az előbb felírt (fizikailag szabályos) energiaimpulzus-tenzorok, mint egyszerűen egy ilyen tenzornak a főátlóra transzformált formában a legáltalánosabb alakja, tehát a nem elfajult sajátértékes eset, és az előtte felírt (fizikailag szintén szabályos) háromszorosan elfajult sajátértékes speciális (szokványos) eset olyan összehasonlításban, melyben a négy sajátértékük összegéből adódó skalárinvariánsuk megegyezik úgy, hogy még a negyedik sajátértékük is megegyezik: $\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3+\epsilon = p+p+p+\epsilon$ , mégis mit jelent a különbségük, tehát a:

$\begin{bmatrix}\sigma_1-p&0&0&0\\0&\sigma_2-p&0&0\\0&0&\sigma_3-p&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$ tenzor.

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.12. 02:15

Ahogy a levezetését fentebb megígértem, a relativisztikus dinamikából adódó entalpiáról lesz most szó.
(A használt szignatúra most (+, +, +, -)-os.)
Nem kell mást tenni, mint az anyagi kontinuum energiaimpulzus-tenzorát áttranszformálni a pillanatnyi nyugalmi (vesszős) rendszerből a megfigyelő rendszerébe. Ez a transzformációelméletből (http://kozmoforum.hu/viewtopic.php?f=28&t=269&start=12 kb. a hozzászólásom közepén található röviden és tömören) adódóan a következőképpen néz ki:

$T^{ik} = \alpha^i_{r'}\alpha^k_{s'}\,T^{r's'}$ (Novobátzky könyv 135. oldal (258) harmadik formulája.)

A speciális inverz Lorentz-transzformációt alkalmazva $\alpha^i_{k'} = \begin{bmatrix}\varkappa&0&0&\varkappa\frac{v}{c}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\varkappa\frac{v}{c}&0&0&\varkappa\end{bmatrix}$ , ahol $\varkappa = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ , és a felsőindex jelöli a sort.

$T^{r's'} = \begin{bmatrix}p'&0&0&0\\0&p'&0&0\\0&0&p'&0\\0&0&0&\epsilon'\end{bmatrix}$ , ahol $\epsilon' = \mu_0 c^2 + r'$ , és a vesszők a nyugalmi rendszerre utalnak. A nyomás invariáns, ezért $p = p'$ .

$T^{\alpha 4} = cg^{\alpha}$ , azaz az energiaimpulzus-tenzor negyedik oszlopának első három eleme a $c$ -vel szorzott $g^{\alpha}$ impulzussűrűség.
$T^{44} = \epsilon$ , azaz a megfigyelő szerinti energiasűrűség.
A választott speciális Lorentz-transzformáció az $\alpha = 1$ komponensnek megfelelő irányú, tehát csak ezzel kell foglalkozni:

$T^{14} = \varkappa^2\frac{v}{c}(\epsilon' + p')$ , és $T^{24} = 0$ , $T^{34} = 0$ , valamint $T^{44} = \varkappa^2\left(\epsilon' + \frac{v^2}{c^2}p'\right)$ .

Az előbbiek alapján tehát:

$g^1 = \varkappa^2\frac{v}{c^2}(\epsilon' + p')$ , valamint $\epsilon = \varkappa^2\left(\epsilon' + \frac{v^2}{c^2}p'\right)$ .

A fentebbi b.) ponthoz teljesen hasonlóan itt is a következő meggondolásokat kell tenni:
(Az alkalmazott szignatúra (+, +, +, -), a vizsgálat helyén választott koordinátázás Galilei-féle, így $\sqrt{g} = 1$ .)
Szemeljünk ki egy infinitezimális és rögzített $\delta V_0$ térfogatú próbatest szerű anyagelemet, tehát így ezen belül $\frac{d}{dt}\delta V_0 = 0$ , és ezzel együtt $\partial_k u^k = 0$ , azaz $v$ konstans.

Szorozzuk meg a kapott egyenletek baloldalát $\delta V$ -vel, jobboldalát az ekvivalens $\frac{\delta V_0}{\varkappa}$ kifejezéssel:

$g^1\delta V = \varkappa^2\frac{v}{c^2}(\epsilon' + p')\, \frac{\delta V_0}{\varkappa}$ , valamint $\epsilon\, \delta V = \varkappa^2\left(\epsilon' + \frac{v^2}{c^2}p'\right) \frac{\delta V_0}{\varkappa}$ . Kis rendezés után:

$g^1\delta V = \varkappa\frac{v}{c^2}(\epsilon' \delta V_0 + p' \delta V_0)$ , valamint $\epsilon\, \delta V = \varkappa\left(\epsilon' \delta V_0 + \frac{v^2}{c^2}p'\delta V_0 \right)$ .

Mivel $g^1\delta V = \delta G^1$ az impulzus, valamint $\epsilon\, \delta V = \delta U$ az energia, és hasonlóan $\epsilon' \delta V_0 = \delta U'$ a nyugalmi energia, melyek a $\delta$ jelölés értelmében az infinitezimális anyagdarabra vonatkoznak, így:

$\delta G^1 = \varkappa\frac{v}{c^2}(\delta U' + p' \delta V_0)$ , valamint $\delta U = \varkappa\left(\delta U' + \frac{v^2}{c^2}p' \delta V_0 \right)$ .

Adjunk az utolsó egyenlet baloldalához $pV$ -t, jobboldalához az egyenlő $\frac{p' \delta V_0}{\varkappa}$ tagot, és vegyük tekintetbe, hogy $\varkappa\frac{v^2}{c^2} + \frac{1}{\varkappa} = \varkappa$ .

$\delta U + p\, \delta V = \varkappa\left(\delta U' + \frac{v^2}{c^2}p' \delta V_0 \right) + \frac{p' \delta V_0}{\varkappa}$ ,

$\delta U + p\, \delta V = \varkappa \delta U' + \varkappa\frac{v^2}{c^2}p' \delta V_0 + \frac{p' \delta V_0}{\varkappa}$ ,

$\delta U + p\, \delta V = \varkappa \delta U' + \left(\varkappa\frac{v^2}{c^2} + \frac{1}{\varkappa}\right) p' \delta V_0$ ,

$\delta U + p\, \delta V = \varkappa \delta U' + \varkappa p' \delta V_0$ ,

$\delta U + p\, \delta V = \varkappa(\delta U' + p' \delta V_0)$ .

Ezzel a $\delta G^1 = \varkappa\frac{v}{c^2}(\delta U' + p' \delta V_0)$ egyenlet a következő alakba írható:

$\delta G^1 = \frac{v}{c^2}(\delta U + p\, \delta V)$ .

Az energiaimpulzus-tenzor háromszoros térszerű elfajultsága esetén (tehát mikor a térszerű háromszor hármas része diagonális alakú, akkor a három átlós eleme egyöntetűen $p'$ , vagy $p$ (ugyan az)) a levezetéshez alkalmazott speciális Lorentz-transzformáció térszerű irányspecialitását elejtve, melyben most $v = v^1$ , beláthatóan írható az utóbbi eredményben $v = v^1$ helyett $v = v^{\alpha}$ , mely az 1, 2, és 3 értékeket veszi fel. (Ennek belátása a relativisztikus tömeg megértése, valamint ezzel egyben a nyugalmi tömeg, és a nyugalmi energia transzformálódásának megértése alapján nyerhető, pl. a Novobátzky könyv Dinamika fejezetének első három pontja kellő átértésével: 34. A relativisztikus tömeg, 35. Longitudinális és transzverzális tömeg, 36. Tömeg és energia című részek (87-92. oldalak).)

Ezzel az előbbi kifejezés háromdimenziós vektor alakban:

$\delta G^{\alpha} = \frac{v^{\alpha}}{c^2}(\delta U + p\, \delta V)$ . Az impulzus nem más, mint a sebesség és a tömeg szorzata. $\delta G^{\alpha} = v^{\alpha}\frac{\delta U + p\, \delta V}{c^2}$ .

Ebből egyenesen következik, hogy $\frac{\delta U + p\, \delta V}{c^2}$ a tömeget jelenti, mégpedig a relativisztikus tömeget. (Fent ezt $\delta M_M$ jelöli.)

$\delta U + p\, \delta V = (\epsilon + p) \delta V$ energia jellegű mennyiséget pedig nevezzük az infinitezimális anyagdarabra vonatkozó entalpiának, az entalpiasűrűség tehát $\epsilon + p$ . (Fent ezt $(\epsilon_M + p) = \mu_M c^2$ jelöli.) Az energiajelleg ellenére azért kell az energia helyett ezt a másik nevet kitalálni neki, hogy ezzel nyelvészetileg is kifejezésre juttassuk, hogy ez az energia(sűrűség) mellett tartalmazza a nyomást, vagyis az abból eredő tagot is. Ezáltal az entalpia teljesebb az energiánál, amolyan teljes energia. Az E = mc² a tömeg teljessége végett megköveteli a baloldal teljességét is, vagyis a baloldali E energia teljes energia, azaz ilyen tekintetben az entalpia.

Mivel az impulzus, mint négyesimpulzus, relativisztikusan négyesvektor, így indexe a 4 értéket is ezzel konzisztensen veszi fel:

$\delta G^i = \frac{v^i}{c^2}(\delta U + p\, \delta V)$ . A sebesség negyedik felsőindexes komponense $c$ , az alsóindexes $-c$ . (Egyébként $v_{\alpha} = v^{\alpha}$ .)

Így a négyesvektor $\delta G^i = \left(\delta G^{\alpha}\,,\; \frac{\delta U + p\, \delta V}{c}\right)$ , és alsóindexekkel: $\delta G_i = \left(\delta G_{\alpha}\,,\; -\frac{\delta U + p\, \delta V}{c}\right)$ .

A $\delta G$ energia-impulzus négyesvektorban az energia teljes energia. Mivel most nem csak egyszerűen pontmechanikáról van szó, hanem anyagi folytonosságról (kontinuum), így az innen eredő energia-impulzus négyesvektor tulajdonképpen "entalpia-impulzus" négyesvektor, mert benne a $\delta U$ energián felül még a nyomásból eredő megvalósult potenciális energia is szerepel, azaz ide az anyagdarabhoz számítódik fel. Ezért megkülönböztetésül erre a teljes energiára az entalpia fogalmat vezettük be. Ezzel felírva az infinitezimális anyagdarab energia-impulzus négyesvektora:

$\delta G^i = \left(\delta G^{\alpha}\,,\; \frac{\delta entalpia}{c}\right)$ , és alsóindexekkel: $\delta G_i = \left(\delta G_{\alpha}\,,\; -\frac{\delta entalpia}{c}\right)$ .

A négyessebesség $u^i = \varkappa v^i$ .

Ezzel az egyenlet kovariáns alakban:

$\delta G^i = \frac{u^i}{c^2}\frac{(\delta U + p\, \delta V)}{\varkappa}$ , ami a korábbi $\delta U + p\, \delta V = \varkappa(\delta U' + p' \delta V_0)$ összefüggés alapján:

$\delta G^i = \frac{u^i}{c^2}(\delta U' + p' \delta V_0) = u^i\frac{\delta U' + p' \delta V_0}{c^2} = u^i\frac{(\epsilon' + p') \delta V_0}{c^2}$ .

Ebből egyenesen következik, hogy $\frac{\delta U' + p' \delta V_0}{c^2}$ az invariáns nyugalmi tömeget jelenti. (Fent ezt $\delta M$ jelöli.)

$\delta U' + p' \delta V_0 = (\epsilon' + p') \delta V_0$ energia jellegű mennyiséget pedig nevezzük az infinitezimális anyagdarabra vonatkozó "nyugalmi entalpiának", a "nyugalmi entalpiasűrűség" tehát $\epsilon' + p'$ . (Fent ezt $(\epsilon + p) = \mu c^2$ jelöli.) A nyugalmi jelző nem jelenti azt, hogy itt valami nyugszik, hanem csak annyit, hogy ez az igazi entalpiának a nyugalmi mennyiségekkel felírt, és ezért valójában rossz rokona. Azért rossz, mert az entalpia lényegében teljes energia, és ez a mozgás tekintetében éppen hiányos. Ezért teszem idézőjelbe a kifejezést. (Ezt a "nyugalmi entalpia" fogalmat én találtam ki, ezért magyarázom ennyire..

) Az energiajelleg ellenére azért kell a nyugalmi energia helyett ezt a másik nevet kitalálni neki, hogy ezzel nyelvészetileg is kifejezésre juttassuk, hogy ez a nyugalmi energia(sűrűség) mellett tartalmazza a nyomást, vagyis az abból eredő tagot is. Ezáltal a "nyugalmi entalpia" teljesebb a nyugalmi energiánál. Az E₀ = m₀c² a nyugalmi tömeg teljessége végett megköveteli a baloldal hasonló teljességét is, vagyis a baloldali E nyugalmi energia nem mozgási tekintetben teljes energia, azaz ilyen tekintetben a "nyugalmi entalpia".

A véges kiterjedésű relativisztikus dinamikai rendszer teljes $G^i$ négyesimpulzusa $\int{\delta G^i}$ , melyek integrálási tartomány határát fizikailag valós anyag(beli)határ rögzíti.
A teljes energiája azonban $U = \int{\delta U} = \int{\epsilon\, \delta V} = \int{T^{44}\, \delta V}$ helyett inkább a $c\,G^4 = entalpia = \int{\delta entalpia} = \int{(\epsilon + p) \delta V}$ , hiszen a teljes (energia) kifejezés inkább az entalpiára utal, mint a $\delta U = \epsilon\, \delta V = T^{44}\, \delta V$ energia kiintegrálására. Ez a szóhasználat sok esetben jelentős zavart és keveredést okozhat. A teljes tömeg ebből adódóan szintén.

A probléma nagyon érdekes és matematikai.
Figyeljük meg az ellentmondást a Landau II könyv Makroszkopikus testek energia-impulzus-tenzora című 35. paragrafusában:
118. oldal:

A Landau könyv írta:"... a tömegsűrűség, azaz az egységnyi térfogat tömege $\epsilon/c^2.$ "

119. oldal:

A Landau könyv írta:"Mivel $S/c^2$ az impulzussűrűség, a tömegsűrűség ebben az esetben $(p + \epsilon)/c^2.$ "

Az apróval szedett "ebben az esetben" szövegrész talán az ellentmondást akarná feloldani, de nem teszi, ugyanis nagyobb sebességek esetén is egyszerűen ez következik. (A tömeg relativisztikus faktora $\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ , a távolságkontrakcióé szintén, tehát a sűrűségé is. A kettő együtt $\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}$ -et ad, tehát a tömegsűrűségé ez, és éppen ez szerepel a (35,3) jobboldali $S = \frac{(p + \epsilon)v}{1-\frac{v^2}{c^2}}$ képletben, tehát a tömegsűrűségre a sebesség $c$ -hez való viszonyától függetlenül $(p + \epsilon)/c^2.$ adódik.)

Pár sorral lejjebb a következő olvasható:

A Landau könyv írta:"... $\mu_0$ a test egységnyi (saját) térfogatában lévő részecskék összes tömege. (Hangsúlyozzuk, hogy általános esetben ez különbözik a pontos $\epsilon/c^2$ tömegsűrűségtől, mivel az utóbbi magában foglalja a részecskék mikroszkopikus mozgásának energiájától és kölcsönhatásuk energiájától származó tömeget is.)"

$\epsilon$ a nyomáshoz kapcsolódóan csak az $r$ (sűrűség jellegű) rugalmas energiát tartalmazza a kinetikából adódó $\mu c^2$ energiasűrűség felett. ( $\epsilon = \mu c^2 + r$ , ami a fentebbi Marx cikkhez igazított jelölésekben $\epsilon_M = \mu_M c^2 + r_M$ , ahol az $_M$ index csak a mozgási jellegre utal.) A nyomáspotenciálból, mint betöltött helyzeti energiából adódó $p$ energiasűrűséget azonban nem! Tehát ebben a (nyomás) tekintetben nem igaz az, hogy $\epsilon$ "a kölcsönhatásuk energiájától származó tömeget is" tartalmazza, hiszen ez ellentmondásban van a pár sorral feljebbi előbb idézett kijelentéssel (beidézem újra):

A Landau könyv írta:"Mivel $S/c^2$ az impulzussűrűség, a tömegsűrűség ... $(p + \epsilon)/c^2.$ "

Ez az igaz!

Az ellentmondás nyilvánvaló.
Az energia-impulzus-tenzor című 32. paragrafus a 109. oldalon szintén ellentmondásban áll az előbbi idézettel és az entalpiával kapcsolatos eszmefejtegetéssel:

A Landau könyv írta:"... $T^{00}$ -t az energiasűrűségnek kell tekintenünk, tehát $\int{T^{00} dV}$ a rendszer teljes energiája. ... Így a rendszer négyesimpulzusának végső kifejezése a következő:

$P^i = \frac{1}{c}\int{T^{ik} dS_k}$ ."

Ez pedig sajnos nem igaz.

Ez egy hatalmas hiba a Landau II könyvben, és ráadásul több helyen további kalkulációk és eredmények vannak ráépítve, amik ebből kifolyólag vélhetően szintén hibásak. Ilyen az anyagi kontinuumból álló rendszer (teljes, vagy nem teljes) impulzusmomentuma és négyestenzora, a gravitáló anyag és gravitációs tér (teljes, vagy nem teljes) eredő négyesimpulzusa és impulzusmomentuma, impulzusmomentum négyestenzora.
$P$ -t én $G$ -vel jelölöm, hogy ne ütközzön a nyomáspotenciál jelölésével, másrészt pedig mert Novobátzky is $G$ -vel jelöli könyvében a négyesimpulzust.

A felhozott ellentmondás egészen hasonlóan a Novobátzky könyvben is benne van.
Az Energia és impulzus transzformációja című 20. pontban a 61. oldalon Novobátzky is arra jut, hogy az energia-impulzus négyesvektor negyedik komponense előáll az energiaimpulzus-tenzor átlós komponenseinek csupán időszerű eleméből.
Ámde a Termodinamika című fejezetben a 115. oldalon arra jut, hogy:

A Novobátzky könyv írta:"Meglepő ebben az eredményben, hogy ... Az impulzus nem az energia, hanem az entalpia tömegértékének és a sebességnek a szorzata."

Az ellentmondás nyilvánvaló.

Ha összevetjük a (103), (104), és (225) "felsorolt vektorkomponens" szerű felírási szerkezetet, az utóbbinál a negyedikhez már nincs is odaírva az $\frac{i}{c}$ faktor, mint ahogy szépen a (104)-nél.
Véleményem szerint ez egyértelműen utal arra, hogy a szerzőben meg volt az itt fejtegetett ellentmondásosság dilemmája.

(Az entalpia levezetését/bevezetését Novobátzky könyvének ezen rövidke (114 - 115. oldal) rész alapján készítettem.)

Hol van a probléma gyökere, vagyis az ellentmondás rossz következtetésének hibás lépése??

Mindkét könyvben (Novobátzky és Landau II) matematikai hiba van, de mindkettőben más, mert Gauss tételét leszámítva matematikailag más módon jutnak a hibás "energia-impulzus vektorra". Most ennek kiderítése a cél.

Nézzük előbb Novobátzky gondolatmenetét:
(Csak alsóindexes (+, +, +, +)-os szignatúrájú formalizmust használ.)

A Novobátzky könyv (60. oldal) írta:"A kérdés tárgyalását segédtétel bevezetésével kezdjük.
Legyen $s_i$ olyan négyes vektor, melynek divergenciája azonosan zérus: $\frac{\partial s_i}{\partial x_i} = 0$ .
Szorozzuk meg az egyenletet a $dW = dx_1\,dx_2\,dx_3$ térfogatelemmel, és integráljunk az egész térre.

$\int{\left(\frac{\partial s_1}{\partial x_1} + \frac{\partial s_2}{\partial x_2} + \frac{\partial s_3}{\partial x_3}\right) dW} + \frac{\partial}{\partial x_4}\int{s_4\, dW} = 0$ .

Az első integrál Gauss tétele értelmében a végtelen sugarú gömb felületére vett integrállá alakítható át, és fel akarjuk tételezni, hogy $s_i$ a térbeli végtelenben oly nagyságrendben tűnik el, hogy ez az integrál zérus.

Marad $\frac{\partial}{\partial t}\int{s_4\, dW} = 0$ , vagy $\int{s_4\, dW} = const$ .

Izolált rendszerben az akció és reakció elve alapján nem léphet fel kompenzálatlan ponderomotoros erő, mert ilyen rendszerben csak belső erők hatnak. Ilyenben tehát $\frac{\partial T_{ik}}{\partial x_k} = 0$ .
Válasszunk tetszőleges $\xi_i$ vektormezőt úgy, hogy a $\xi$ vektor négy komponense a tér minden helyén változatlanul ugyanaz. A $\xi_i T_{ik}$ vektorra érvényes, hogy négyes divergenciája zérus:

$\frac{\partial s_k}{\partial x_k} = \frac{\partial \xi_i}{\partial x_k}T_{ik} + \xi_i \frac{\partial T_{ik}}{\partial x_k} = 0$ .

Az első tag a $\xi_i$ vektor állandósága miatt, a második a $T_{ik}$ divergenciamentessége miatt tűnik el. Alkalmazhatjuk tehát a segédtételt:

$\int{s_4\, dW} = \int{\xi_i T_{i4}\, dW} = const$ .

Az állandó $\xi_i$ -t kiemelve az integrál elé:

(102) $\int{s_4\, dW} = \xi_i \int{T_{i4}\, dW} = const$ .

Ebből következik, hogy $\int{T_{i4}\, dW}$ maga egy konstans négyes vektornak $v_i$ komponense, mert hiszen csak a $\xi_i v_i$ skaláris szorzat adhatja a jobb oldali konstans skalárt."

És akkor így adódik a 61. oldalon, hogy $\frac{1}{ic}\int{T_{i4}\, dW}$ a négyesimpulzus, tehát az energia-impulzus vektor, aminek negyedik komponense nem stimmel.

A hiba ott van, hogy a kitalált $\xi$ mennyiség valójában nem mond semmit. Nézzük miért:

$\frac{\partial s_k}{\partial x_k} = \;\;0\;\; = \frac{\partial \xi_{\,?}}{\partial x_k}T_{ik} + \xi_{\,?} \frac{\partial T_{ik}}{\partial x_k} = \frac{\partial}{\partial x_k}\left(\xi_{\,?}T_{ik}\right)$ .

Egyrészt a nulla matematikailag egy olyan semleges érték középen, hogy semmilyen valamit is jelentő matematikai tulajdonságot vagy információt nem hoz létre a bal és jobb oldal között. Másrészt a kitalált $\xi$ bármilyen jellegű mennyiség is (ezt jelöli a kérdőjel), ha konstansnak vesszük, az már egyedül hozza a jobboldal nulla értékét, és hogy (102)-ben kihozható az integráljel elé:

$\xi_{\,?}\int{T_{i4}\, dW} =?\, const$ .

Az, hogy kitalációból veszünk egy konstans mennyiséget, és kitalációból ezt vektornak vesszük, annyit tesz, hogy $\int{T_{i4}\, dW}$ csak kitalációból konstans( és mellette csak kitalációból )vektorkomponens, mert egyébként attól, hogy $\int{s_4\, dW} = const$ , még nem jelenti azt, hogy ez skalár, $\frac{\partial s_i}{\partial x_i}$ vagy a Gauss-tétel után $\frac{\partial}{\partial t}\int{s_4\, dW} = 0$ skalársága mellet sem szerintem.

Nézzük most a Landau II könyv gondolatmenetét:
(Ez a könyv (+, -, -, -)-os szignatúrát használ.)

A Landau könyv (109. oldal) írta:"A 29.§-ban láttuk, hogy egy $\partial A^k/\partial x^k = 0$ egyenlet, azaz egy vektor négyesdivergenciájának zérus volta ekvivalens azzal az állítással, hogy a vektornak a teljes háromdimenziós térfogatot körülzáró hiperfelületre vett $\int{A^k\, dS_k}$ integrálja megmarad."

Az aláhúzás nyilván hibás... Helyesen: térfogatra vett a jó kijelentés. (De nem ez a lényeg, lépjünk tovább..)

A Landau könyv (109. oldal) írta:"Nyilvánvaló, hogy azonos állítás érvényes a tenzorokra is: a (32,4) egyenlet ekvivalens azzal, hogy a $P^i = const\int{T^{ik} dS_k}$ vektor megmarad. $P^i$ -t a rendszer négyesimpulzusával kell azonosítanunk. Az integrál előtt álló szorzótényezőt úgy választjuk meg, hogy a $P_0$ időszerű komponens a korábbi meghatározásnak megfelelően az anyagi rendszer energiájának $c$ -szerese legyen."

Szerintem itt $1/c$ , és $P^0$ akart szerepelni (bár utóbbi mindegy..).

A Landau könyv (109. oldal) írta:" $P^0 = const\int{T^{0k} dS_k} = const\int{T^{00} dV}$ , ha az integrált az $x^0 = const$ hipersíkra képezzük.

Másrészt (32,3) szerint $T^{00} = \dot{q}\frac{\partial\Lambda}{\partial\dot{q}} - \Lambda$ (ahol $\dot{q} \equiv \partial q / \partial t$ ).

Az energiát a Lagrange-függvénnyel összekötő ismert összefüggésnek megfelelően $T^{00}$ -t az energiasűrűségnek kell tekintenünk, tehát $\int{T^{00} dV$ a rendszer teljes energiája. Ezért az állandó helyébe $1/c$ -t kell írnunk. Így a rendszer négyesimpulzusának végső kifejezése a következő:

(32,6) $P^i = \frac{1}{c}\int{T^{ik} dS_k}$ .

A $T^{ik}$ tenzort a rendszer energia-impulzus-tenzorának nevezzük."

Hiba, és könnyen félrevezető a rossz megállapítást azzal jóváhagyni, hogy az energiát a Lagrange-függvénnyel összekötő ismert összefüggés az $E = v\frac{\partial L}{\partial v} - L$ (ahol $\frac{\partial L}{\partial v}$ az általános impulzus, és $L$ a Lagrange-függvény) meglehetősen hasonlít a $T^{00} = \dot{q}\frac{\partial\Lambda}{\partial\dot{q}} - \Lambda$ összefüggésre. Az előbbi pontmechanikai részecskére vonatkozik, még az utóbbi anyagi kontinuumra (folytonosságra). A kettő egyáltalán nem ugyan az, tehát ez alapján hiba azt állítani, hogy: "tehát $\int{T^{00} dV$ a rendszer teljes energiája." Ez az állítás azonban már előbb ki van jelentve azzal, hogy a $P^i := const\int{T^{ik} dS_k}$ mennyiséget kitalációszerűen a négyesimpulzussal azonosítja: " $P^i$ -t a rendszer négyesimpulzusával kell azonosítanunk."
Na de miért??

Azért, mert megmaradás érvényes rá? Ez még egyáltalán nem elegendő, és nem következetes ok...
(Sőt, lentebb még azt is megmutatom, hogy a kiindulópontnak vett $\frac{\partial T^{ik}}{\partial x^k} = 0$ "megmaradási egyenlet" hamis..)

Nézzük a megfigyelő inerciarendszeréből az anyagi rendszert:

A Landau könyv (110. oldal) írta:"Már előbb szó volt arról, hogy ha (32,6)-ban az integrálást egy $x^0 = const$ hipersíkra végezzük, akkor $P^i$ alakja a következő:

(32,11) $P^i = \frac{1}{c}\int{T^{i0} dV}$ ,

ahol az integrálást a teljes (háromdimenziós) térre kell végezni. $P^i$ térszerű komponensei az anyagi rendszer impulzusának hármasvektorát alkotják, az időszerű komponens pedig az energia $c$ -szerese."

Itt $c$ helyett megint $1/c$ -t kellett volna írni. (De nem ez a lényeg, lépjünk tovább..)

Egy rendszer (vagy részrendszer) teljes (eredő) energia-impulzus vektorának meghatározása lényegében annak pontszerűvé transzformálását jelenti, tehát matematikailag az anyagi folytonosságot (kontinuumot) átvisszük a pontmechanikába. A Landau II könyv jelölésénél maradva, legyen $P$ a rendszerünket képviselő pontmechanikai energia-impulzus vektor. Adjunk neki energiát gyorsítással, még $P'$ nem lesz. (itt a vesszőnek ugye most nem nyugalmi jelentése van, hanem, hogy fel lett gyorsítva.) A megfigyelő mozdulatlan, tehát természetesen ugyan abban az inerciarendszerben van. Ennek koordinátázása szerint felírva a két vektor $P^i$ , és $P'^{\,i}$ . Most nézzük ugyan ezt a kontinuumok világában az energiaimpulzus-tenzorukkal. $T$ -ből lesz a felgyorsítás után $T'$ . Ugyanazon koordinátázás szerint felírva pedig $T^{ik}$ , és $T'^{\,ik}$ . A tenzor pillanatnyi lokalizációjával ugyan úgy az anyag után mentünk, mint előbb a vektor esetében, ez nem gond, hasonlóan az origó megválasztásához. Ha az anyagot egybe képzelnénk el, felmerülne, hogy a gyorsítás irányú távolságkontrakció miatt az egyes elemi anyagdarabok elszakadnak egymástól, de azok szépen egymás mellé rendezve választhatók minden pillanatnyi helyzetre, ami így szükséges is, tehát ilyen gond nincs. Viszont valójában azért ez így mégsem képzelhető el fizikai folyamatként, mert nem tudunk szinkronban egyszerre és egyformán hatni az anyagi kontinuum minden részére, pontjára. Ez a matematikai "crossfade" nem valós fizikai folyamat, de így kell a kontinuum esetében azt párhuzamba állítani a pontszerű helyzettel. Éppen ezért nem járhatunk el úgy matematikailag, hogy a megfigyelőt ugratjuk át egy, az eredetihez képest mozgó inerciarendszerbe. A Landau könyv (32,6) $P^i = \frac{1}{c}\int{T^{ik} dS_k}$ formulája ugyanis ezt teszi, és ezért nem is jut az energia-impulzus vektorhoz. Nézzük ezt pontosabban:

Írjuk fel a megfigyelő inerciarendszerében a pontszerűvé transzformálást a Landau könyv (32,6)-ból felírt (32,11) képlete alapján:

$P^i = \frac{1}{c}\int{T^{i0} dV}$ ,

$P'^{\,i} = \frac{1}{c}\int{T'^{\,i0} dV}$ .

A baloldal $P^i\; \rightarrow\; P'^{\,i}$ az energia-impulzus négyesvektor Lorentz-transzformációja csupán.
A jobboldal ezzel nem egyeztethető össze, hiszen ott tenzor négy komponense szerepel, tehát az nem lehet vektor. (Ebbe nem szól bele az integrálás nem jelölt tartományának kontrakciója, mert az egyformán érinti mind a négy komponenst.)
A második összefüggés a jó meggondolásunk alapján természetesen szintén a (32,11) képlet alapján lett felírva.
Na de akkor persze, hogy nem stimmel a jobboldalakra a vektor transzformálódása, hiszen eltértünk a (32,6)-ban megadott $T^{ik}dS_k$ kontrakciótól, mert azt újra a $dS_0 = dV$ -vel végeztük, és nem pedig $T'^{\,ik}dS'_{\,k}$ szerint, ahol $S'$ -t $P'$ eltranszformáltsága miatt $T'$ vonzza.

Ebből az következik, hogy $\frac{1}{c}\int{T^{ik} dS_k}$ hiába vektor, nem felel meg a rendszer energia-impulzus vektorának.

A problémát érdemes megvilágítani egy másik szemszögből is.

Nézzük, hogyan folytatja a Landau könyv a 111. oldalon:

A Landau könyv (111. oldal) írta:" $T^{ik}$ többi komponense jelentésének kiderítéséhez átírjuk a (32,4) megmaradási egyenletet, szétválasztva benne a tér és idő szerint képzett differenciálhányadosokat

(32,12) $\frac{1}{c}\frac{\partial T^{00}}{\partial t} + \frac{\partial T^{0\alpha}}{\partial x^{\alpha}} = 0,\;\;\;\; \frac{1}{c}\frac{\partial T^{\alpha 0}}{\partial t} + \frac{\partial T^{\alpha \beta}}{\partial x^{\beta}} = 0.$

Integráljuk az egyenleteket a tér valamely $V$ térfogatára. Az első

$\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} \int{T^{00}\, dV} + \int{\frac{\partial T^{0\alpha}}{\partial x^{\alpha}}\, dV} = 0$

vagy a második integrált a (háromdimenziós) Gauss-tétellel átalakítva,

(32,13) $\frac{\partial}{\partial t} \int{T^{00}\, dV} = -c\oint{T^{0\alpha}\, df_{\alpha}}$ ,

ahol a jobb oldalon a $V$ térfogatot határoló felületre kell integrálni ( $df_x, df_y, df_z$ a $df$ a háromdimenziós felületelem vektorösszetevői). Az egyenlőség bal oldalán a $V$ térfogatban levő energia változási sebessége áll. Ebből látszik, hogy a jobb oldalon az adott térfogat határán átáramló energiamennyiség jelenik meg, a

$cT^{01},\;\;\;\;\; cT^{02},\;\;\;\;\; cT^{03}$

összetevőkből álló $S$ vektor az energiaáram-sűrűség (az az energiamennyiség, amennyi egységnyi felületen egységnyi idő alatt keresztülfolyik). Így arra a fontos következtetésre jutunk, hogy a relativisztikus invariancia követelménye, amely a $T^{ik}$ mennyiség tenzor jellegében jut kifejezésre, automatikusan határozott kapcsolathoz vezet az energiaáram és az impulzus között: az energiaáram-sűrűség az impulzussűrűség $c^2$ szerese."

A speciális relativitáselmélet (32,4) $\frac{\partial T_i^k}{\partial x^k} = 0$ , vagy ami itt ugyan az: $\frac{\partial T^{ik}}{\partial x^k} = 0$ , megmaradási egyenlete nem teljesen igaz. Ez ugyan a legkisebb hatás elvű variációs levezetésből azon oknál fogva adódik, hogy az $L$ (a Landau könyvben $\Lambda$ ) Lagrange-sűrűség nem függ explicit módon az $x^k$ -tól, hasonlóan ahhoz, ahogy a pontmechanikában a Lagrange-függvény az energia megmaradása esetén nem függ explicit módon az időtől. A Lagrange-függvényről a Lagrange-sűrűségre való áttérés (ami fent le van vezetve) után a variációs elvű legkisebb hatás kalkulációja (Landau II könyv 108. oldal) ugyan azt az eljárást követve állítja fel a "megmaradási egyenletet", csak most $\frac{dE}{dt} = 0$ (Landau I könyv 27. oldal) helyett a vele analóg $\frac{\partial T^{ik}}{\partial x^k} = 0$ formában. Kontinuum esetén viszont egyrészt új lehetőség nyílik a mechanikai rendszer állapotának megadására(/ban), másrészt így már nem a pontmechanikai eredetű $q$ (azaz nem általános) koordinátáknak van szerepe az állapot meghatározásában anyagi kontinuum lévén, hanem a szükségesség miatt megadandó valamilyen állapot egyenletnek. (Az elektrodinamika alapesete mellesleg éppen olyan, hogy nincs szükség külön állapotegyenletre, mert a töltés lényegileg pontszerű marad a matematikai folytonos elosztottsága ellenére is.) Harmadrészt az új matematikai helyzet (kontinuum...) az elméleti alapokban lényegi bonyodalmakat is teremt a relativitáselv és határsebesség miatti tér-idő összekapcsoltság, és annak következményei miatt. (Gondolok itt a mechanikai főfeszültségek nem izotróp esetére, és az ekkor szükséges anyagi állapotegyenletekre, valamint az ezzel fellépő komplikációkra.)

Nézzük pontosan a részleteket, hogy hogyan téved az előbb idézett rész, észre sem véve a hibát:

(32,13) és a következtetése rossz. A problémának van egy olyan gyökere, hogy a kontinuum-mechanikát egy olyan elméletbeni kezdőpontból kell felépíteni, amely következetesen derít fényt arra, hogy az energiaimpulzus-tenzor elemei mit jelentenek. A legkisebb hatás elve (Landau könyv 108. oldal) ezt nem szolgáltatja. Véleményem szerint a Novobátzky könyv 39. Kontinuumok mechanikája című pontjában a 100. oldal, és a (196) formula alapján a pontmechanika felől kell kiindulni, majd az így felállított kinetikai tenzor után a 40. Rugalmas testek című ponthoz hasonlóan megkeresni annak mechanikai komplementerét, a rugalmassági tenzort. Ezek alapján az sem marad homályban, hogy mit jelentenek az ezek alkotta energiaimpulzus-tenzor komponensei, és hogy ez a tenzor egyezik a legkisebb hatás említett kalkulációjában bevezetett (32,3) $T_i^k$ tenzorral. Ha ezt az utat követjük, és elég körültekintőek vagyunk, nem esünk bele az elhamarkodottan alkalmazott Gauss-tétel csapdájába, és az utána tett helytelen megállapításokba, melyet nem csak a Landau könyv követ el, hanem a Novobátzky könyv is a 20. pontja után a 21. Megmaradási elvek című részben a 62-63. oldalakon.

Térjünk vissza, miért rossz az utóbb idézett (32,13) $\frac{\partial}{\partial t} \int{T^{00}\, dV} = -c\oint{T^{0\alpha}\, df_{\alpha}}$ egyenlet.

A fentebb megtárgyalt entalpia levezetése/bevezetése már az energiaimpulzus-tenzor komponenseinek megismerése (előbbi felvázolt menet) után sorra kerülő lépés. Abban egyszerűen kiderül, hogy az impulzussűrűség az entalpiasűrűség tömegértéke és a sebesség szorzata. Ezért a jobboldali $T^{0\alpha}$ komponensek impulzussűrűsége zárt felületen történő beáramoltatással a közrefogott $V$ térfogatban levő entalpiát növeli. Ennyit tudunk csak, és nem azt, hogy pusztán csak a $T^{00}$ komponens(eke)t növeli. Izotróp esetet tételezve föl az entalpiához az izotróp $p$ nyomás is hozzátartozik, melyet a $T^{\alpha \alpha}$ többi három átlós elem hordoz. Az entalpiasűrűség nyugalmi energiasűrűségeinek az átlós elemek közötti elosztásáról valamilyen, az izotróp anyagra jellemző állapotegyenlet rendelkezik a nyugalmi rendszerben. (Mechanikai szempontból nem izotróp anyag esetén jóval bonyolultabb is lehet a helyzet, ha ugyanis a nyugalmi rendszerben a térszerű koordinátatengelyek nem a rugalmas főfeszültségek irányába állnak, akkor már nem diagonális az energiaimpulzus-tenzor, és így akkor már nem csak az átlós elemekről van szó az entalpia tekintetében.)

Visszafelé menve következik, hogy (32,12) első egyenlete is hibás, ami ugye a $\frac{\partial T^{ik}}{\partial x^k} = 0$ alapján lett felírva a Landau könyvben. Az ok nyilván ugyan az, mint előbb, de itt még a Gauss-tétel alkalmazása előtt vagyunk, ahol a differenciális alak mellett a legapróbb részleteiben szemlélve az anyagi kontinuumot, fényt deríthetünk arra, hogy miként sérül a megmaradás egyenletének nevezett összefüggés anélkül, hogy tényleg sérülne a megmaradás, és a legkisebb hatás elve. Egyszerűen arról van szó, hogy egy matematikai szabadság keletkezik az elméletben a pontmechanikáról a kontinuumra térés közben, amit (az elektrodinamikai alapesetet leszámítva) az így szükségszerű anyagi állapotegyenlet szüntet meg. A mechanika dinamikai folyamata alatt az anyagi állapotegyenlet az általa előírtnak megfelelően osztja el a nyugalmi energiasűrűség jellegű mennyiségeket a diagonizált energiaimpulzus-tenzor diagonális elemei között, és azokon belül. Ezzel nem sérülnek az alapvető megmaradások (energia-, impulzus-, és impulzusmomentum-) semmilyen tekintetben, és velük együtt a szoros összefüggésben álló legkisebb hatás elve sem. Viszont az energiaimpulzus-tenzor téridőbeli változásai ezzel eltérnek attól az értékektől, amelyekkel a $\frac{\partial T^{ik}}{\partial x^k} = 0$ egyenletet adnák.

Nézzük ezt a mechanizmust egy elemi anyagdarab vizsgálatával. Áramoljon be (szemközti) kétoldali határán egymással szembe mutató impulzus révén energia, ami a két félrészének $T^{00}$ -ból adódó energiáját növelné a (32,13) $\frac{\partial}{\partial t} \int{T^{00}\, dV} = -c\oint{T^{0\alpha}\, df_{\alpha}}$ módon, és azok ezáltal egymás felé akarnának mozdulni. De nem tudnak, mert ugye teljesen egymás mellett vannak. Így a két egymás felé mutató impulzus által beáramlott energia az impulzusmegmaradás miatt szállítódik tovább egymás felé (vagy másképpen fogalmazva a bejött impulzusok áramlanak egymás felé tovább), és ki akarnának lépni a belső elválasztó határfelületen az egyik anyagdarab félből a másikba, de ezen a ponton a kilépéskor éppen egy helyen vannak, és az áramlások kioltva megsemmisítik egymást. A teljes elemi anyagdarabba beáramlott ugyan az energia (vagy impulzus), de a két feléből középen mégis kijutott. Akkor most bent van, vagy még sincs bent?? Jelentkezik-e a $T^{00}$ komponens térfogati integráljában, vagy nem?? A helyes válasz az, hogy nem jelentkezik, mert az egymást kioltó impulzusáramok nyomás jellegű mechanikai feszültséget jelentenek. A teljes elemi anyagdarabba így szimmetrikusan beáramlott energia el nem tűnhet a megmaradás miatt, tehát akkor nyilván az előbbi megállapításnak megfelelően a $p$ nyomás térfogati integrálja tartalmazza, melyet viszont a (32,13) összefüggésben nem szereplő többi $T^{\alpha \alpha}$ komponens térfogati integrálja tartalmaz. Mivel az elemi anyagdarab infinitezimálisan, azaz végtelenül pici, így ez a felvázolt magyarázó folyamat, egyszerűen beleolvad a folytonosságba, és lényegében onnan adódik azzal együtt, hogy a differenciális $\frac{\partial T^{ik}}{\partial x^k} = 0$ egyenlet nem stimmel, hibás. (A dielektrikumot nem használó elektrodinamika esetében azonban jó, és ezzel együtt az anyag állapotegyenlete sem létezik, mert matematikailag szükségtelen.)

Novobátzky könyv (105. oldal) írta:"A $T_{ik} = \Theta_{ik} + \mu_0 u_i u_k$ tenzort a rugalmas kontinuum energiaimpulzus-tenzorának nevezzük. Összege a $\Theta_{ik}$ rugalmassági és a $\mu_0 u_i u_k$ kinetikai tenzornak. A mozgásegyenletek tehát egyszerűen így írhatók: $\frac{\partial T_{ik}}{\partial x_k} = 0$ ."

Teljesen hiányzik annak fontos felismerése, hogy a rugalmas anyagi kontinuum nem működik az anyag állapotegyenlete(i) nélkül. Annak hiányában pedig mozgásegyenlet sincs.

Nézzük Hraskó Péter Általános relativitáselmélet és kozmológia című jegyzetében http://peter.hrasko.com/files/full5.pdf a 61. oldalon kezdődő 25. Az energia-impulzus tenzor című részt:

Hraskó Péter írta:"Foglalkozzunk most az energiamegmaradással. A kontinuitási egyenlet ekkor a $w$ energiasűrűséget és az $s$ energiaáram-sűrűséget tartalmazza:

(25.1) $\frac{\partial w}{\partial t} + div\, s = 0$ .

Az energia csak zárt rendszerben marad meg, ezért $w(r,t)$ -nek tartalmaznia kell az összes energiafajtát, amely a $t$ pillanatban az $r$ pontban jelen van, és természetesen ugyanez vonatkozik az $s(r,t)$ -re is."

A következtetés (oda-vissza) hibás, ugyanis pontosan nézve (ami itt most éppen szükséges, mert az ördög mindig a részletekben lakik...

) az energia az már egy integrális mennyiség ellenben az energiasűrűséggel. Ráadásul az "összes energiafajtán", mint "teljes energián" így az entalpiát kell tekinteni, ami ugye szintén integrális mennyiség, és nem csak a $w$ -vel jelölt mennyiséget tartalmazza, hanem a $p$ nyomást is. A felhozott kontinuitási egyenlet sűrűségeket kapcsol össze, nem pedig integrális mennyiségeket. Nézzük tovább:

Hraskó Péter írta:"Az áramsűrűség tulajdonságai alapján arra gondolhatnánk, hogy a négy $(cw,s)$ komponens négyesvektort alkot, de ez nincs így."

Ezután részecskés magyarázat jön, ami jó, csak észre kellene még venni azt a fontos okot, hogy az előző pontból felhozott $j$ áramsűrűség lényegileg PONTszerű (töltés) részecskéket ír le (még ha azt folytonosan el is osztjuk a térben), és ebből következően négyesvektor. $(cw,s)$ -re azonban ez általában nem áll.

Hraskó Péter írta:"A $g$ vektor három komponense egy-egy impulzussűrűség... Zárt rendszerben az impulzus komponensei megmaradó mennyiségek, és ahhoz, hogy a megmaradásuk lokális legyen, figyelembe kell vennünk mindhárom impulzussűrűség áramsűrűségét...

(25.2) $\frac{\partial g_x}{\partial t} + div\, \sigma_x = 0$ ."

(Csak áramát...) Megint azt tudnám felhozni, hogy az impulzus integrális mennyiség, az impulzussűrűség pedig sűrűség, ezért ez a következtetés, hasonlóan, mint előbb, nem érvényes, és ezért az egyenlet lehet, hogy nem igaz. (Szintén hibás, mint előbb.)

Ezek után ezekből fel van írva egy 4x4-es (25.3) $T^{ij}$ mátrix, majd a valójában nem következetes egyenletek alapján az egybefoglaló (25.4) $\partial_j T^{ij} = 0$ kontinuitási egyenlet. Utána:

Hraskó Péter írta:"A (25.4) és a $\partial_i j^i = 0$ (24.5) összevetése azt sugallja, hogy $T^{ij}$ második indexe éppen úgy kontravariáns vektorindex, mint a $j$ áramsűrűség felső indexe. Az előző fejezetben láttuk, hogy egy sűrűség és a hozzá tartozó áramsűrűség négyesvektor jellege szorosan összefügg az elemi térfogat Lorentz-kontrakciójával, ami természetesen minden áramsűrűségnél fellép."

Ez azért nem jó, mert sugallva azt állítja, hogy a $T^{ij}$ tenzor sorai négyesvektorok. A második idézetnél (ami helyes) ez éppen cáfolva volt.

Hraskó Péter írta:"Térjünk át most a sorokról a nulladik oszlopra. Ha a $T^{i0}$ elemeket $dv$ -vel megszorozzuk, az elemi térfogatban felhalmozott négyesimpulzus komponenseit (pontosabban ezek $c$ -szeresét) kapjuk. Ebből már sejthető, hogy $T^{ij}$ első indexe is kontravariáns vektorindex."

Mindkét állítás hamis. Utolsó mondata sugallva azt állítja, hogy a $T^{ij}$ tenzor oszlopai vektorok, annak ellenére, hogy $T^{ij}$ nyilván másodrendű tenzorként transzformálódik. De:

Hraskó Péter írta:"Mindezek alapján $T^{ij}$ -t másodrendű kontravariáns tenzornak kell tekintenünk, amelyet energia-impulzus tenzornak neveznek. Az energia-impulzus tenzor a fizika egyik legfontosabb fogalma.
A rendszer energiáját és impulzusát a

(25.5) $W = \int{w\, dv} = \int{T^{00}\, dv}\;\;\;\;\;\;\;\; p_{\alpha} = \int{g_{\alpha}\, dv} = \frac{1}{c}\int{T^{\alpha 0}\, dv}$

integrálok határozzák meg, amelyekben a teljes térre integrálunk. Ezek a mennyiségek megmaradnak. A bizonyítás ugyanúgy történik, mint a részecskeszám megmaradásának igazolása a 24. fejezet A. pontjában. A $P = (P^0, P^x, P^y, P^z) = (W/c,\, p_x,\, p_y,\, p_z)$ a rendszer teljes négyesimpulzusa."

Az a bizonyítás a PONTszerű, és mechanikailag nem érintkező részecskék esetében állja meg csak a helyét (mint a töltések). De az olyan anyagra, melynek elemi anyagdarabjai fizikailag érintkeznek, és így rugalmas mechanikai feszültségeket (ami energiasűrűség jellegű) hoznak létre egymás között, nem alkalmas.

Az első példa egyből hozza is a nemstimmelést:

Hraskó Péter írta:"Első példaként írjuk fel a $V(x,y,z,t)$ sebességgel áramló ideális folyadék energia-impulzus tenzorát nemrelativisztikus közelítésben... (25.7)"

Hát a relativitáselmélet fizikájának a legfontosabb mennyiségének fejezetében nemrelativisztikus közelítéssel példálózni nem éppen hasznos. Legfeljebb arra lehet jó, hogy elfedje a hamisságot, de ez éppen nem teszi:

Hraskó Péter írta:"Azt várnánk, hogy az energiaáram sűrűsége $wV$ -vel egyenlő, de a $w$ helyén a ... kifejezés szerepel, amelyben (25.8)... az egységnyi tömegre jutó entalpia"

Persze, hogy azt várnánk a fejezetben (és az előző fejezetben) eddig leírtak szerint, hogy $s = wV(x,y,z)$ legyen. Hiába, hogy nemrelativisztikus a felhozott elméleti példa, azért mégis helyesen mutatja, hogy ellentmondás van, hiszen nem a $w = \rho(V^2/2 + c^2 + u)$ energiasűrűség áramlik, hanem a $\rho(V^2/2 + c^2 + u + p/\rho) = w + p$ entalpiasűrűség. Ebből azonnal látszik, hogy a (25.5)-ben felírt $W$ integrális mennyiség nem felel meg a $P = (P^0, P^x, P^y, P^z)$ négyesimpulzus nulladik komponenséhez, tehát ahogy írtam, hibás a $P = (P^0, P^x, P^y, P^z) = (W/c,\, p_x,\, p_y,\, p_z)$ . A helyes négyesimpulzus adódik a példából:

$P = (P^0, P^x, P^y, P^z) = \left( \frac{1}{c}\left[W + \int{p\, dv}\right],\;\; p_x,\, p_y,\, p_z \right) = \left( \frac{1}{c}\left[\int{(w+p)\, dv}\right],\;\; p_x,\, p_y,\, p_z \right)$ .

Nézzük a magyarázatot:

Hraskó Péter írta:"A magyarázathoz írjuk fel (25.1)-t integrális alakban és a jobboldalon $s$ -t helyettesítsük be (25.7)-ből és (25.8)-ból:

$\frac{d}{dt}\int_v{w\, dv} = -\int_s{(wV) \cdot nds} + \int_s{(-pn) \cdot V\, ds}$ .

A baloldalon az energia növekedési sebessége áll a kijelölt $v$ térfogatban. A jobboldal mutatja, hogy ez két összetevőre vezethető vissza. Az első a $w$ energia beáramlási sebessége, a másik pedig a nyomás időegység alatt végzett munkája a térfogatba beáramló közegen."

A kimagyarázó szöveg majdnem jó, de mégsem. Az problémát tisztán nem látó embernek ez persze azt sugallja, hogy a baloldalon a térfogati integrálás végett a "teljes energia" változási sebességéről van szó. Na de a "teljes energia", ahogy az már fentebb meg lett részletesen tárgyalva, az entalpiát jelenti, aminek sűrűsége viszont nem $w$ , hanem $w + p$ . A baloldalon ez utóbbinak kellene szerepelnie. Az egyenlet nyilván hibás, és a példa pontosan megmutatja, hogy a (25.1) "kontinuitási egyenlet" nem áll. (És ezzel együtt (25.2), valamint (25.4) $\partial_j T^{ij} = \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} = 0$ sem áll. Hamisak.)

Alakítsuk át picit a példa alapján felírt integrális alakot, és ellentmondásra jutunk:
(Jobboldalon mindkét tag lényegében két vektor, az $n$ kifelé mutató felületi normális, és a $V$ sebesség skaláris szorzata, melyek már csak skalár mennyiségekkel vannak szorozva. Elfátylazásnak tűnik nekem, hogy ezek egy kicsit megkeverve vannak felírva.)

$\frac{d}{dt}\int_v{w\, dv} = -\int_s{(wV) \cdot nds} - \int_s{(pV)\cdot nds}$ ,

$\frac{d}{dt}\int_v{w\, dv} = -\int_s{(wV + pV) \cdot nds}$ ,

$\frac{d}{dt}\int_v{w\, dv} = -\int_s{(w + p)V \cdot nds}$ .

Ami hamis, hiszen Gauss tétele alapján baloldalt $w$ helyett $w + p$ a helyes az egyenlőség, vagyis a jobboldal értelmében. A Gauss-tétel csupán egy nyers matematikai tétel, ami nem törődik az anyagi állapotegyenlettel, vagy a kétellyel, hogy most akkor beáramlott-e a térfogatba a szereplő mennyiség, vagy esetleg az egyébként belül bárhol felvehető elválasztófelületek két oldala "között" trükkösen "megbújik". (Sőt, még az áramlással sem...)

-------------------------------------------------------

Még jóval fentebb említettem, hogy a nyomásnak, vagy a rugalmas főfeszültségeknek a negatív értéke az energiaimpulzus-tenzorban ellentmondásra vezetne. Ez könnyen belátható, hiszen ha az energiaimpulzus-tenzorba egyszerűen negatív értékű (izotróp) nyomást veszünk, akkor az lesz a gond, hogy az entalpia ugyanakkora nyugalmi energiasűrűség mellett nagyobb negatív nyomás esetén kisebb lesz, ami nem lehet, hiszen a nagyobb negatív nyomás eléréséhez pozitív energiát kell befektetnünk széthúzás közben, tehát az entalpiának ("teljes energia", amiből a tömeget is számolni kell) növekednie kell. Ilyen probléma nem merül fel, ha az energiaimpulzus-tenzorban az említett negatív érték helyett annak abszolút értéke szerepel, és transzformálódik.

Az előbbi meggondolások alapján a rugalmas nyírófeszültségektől mentes, és ezzel együtt izotróp kölcsönhatást tartalmazó anyagi kontinuum energiaimpulzus-tenzorának alakja nyugalmi rendszerben, és Galilei-féle koordináták esetén a következő:

(+,+,+,-) szignatúra, valamint alsó-felső indexes forma esetén $T_{ik} = \begin{bmatrix}|p|&0&0&0\\0&|p|&0&0\\0&0&|p|&0\\0&0&0&\epsilon\end{bmatrix}$ , ahol $\epsilon = \mu_0 c^2 + r$ .

Látható, hogy ebben az izotróp esetben $|p|$ háromszorosan elfajult sajátérték. Folyadékokra és gázokra ez érvényes. Szilárd anyag esetében a három rugalmas főfeszültség nem egyforma értékű, nincs elfajulás. A rugalmas nyírófeszültségek ezekből a különbségekből adódnak a koordináta-rendszer térszerű tengelyirányainak különböző megválasztásai esetén. Ha azokat a főfeszültségi irányokba választjuk, akkor szintén eltűnnek a nyírófeszültségek:

(+,+,+,-) szignatúra, valamint alsó-felső indexes forma esetén $T_{ik} = \begin{bmatrix}|\sigma_1|&0&0&0\\0&|\sigma_2|&0&0\\0&0&|\sigma_3|&0\\0&0&0&\epsilon\end{bmatrix}$ , ahol $\epsilon = \mu_0 c^2 + r$ .

A főfeszültségek különböző értéke miatt azokkal vonatkozásban fel kell bontanunk a $\mu_0$ térfogati nyugalmi tömegsűrűséget, valamint az $r$ rugalmassági nyugalmi energiát. Vesszővel jelöljük most a nyugalmi vonatkozást:

$\epsilon' = \mu'_{\sigma 1}\,\mu'_{\sigma 2}\,\mu'_{\sigma 3}\,c^2 + r'_{\sigma 1} + r'_{\sigma 2} + r'_{\sigma 3}$ .

Az anyagi állapotegyenletekben a főfeszültségek, és ezen részmennyiségek szerepelnek.

Az energiaimpulzus-tenzor divergenciája nulla helyett pedig a következő alakú:

$\frac{\partial T^{ik}}{\partial x^k} = valami1^i + valami2^i$ .

Ez a mozgásegyenlet.

$valami1^i$ nullától való eltérését az állapotegyenletek okozzák.
$valami2^i$ nulla, ha a főfeszültségek mind pozitívak. Ellenkező esetben az anyagelemre ható rugalmas mozgatóerő (részben, vagy teljesen vissza)iránya miatt lépnek fel.

Rigel · Hozzászólás Szerző: **Rigel** » 2017.01.12. 09:08

Amikor az elmebaj szorgalommal párosul...

Tudod mit? Írd meg egy tanulmányban és küld be a Fizikai Szemlébe! Ott majd eldöntik, hogy találtál-e valamit, vagy csak egy félreértelmezésektől hibáktól hemzsegő szemét az egész, megjelentetésre sem méltó.
Annak semmi értelme, hogy egyik ismeretterjesztő "laikus" fórumot a másik után teleszemeteled.

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.12. 15:21

Halovány lila gőzöd sincs az egészről.. Te szemetelsz bele az értelmes munkámba és topikomba!! Ráadásul ilyen sértő szavakkal, mint "elmebaj", meg "szemét"...
Milyen félreértelmezésről, meg hibáktól hemzsegésről beszélsz?? Ennyi idő alatt el sem tudtad olvasni, és te beszélsz...

Pontosan le van írva minden. Ráadásul Novobátzky egy említett fejezetében ott van a megoldás a helyes energia-impulzus vektorhoz. Ha elolvasod észreveszed (már ha van egy diónyi agyad), hogy az alapján készítettem az (integrális) energia-impulzus vektorral, és entalpiával kapcsolatos részt. Minden részletesen, és értelmesen le van írva.
Ha valamit nem értesz, nem helyes rögtön ostobán káromolni, mert az pl. irigységre vall.

(Dobd ki magad a kukába...!)

Rigel · Hozzászólás Szerző: **Rigel** » 2017.01.12. 16:57

Bocsi! Elnézést hogy élek!

Tisztázzuk: ezt a szintet, amit te itt próbálsz művelni, a tudományos folyóiratokban és konferenciákon művelik. Az a helye ennek! Ez itt egy teljesen laikus fórum, egy vagy két tag kivételével senki el nem tudja dönteni, hogy amit írtál az helyes, vagy tűzrevaló szemét-e. Ezért aztán teljesen időpocsékolás ideírnod ezeket a levezetéseket, ha jók, akkor a tudományos folyóiratokban publikációként van a helyük, ha hibásak, akkor meg csak a teljesen hozzánemértőket parasztvakítod ezekkel a levezetésekkel.
Nem mellékesen, volt már egy fórum, hol bepróbálkoztál, de ott volt néhány hozzáértő, aki felhívta a figyelmedet az elkövetett hibáidra. Te megsértődtél, vagy esetleg nem vagy hajlandó a kritikákkal foglalkozni, így áthoztad a fixa ideádat ide, ahol gyakorlatilag senki sem tudja ellenőrizni az állításaidat. Lehet hogy neked ez kényelmes, mert nem kell a vélt vagy valós hibákon akadékoskodókkal vesződnöd, de totálisan időpocsékolás. A hozzászólásom csakis erre próbált utalni.

TL;DR

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.12. 18:41

Rigel, téged egyértelműen bánt, hogy valamit itt közreadtam, és ez esetleg megüti a te szintedet.
Ettől még lehet, hogy akad olyan, akit esetleg érdekel, vagy esetleg ért belőle valamit, és a hasznára lehet...

Miért szabod ki, hogy ez a fórum kizárólag csak laikus, és itt csak laikus olvasók/hozzászólók vannak/lehetnek, valamint, hogy itt csak laikus (sőt, a te általad jóváhagyott) dolgok adódhatnak közre. Gondolkozzál már el kicsit magadon!
Látom, te mindenképpen égetni akarsz ezzel a "tűzrevaló szemét", meg "parasztvakító" szavakat tartalmazó szövegeddel.
Az ilyen hozzászólások, mint a tiéd, azok, amik nem kellenek ide!

mimindannyian

Ha dgy elmeszelte, akkor azért nagyon zörög az a haraszt.

Rigel · Hozzászólás Szerző: **Rigel** » 2017.01.12. 19:36

szabiku írta: Rigel, téged egyértelműen bánt, hogy valamit itt közreadtam, és ez esetleg megüti a te szintedet.

Nem.
Engem az "bánt", hogy egy analógiával élve: miután ronggyá vertek az országos sakkversenyen, te átvonultál az óvodába, hogy lealázd az ovisokat sakkban.

szabiku írta: Látom, te mindenképpen égetni akarsz ezzel a "tűzrevaló szemét", meg "parasztvakító" szavakat tartalmazó szövegeddel.

Olvasd el alaposabban! Kimondottan figyeltem rá a megfogalmazásban hogy se pro, se contra ne minősítsem a munkádat. Ha te mégis a leírt két lehetőségből csak a contra jelzőket vetted magadra, az azért mutat valamit...

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.12. 20:18

Milyen "sakkversenyre" gondolsz?? Ahol a "Novobátzky-effektusnak" elnevezett "megváltozik a nyugalmi tömeg"-es szájenszfiksön alapján most csinálják a spanyolviaszt?

http://kozmoforum.hu/viewtopic.php?f=9&t=136&start=40
Ugyan már...

con · Hozzászólás Szerző: **con** » 2017.01.13. 13:13

Szabiku, te most arról a spanyolviasz üzemről beszélsz, ahol több mint két éven keresztül minden hosszadalmas művedet végigolvasta, és matematikailag pontról pontra elemezve cáfolta Dávid Gyula, a mai magyar egyetemi fizikaoktatás egyik legtapasztaltabb és legragyogóbb tanára? Örülhetnél inkább, hogy ennyi figyelmet fordított rád, s tűrte folytonos pimaszkodásodat, miközben foglalkozhatott volna számtalan reményteljesebb dologgal is. Teljesen felesleges volt ide bemásolnod ezt az általad "disszertáció"-nak nevezett anyagot, megtalálható az a kozmofórumon a Zárt osztály, Szabiku vizsgálódásai címszó alatt. Küldd be inkább egy olyan tudományos folyóirathoz, vagy minősítő bizottsághoz, ahová a kutatók szokták a maguk "irományait", "doksijait", ahogy te nevezed mások munkáit!

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.13. 18:06

Na, megint csak egy (ide maszületett) lejárató fekete bárány szövege érkezett. Semmi értelmes hozzászólás a témához...
Minek örüljek? A goromba lenéző modorának? Dávid Gyula mindenben tévedhetetlen talán? Talán egy bálvány?
Ha valaki szembe mer szállni bármilyen őáltala vallott és hirdetett dologgal, mindegy számára (és az őt bálványozók számára), hogy mi az igazság, mi a helyes az adott témában, tök mindegy, gonosz hamis módon módszeresen lenézetté teszi, és eltakarítja az illetőt, mert rontja az Ő "tökéletes és mindent jól tudó fizikus imidzsét". Elismerem, hogy van bőven tudása, de ettől még egyáltalán nem szent, és bizonyára vannak dolgok amiket rosszul "ért/tud"... (csak az ugye nehogy kiderüljön...

)
Pl. én nem hiszek az őáltala elnevezett "Novobátzky-effektusban", és ennek elég részletes cáfolata fent meg is található.

con írta:Küldd be inkább egy olyan tudományos folyóirathoz, vagy minősítő bizottsághoz, ahová a kutatók szokták a maguk "irományait", "doksijait", ahogy te nevezed mások munkáit!

Rendben megígérem egyszer elküldöm majd oda is az irományomat.

Addig fejlesztem tovább, hátha valakinek segít a megértésben, ha érdeklődik a téma iránt, és hátha valaki értelmes érdeklődő hozzászólást is tud tenni.

Aku-Aku · Hozzászólás Szerző: **Aku-Aku** » 2017.01.13. 23:58

Láttam itt egy linket ami a kozmoforum-ra mutat. Gondoltam megnézem mit találok ott. Volt ott sok minden. Egy gyöngyszemet szeretnék közzétenni dgy tollából:

Száradjon le a billentyűzetem, fagyjon le az oprendszerem, ha még egyszer reagálok szabiku értékelhetetlen írásaira. Van jobb dolgom is.

Eszméletlen

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.14. 00:14

Oszt mi van, ha mégis jó amiket írok?? Akkor dgy hamisan vall... és akkor HOPPÁ.

Aku-Aku · Hozzászólás Szerző: **Aku-Aku** » 2017.01.14. 00:41

Te azért még tanulhatnál, mondjuk gézoo-tól, mivel még a a spinfotonok reluktációját sem tudnád kiszámolni görbült térben.
Kicsi vagy te még trollnak, nőnöd kellene...

raktam ide kedvességből olyan szmájlit amit szeretsz.

Tehát lehet, hogy jó amit írsz, csak nem matematikára vagy fizikára, hanem például olyan tanulmányokban lehetne felhasználni mint a:
hogyan tenyésszünk kecskét szikes talajon?

dgy-t pedig jobb ha békén hagyod, mert az aljasságnak is van határa. Mondjuk eternal ban, vagy mifene neve is van neki.

Sanyilaci · Hozzászólás Szerző: **Sanyilaci** » 2017.01.14. 00:51

szabiku írta:Oszt mi van, ha mégis jó amiket írok?? Akkor dgy hamisan vall... és akkor HOPPÁ.

Hoppá-hoppá! Hoppá! Hoppá.
Túlzásba vitt önkritika hiányáért kiáltó szavak ezek. Olyan embertől, aki 1 hónapig vérrel és verítékkel védelmezte azon álláspontontját, hogy egy gömbnek annyi érintősíkja van (egy adott pontban), ahányféleképpen koordinátázzuk a gömböt. Aki még az energiát is tudta Lorentz-transzformálni az impulzus ismerete nélkül is. Aki nem képes felfogni egy definíciót, és 2 éve egy defíníció vélt hamissága ellen küzd, hős Don Quijoteként. Akinek vannak néha problémái a deriválással is. Aki szerint a bázis definiálja a vektorokat, nem pedig a bázis az csak egy lineárisan független generátorrendszere a vektortérnek. Aki oltalmazó védőszárnyai alá vette az energiamegmaradást az áltrelben. Aki úgy indított, hogy Dgy rosszul tudja a konnexiót. Aki átírta a geodetikus egyenletet is, sokkal jobbra, mint az eredeti. Mert nem sajátmennyiségre paraméterezve is szép. Aki átértelmezte a második derivált fogalmát. Aki új vektoralgebrát dolgozott ki - jó színeset, ahol a vektorok hossza nem játszik szerepet.

Szabiku egy meg-nem-értett zseni. Kisebb légy a levesben, hogy ő sem ért meg senkit, aki cáfolja a legelemibb tévedéseit.

Szabikunak sokáig elnéztem minden szakmai és emberi csetlés-botlását. Az egója ugyan mindig überelte a tudását, de végülis senki sem tökéletes, és azt hittem, hogy mégiscsak tudománnyal foglalkozik.
De nem. Ezotériával foglalkozik. Nem tanul, nem fejlődik, nem kommunikál, csak kinyilatkoztat. Helyben jár. És már régen leválasztotta magát mások véleményéről, nincs szüksége másokra. Ezért teljesen fölösleges vele foglalkozni, ő már egy diszjunk univerzumban van, és nem is akar onnan visszajönni. Ő már a soha meg nem értett troll marad, mert ezt választotta.

Aku-Aku · Hozzászólás Szerző: **Aku-Aku** » 2017.01.14. 01:02

OK, értettem. Többet nem etetem.

Sanyilaci · Hozzászólás Szerző: **Sanyilaci** » 2017.01.14. 01:36

Aku-Aku írta:Mondjuk eternal ban, vagy mifene neve is van neki.

Xternal. De te ezt honnan a fenéből vetted?????

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.14. 03:37

Na, Laci, még te hiányoztál a mindennek elmondó leszentelő beszédeddel...
Azért látom sok mindent megjegyeztetek az "irományaimból"

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.14. 22:39

szabiku írta:
Hraskó Péter írta: $\frac{d}{dt}\int_v{w\, dv} = -\int_s{(wV) \cdot nds} + \int_s{(-pn) \cdot V\, ds}$ .
Alakítsuk át picit a példa alapján felírt integrális alakot...

$\frac{d}{dt}\int_v{w\, dv} = -\int_s{(wV) \cdot nds} - \int_s{(pV)\cdot nds}$ ,

$\frac{d}{dt}\int_v{w\, dv} = -\int_s{(wV + pV) \cdot nds}$ ,

$\frac{d}{dt}\int_v{w\, dv} = -\int_s{(w + p)V \cdot nds}$ .

Ami hamis, hiszen Gauss tétele alapján baloldalt $w$ helyett $w + p$ a helyes az egyenlőség, vagyis a jobboldal értelmében. A Gauss-tétel csupán egy nyers matematikai tétel...

Ezt érdemes bővebben kifejteni.
Az utolsó előtti mondatból kimaradt (bár talán értelemszerű), hogy kontinuitásnak kell állnia az egyenlet mögött.
De a (25.1) $\frac{\partial w}{\partial t} + div\, s = 0$ (és ezzel együtt a (25.4) $\partial_j T^{ij} = 0$ ) hibás "kontinuitás" kifejezés, mert $s$ nem a $w$ energiasűrűség áramát jelenti, hanem a $w + p$ entalpiasűrűség áramát (ahogy az már jóval fentebb levezetéssel meg lett állapítva).
Innen visszafelé haladva könnyen belátható, hogy a (helyes) kontinuitási egyenlet egyszerűen az entalpiát teszi megmaradó mennyiséggé.

Kijavítva így néz ki az egyenlet:

$\frac{d}{dt}\int_v{(w + p)\, dv} = -\int_s{(w + p)V \cdot nds}$ . Alakítsuk ezt tovább:

A baloldalon $\frac{d}{dt}$ -t bevisszük az integráljel alá (és így ugye parciálissá válik):

$\int_v{\frac{\partial}{\partial t}(w + p)\, dv} = -\int_s{(w + p)V \cdot nds}$ .

Gauss tételét alkalmazva a jobboldal térfogati integrállá alakítható:

$\int_v{\frac{\partial}{\partial t}(w + p)\, dv} = -\int_v{\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left[(w + p)V\right]\, dv}$ . A (hármas) sebességvektor komponenseit is jelölve:

$\int_v{\frac{\partial}{\partial t}(w + p)\, dv} = -\int_v{\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left[(w + p)V^{\alpha}\right]\, dv}$ . A baloldalon bővítünk $c$ -vel:

$\int_v{\frac{\partial}{\partial (ct)}\left[(w + p)c\right]\, dv} = -\int_v{\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left[(w + p)V^{\alpha}\right]\, dv}$ , majd mindent baloldalra rendezünk:

$\int_v{\frac{\partial}{\partial (ct)}\left[(w + p)c\right]\, dv} + \int_v{\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left[(w + p)V^{\alpha}\right]\, dv} = 0$ , és a két integrált egybeírjuk:

$\int_v{\left(\frac{\partial}{\partial (ct)}\left[(w + p)c\right] + \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left[(w + p)V^{\alpha}\right] \right) dv} = 0$ .

Az első tagban $ct = x^0$ , és $c = V^0$ komponenst jelenti. Ezzel a hármasdivergencia négyeskifejezéssé alakítható:

$\int_v{\left(\frac{\partial}{\partial x^0}\left[(w + p)V^0\right] + \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left[(w + p)V^{\alpha}\right] \right) dv} = 0$ ,

$\int_v{\left(\frac{\partial}{\partial x^i} \left[(w + p)V^i\right] \right) dv} = 0$ .

Mivel a baloldali integrálás tetszőleges térfogat esetén mindig nulla, ezért az integrálás tartományát rázsugorítva egy tetszőleges pontra, végül az integrálás elhagyható, tehát:

$\frac{\partial}{\partial x^i} \left[(w + p)V^i\right] = 0$ .

Ez a differenciális alak az alapvető, nem a fentebbi $d$ -differenciálképzővel írt integrális alakja (csak $w + p$ -vel), mert ez így a metrikától független kijelentés.

$w + p$ az entalpiasűrűség, és $V^i$ a hozzá tartozó sebesség, a negyedik (vagy nulladik) komponenssel együtt.
(Ezek $(w + p)V^i$ szorzatát inkább áramsűrűségnek mondjuk, mint fordítva.)

Ez a kifejezés a helyes kontinuitási egyenlet, amely megmaradást jelent.
Ha fentebb baloldalt $w + p$ helyett csak $w$ szerepelne tovább, akkor egyáltalán nem jutnánk kontinuitási egyenletre, tehát ez konkrétan mutatja, hogy $w + p$ a helyes (és (25.1), valamint (25.4) $\partial_j T^{ij} = 0$ nem helyes).

Ez a kontinuitási egyenlet az entalpia, vagyis az ilyen értelemben "teljes energia" megmaradását jelenti a speciális relativitáselméletben. (A gravitáció "energiája" ebben nincs még benne...)
Nézzük hogyan:

Integráljuk a kontinuitási egyenletet egy négydimenziós $\Omega$ tartományra. Ez az egyenletből következően nyilván nulla:

$\int{\frac{\partial}{\partial x^i} \left[(w + p)V^i\right]\, d\Omega} = 0$ .

Képzeljük el úgy ezt a négydimenziós tartományt, hogy van teteje, oldala, és alja. Az oldala legyen palást szerű, és többnyire időszerű, még a teteje és alja egymástól időben távolabbi, és többnyire térszerű. Az anyag részeinek világvonalai ebben a tartományban legyenek olyanok, hogy a palástot egyik sem metszi, tehát az alja felől a teteje felé tartanak. (Nem jön be, és nem megy ki semmi.)

Az előbbi integrál Gauss tétele alapján egyszerűen átírható a négydimenziós tartományt körülzáró hiperfelületre vett integrállá ( $d\Omega\frac{\partial}{\partial x^i} \equiv dS_i$ ):

$\oint{\left[(w + p)V^i\right] dS_i} = 0$ .

Az előbbiek értelméből következően ebben az integrálban a palásthoz tartozó rész nulla, így mivel a jobboldal nulla, a tartomány tetejéhez és aljához tartozó integrálrész egyenlő. Ez azt jelenti, hogy bárhogyan mozog, vagy dinamikailag mozgolódik az anyagi kontinuum, az előbbi két (tartomány teteje, alja), és hasonló integrálja nem változik, tehát megmarad.

Fontos, hogy a teljes négydimenziós $\Omega$ tartomány metrikája görbületlen legyen. Ez nem jelenti azt, hogy nem lehet rajta görbevonalú koordinátázást alkalmazni, viszont úgy a $V^i$ sebesség (ami ugye még nem négyesvektor) vonatkoztatása számításügyileg nehézkessé válik, és ráadásul valahogy a $\sqrt{-g}$ -nek (vagy $\sqrt{g}$ -nek), majd valahogy $\sqrt{\gamma}$ -nak is elő kell jönnie a térfogati integráláshoz. Ha a tartományban görbült lenne a téridő, akkor minden elromlik, mert az előbb említett vonatkozások csak óraszinkronizálásokkal, és értelmezhető véges térszerű távolságokkal oldhatók meg, amiket úgy általában elvesztünk. (A gravitáció beleszól a vizsgált megmaradás(ok)ba, de persze lehet, hogy a gravitációval együtt is meg lehet alkotni valamilyen megmaradási tételt. Erről talán majd később...)

Galilei-féle koordinátázást alkalmazva az $x^0 = const.$ hipersíkokon maradva a $dS_i$ vektornak csak $dS_0$ komponense van, ami a háromdimenziós térfogatot jelenti. Így $V^i$ -nek is csak a $V^0$ komponense kell, ami $c$ . Ekkor az előbb tárgyalt megmaradó integrál így írható:

$\int{\left[(w + p)V^0\right] dS_0} = \int{\left[(w + p)c\right] dv} = c\int{(w + p)\, dv}$ .

Mivel $c$ csak egy konstans, az $\int{(w + p)\, dv}$ integrál is megmaradó mennyiség, ami látható, hogy az entalpiát adja.

Az én jóval fentebbi jelöléseimmel ez $\int{(\epsilon + p)\, dV}$ , vagy $\int{(\epsilon + p)\, \delta V}$ , ha az anyaghoz kötjük az integrálási tartomány határát. (Még fentebb pedig $\epsilon_M$ szerepel, mert ott a sima $\epsilon$ nyugalmi mennyiséget jelent illeszkedve Marx cikkéhez.)

A PONTszerű töltés, és a megmaradását kifejező $\frac{\partial}{\partial x^i}s^i = 0$ kontinuitási egyenlet (melyben $s^i$ az elektromos négyes áramsűrűség), érdekessége, hogy $s^i$ nem csak a térfogati elektromos töltés konvektív áramsűrűségét ( $\varrho V^i = \varrho_0 u^i$ ) tartalmazza, hanem a vezetett, azaz konduktív elektromos áramsűrűséget is (az időszerű előbbire "merőleges" térszerű komponensként) képes leírni. Ez röviden ismertetve van Novobátzky könyvében a 28. Ohm törvénye című részben (78-79. oldal).

$s^i = k^i + j^i$ , ahol előbbi a konvektív négyes áramsűrűség, utóbbi a konduktív. Mindkettő négyesvektor, és $s^i$ két kanonikus (Lorentz-transzformációval egymásba nem vihető) összetevőjét adják. A speciális relativitáselméletben a $\frac{\partial}{\partial x^i}(k^i + j^i) = 0$ kontinuitási egyenlet kovariáns, baloldala egyszerűen vektor divergenciája, ami skalárt jelent (bár a nullának ez mindegy). Ez viszonylag egyszerű, de meglepő, hogy a két kanonikus összetevőtől eredő matematikai lehetőség, milyen jól illeszkedik a vezetőképes anyagokkal is foglalkozó elektrodinamika elméleti leírásához.

Az entalpia $\frac{\partial}{\partial x^i} \left[(w + p)V^i\right] = 0$ kontinuitási egyenletének baloldala azonban már a speciális relativitáselméletben sem skalár, mert $(w + p)V^i$ nem négyesvektor, de az egyenlet mégis kovariáns, mert másik inerciarendszerre áttérve nem változik az alakja. A $V^i$ (jóval fentebb $v^i$ ) mellett szereplő $w$ (jóval fentebb $\epsilon$ ) és $p$ mennyiségek (tenzorkomponens és/vagy skalár, vagy másként transzformálódó) matematikai jellege a kontinuitási egyenlettel együtt már kicsit bonyolultabb matematikai konstrukciót hoznak, mint az elektromos töltések esetéhez $s^i$ . A már nem pontszerű elemekből álló, ezért dilatációra is képes anyag leírásához viszont éppen ez megfelel.

Tetszőleges görbevonalú koordinátázás esetén, tehát az általános relativitáselmélethez (görbült téridő) is illeszkedő matematikai konstrukcióban a megmaradást a $\frac{\partial}{\partial x^i}\left(\sqrt{-g}\; ...\,\right) = 0$ sima parciális derivált forma nulla volta hozza, nem a kovariáns divergencia, vagy egyéb. Ezt a Gauss-tétel integrálátalakítása szabja ki, ami független a metrikától. (Tehát egyben attól is, hogy a téridő görbült-e, vagy sem.) A $\frac{\partial}{\partial x^i}s^i = 0$ kovariáns $\nabla_i\, s^i = 0$ átírásánál újra adódik az előbb említett parciális differenciál alak (24.6), és ráadásul éppen $\sqrt{-g}$ -vel (vagy $\sqrt{g}$ -vel), ami a térfogati integráláshoz kell. (Vagyis hát majd végül $\sqrt{\gamma}$ kell...) Ezért, ha áttérünk az általános relativitáselméletre, az elektrodinamika és az elektromágneses kölcsönhatás láthatóan gyökeresen nem függ össze a gravitációval. (Viszont, ha arra gondolunk, hogy az elektromágneses mezőnek is van az energiája folytán tömegegyenértéke, azaz (integrális) tömege (ahogy a töltéseknek is), mégis végül összefüggésbe kerül a gravitációval. Ezek azonban már elég nehézkes kérdések...)

Ellenben a $\frac{\partial}{\partial x^i} \left[(\epsilon + p)v^i\right] = 0$ kontinuitási egyenletnek nincs megmaradást jelentő átírása az általános relativitáselméletbe, ezért a mechanika dinamikájába bekapcsolódik valami új, vagyis a gravitáció.

Már csak azt kell kideríteni, hogy a gravitációval együtt lehetséges-e valamilyen alkalmas kontinuitási egyenletet találni, ami az anyagra és gravitációs térre együtt jelent valamiféle "energiamegmaradást".

Visszatérve kicsit az elejére, ahol Marx György cikkét elemeztem, mégis használva volt a $\frac{\partial T^{ik}}{\partial x^k} = 0$ összefüggés, mint mozgásegyenlet. A b.) pontban, ahol helyes értelmezést adok a Marx-DGy-féle "megváltozik a nyugalmi tömeg" félreértésnek (hogy az nem más, mint az anyagi rendszer egybegyűlt kontinuum állapotának az elképzelt teljesen szétszórt állapotához képesti "teljes energia", azaz entalpia különbsége tömegértékben, és szétosztva felszámítva az anyagelemeken, akár nyugalmi tömeg formában tekintve, ami nyilván valójában nem tartozik egy nyomást "magán belül" nem ismerő PONTszerű képzelt anyagelem, mint részecske saját nyugalmi tömegéhez...), a kiszemelt próbatest szerű elemi anyagdarab a vizsgálat alatt éppen meg van fosztva dilatációs tulajdonságától, vagyis le van merevítve, és így nem piszkálja az anyagra jellemző anyagi állapotegyenlet sem. Ez matematikailag szükséges a próbatest szerű elkülönítéshez. Ez viszont azt jelenti, hogy a próbatestnek kiszemelt anyagdarab infinitezimális helyén (és csak ott!!) $\frac{\partial T^{ik}}{\partial x^k} = 0$ . Ez a b.) pontban tárgyalt kalkuláció csak pozitív és izotróp nyomás esetén vihető véghez, mert negatív nyomáson (vagy nem izotróp esetben) éppen a kihasznált $\frac{\partial T^{ik}}{\partial x^k} = 0$ kalkulációs lehetőség romlik el.

Hát így már minden tiszta.

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.15. 01:56

Csak egy apróság...

szabiku írta: $\oint{\left[(w + p)V^i\right] dS_i} = 0$ .

Ennél már nincs szerepe a szögletes zárójelnek, csak véletlen ott maradt.

$\oint{(w + p)V^i\, dS_i} = 0$ .

--------------------------------------------

Szilágyi András írta:Hát így már minden tiszta.

Próbáltam mennél érthetőbben, és lényegre törően fogalmazni. A témavezetés szerkezete szerintem elég jó lett, ami kicsit véletlen is, de azért nagyrészt már előregondolva tudtam, hogy mit miután érdemes tárgyalni.
Ennek ellenére nagyon nehéz téma, nem kis felkészültséget igényel az értése, de hátha valakinek segít.

Sajnos az elején a kép, ami Marx György vitatott cikkrészét tartalmazta, már hiányzik, mert már törlődött a kép a linkről.
De itt az elején megtalálható

http://kozmoforum.hu/viewtopic.php?f=28&t=269 (Remélem ott is marad..)

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.15. 03:04

szabiku írta:Integráljuk a kontinuitási egyenletet egy négydimenziós $\Omega$ tartományra. Ez az egyenletből következően nyilván nulla:

$\int{\frac{\partial}{\partial x^i} \left[(w + p)V^i\right]\, d\Omega} = 0$ .

Képzeljük el úgy ezt a négydimenziós tartományt, hogy van teteje, oldala, és alja. Az oldala legyen palást szerű, és többnyire időszerű, még a teteje és alja egymástól időben távolabbi, és többnyire térszerű. Az anyag részeinek világvonalai ebben a tartományban legyenek olyanok, hogy a palástot egyik sem metszi, tehát az alja felől a teteje felé tartanak. (Nem jön be, és nem megy ki semmi.)

Oldalt nem jön be, és nem megy ki semmi.
Ha az egész világot vesszük, akkor ez az oldal a háromdimenziós térbeli végtelenben van, ahol kikötjük, hogy ott már nincs semmilyen anyag. (Mivel itt még nem gravitációs Univerzumról van szó, ezért nem merül fel az, hogy az véges, mint egyes univerzum modelleknél...)

szabiku írta:Az előbbi integrál Gauss tétele alapján egyszerűen átírható a négydimenziós tartományt körülzáró hiperfelületre vett integrállá ( $d\Omega\frac{\partial}{\partial x^i} \,\rightarrow\, dS_i$ ):

$\oint{(w + p)V^i\, dS_i} = 0$ .

Az előbbiek értelméből következően ebben az integrálban a palásthoz tartozó rész nulla, így mivel a jobboldal nulla, a tartomány tetejéhez és aljához tartozó integrálrész egyenlő. Ez azt jelenti, hogy bárhogyan mozog, vagy dinamikailag mozgolódik az anyagi kontinuum, az előbbi két (tartomány teteje, alja), és hasonló integrálja nem változik, tehát megmarad.

Az egész világot tekintve, azt tehát (bármikor) bármilyen a teljes háromdimenziós téren végigfutó hiperfelülettel kiintegrálva ugyan azt az értéket kapjuk:

$\int{(w + p)V^i\, dS_i} = const. = c \cdot entalpia$ .

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.16. 19:41

Egy apró javítás...

viewtopic.php?f=8&t=900&start=7

szabiku írta:...
Az előbbiek alapján tehát:

$g^1 = \varkappa^2\frac{v}{c^2}(\epsilon' + p')$ , valamint $\epsilon = \varkappa^2\left(\epsilon' + \frac{v^2}{c^2}p'\right)$ .

~~A fentebbi b.) ponthoz teljesen hasonlóan itt is a következő meggondolásokat kell tenni:~~
(Az alkalmazott szignatúra (+, +, +, -), a vizsgálat helyén választott koordinátázás Galilei-féle, így $\sqrt{g} = 1$ .)
Szemeljünk ki egy infinitezimális ~~és rögzített $\delta V_0$ térfogatú próbatest szerű~~ anyagelemet, ~~tehát így ezen belül $\frac{d}{dt}\delta V_0 = 0$ , és ezzel együtt $\partial_k u^k = 0$ , azaz $v$ konstans.~~

Szorozzuk meg a kapott egyenletek baloldalát $\delta V$ -vel, jobboldalát az ekvivalens $\frac{\delta V_0}{\varkappa}$ kifejezéssel:

$g^1\delta V = \varkappa^2\frac{v}{c^2}(\epsilon' + p')\, \frac{\delta V_0}{\varkappa}$ , valamint $\epsilon\, \delta V = \varkappa^2\left(\epsilon' + \frac{v^2}{c^2}p'\right) \frac{\delta V_0}{\varkappa}$ . Kis rendezés után:

$g^1\delta V = \varkappa\frac{v}{c^2}(\epsilon' \delta V_0 + p' \delta V_0)$ , valamint $\epsilon\, \delta V = \varkappa\left(\epsilon' \delta V_0 + \frac{v^2}{c^2}p'\delta V_0 \right)$ .

Mivel $g^1\delta V = \delta G^1$ az impulzus, valamint $\epsilon\, \delta V = \delta U$ az energia, és hasonlóan $\epsilon' \delta V_0 = \delta U'$ a nyugalmi energia, melyek a $\delta$ jelölés értelmében az infinitezimális anyagdarabra vonatkoznak, így:

$\delta G^1 = \varkappa\frac{v}{c^2}(\delta U' + p' \delta V_0)$ , valamint $\delta U = \varkappa\left(\delta U' + \frac{v^2}{c^2}p' \delta V_0 \right)$ .

Adjunk az utolsó egyenlet baloldalához $pV$ -t, jobboldalához az egyenlő $\frac{p' \delta V_0}{\varkappa}$ tagot, és vegyük tekintetbe, hogy $\varkappa\frac{v^2}{c^2} + \frac{1}{\varkappa} = \varkappa$ .
...

A felkiáltójelnél $p\delta V$ a helyes.

A kihúzott rész nem kell.
Tehát itt nem kell rögzíteni a kiszemelt elemi anyagdarab térfogatát, mint az említett b.) pontban.
Azért írtam először úgy (csak utána ott maradt...), mert azon gondolkoztam, hogy Novobátzky a könyvében a 115. oldalon, ahol lényegében ugyan ezt a számolást csinálja, nem használja az elemi anyagdarabra vonatkoztató $\delta$ jelölést, hanem itt (Isten tudja miért...) a sima $d$ differenciálképző operátort használja a $W$ -vel jelölt térfogat előtt, majd integrál:

Novobátzky könyv (115. oldal) írta:"(223) $g_1 = \frac{V}{c^2}\varkappa^2(u' + p'),\;\;\;\; u = \varkappa^2\left(u' + \frac{V^2}{c^2}p'\right).$ (224)

(223) és (224) egyenletek bal oldalát megszorozzuk $dW$ -vel, jobb oldalát az ekvivalens $\frac{dW'}{\varkappa}$ -val, és integrálunk. Az eredmény:

(225) $G_1 = \frac{V}{c^2}\varkappa(U' + p'W'),\;\;\;\; G_2 = 0,\;\;\;\; G_3 = 0,\;\;\;\; U = \varkappa\left(U' + \frac{V^2}{c^2}p'W'\right).$ "

Ezzel az a baj, hogy az integrálással az infinitezimálisan kicsi méretekről már véges méretekre tér át, és ez alól a művelet alól nem lehet kihozni a $V$ sebességet (és $\varkappa$ -t), mert az minden helyen általában más. Ő pedig láthatóan kihozza, és ez így rossz.
Meg kell maradni infinitezimális elemi méretnél, és a koordináták helyett az anyaghoz kell rögzíteni az elemi tértartományt. Erre való a matematikailag nagyon hasznos $\delta$ jelölés (amivel egyébként a variációt is jelölik, de itt most mást jelent).
Ezen fejlesztettem, csak mielőtt még teljesen kigondoltam volna, az eredeti Novobátzky elgondolás miatt helytelenül lerögzítettem a sebességet konstansra, ahogy az áthúzás alatt volt írva. (Ráadásul a térfogatot is, amit szintén nem kell itt, nem úgy, mint az említett b.) pontnál...)

Érezhető, hogy Novobátzky ezt a részt nem gondolta jól át.
Ez az előbbi mellett még abból is látszik, hogy (225) felírásának szerkezete (egy sorban, vesszőkkel elválasztva) kísértetiesen hasonló, szinte majdnem azonos a 61. oldalon szereplő (104) felírásával:

Novobátzky könyv (61. oldal) írta:"... a következő négy mennyiség:

(104) $G_1 = G_1,\;\;\;\; G_2 = G_2,\;\;\;\; G_3 = G_3,\;\;\;\; G_4 = \frac{i}{c}U$

négyes vektor komponensei. A $G_i$ vektort négyes impulzusnak nevezzük."

(103)-ban $-U$ -ra a már fent megtárgyalt (kitalált konstans $\xi$ vektoros) hibából $\int{T_{44}\, dW}$ -re jut, ami (a Landau könyvvel egybevágóan) hibás.

(225)-ben $\frac{i}{c}U$ szintén nem lenne jó $G_4$ -nek, mert az nem egyeztethető össze azzal, amire (227)-ben jut:

Novobátzky könyv (115. oldal) írta:"A termodinamikában fontos szerepet játszik az $U + pW$ entalpia is. Adjunk tehát (225) utolsó egyenletének bal oldalához $pW$ -t, jobb oldalához az egyenlő $\frac{p'W'}{\varkappa}$ tagot, és vegyük tekintetbe, hogy $\varkappa\frac{v^2}{c^2} + \frac{1}{\varkappa} = \varkappa$ . Akkor

(226) $U + pW = \varkappa(U' + p'W')$ .

Ezt az egyenletet felhasználhatjuk arra, hogy a (225)-ben szereplő $G_1$ impulzust más alakba öntsük:

(227) $G_1 = \frac{V}{c^2}(U + pW)$ .

Meglepő ebben az eredményben, hogy $G_1$ impulzus nem tisztán a rendszer $\frac{U}{c^2}$ tömegértékének és $V$ sebességének szorzata, hanem hozzájárul a $\frac{pW}{c^2}V$ tag is. Az impulzus nem az energia, hanem az entalpia tömegértékének és a sebességnek szorzata."

(227) egyenesen rávilágít arra, hogy egy rendszer "teljes energiájához" (vagy teljes tömegéhez, vagy energia-impulzus vektorához) nem elég csupán az energiaimpulzus-tenzor $T_{44}$ (vagy $T^{00}$ ) komponensét kiintegrálni.

Na, végül is ezt a problémakört sikerült jól átjárni és megérteni, miután észrevettem az említett könyvekben, jegyzetben az ellentmondást. Nagyon zavaró, hogy a hibás energia-impulzus vektor mindegyikben ugyan az. (Érdekes...)
Novobátzky könyve majdnem megoldja a problémát a 115. oldalon.

Sanyilaci · Hozzászólás Szerző: **Sanyilaci** » 2017.01.17. 20:04

Nekem halványlila fingom sincs arról szabiku, hogy mit zagyválsz össze, és nem is érdekel.
Épp elég volt 2 éven át javítani az elemi, triviális hibáidat, és közben elviselni a beteg torzult egódat.

De azt azért elmondom, hogy feltaláltad a spanyolviaszt.

Ugyanis nálad a tömeg MÉG MINDIG az energia másik neve.
Többtucatszor elmagyaráztuk már, hogy a tömeg (ma már) a négyesimpulzus vektor HOSSZA, míg az energia ENNEK A VEKTORNAK csupán az egyik (nulladik) komponense (per c). Egy vektorhossz azonos tud lenni az egyik komponensével, ha a vektornak MINDEN MÁS komponense zérus.

Tehát nálad még mindig: E~m, ahol az arányossági tényező c².

Azt viszont már 70 éve tudjuk, hogy sztatikus skalármezőben mozgó részecskénél az ENERGIA KONSTANS. És ezt többtucatszor le is írtuk a kozmofórumon. Ennek a bizonyítása egyetlen sor.

Tehát véleményem szerint te feltaláltad a spanyolviaszt, és beláttad, hogy a sztatikus skalármezőben mozgó részecske E energiája konstans.
Mivel pedig NÁLAD az energia még mindig a tömeg másik neve (arányossági tényező c²), ezért m=E/c² szerint (ami nálad a tömeg), ha E konstans, akkor m is konstans.

De a fizikusok NEM EZT hívják tömegnek, és ezt CSAK NEKED, többtucatszor a szádba is rágtuk. Mindhiába. A falrahányt borsó hozzád képest alkoholmentes fitness-zöldség.

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.21. 05:16

Sanyilaci írta:Nekem halványlila fingom sincs arról szabiku, hogy mit zagyválsz össze, és nem is érdekel.

Hát ha lila gőzöd sincs róla, mert nem érted (és nem is akarod, pedig talán lenne hozzá eszed), akkor kár rajta dogmáznod ilyeneket: (már úgyis tudja mindenki...)

Sanyilaci írta:Épp elég volt 2 éven át javítani az elemi, triviális hibáidat, és közben elviselni a beteg torzult egódat.

(... és a szajkózással csak azt erősítgeted, hogy ez tényleg csak a még tudatlanok ellenem programozása a bálványos csapatod javára..

)

Sanyilaci írta:De azt azért elmondom, hogy feltaláltad a spanyolviaszt.

Látom, ez a "spanyolviszt" emlegető szövegem azért megfogott.. (tudok ám jókat fogalmazni

)

Sanyilaci írta:Ugyanis nálad a tömeg MÉG MINDIG az energia másik neve.

Igen, mert én helyesen egyetértek a tömeg-energia ekvivalenciával számtalan és neves tudósokkal egyetemben.

Sanyilaci írta:Többtucatszor elmagyaráztuk már, hogy a tömeg (ma már) a négyesimpulzus vektor HOSSZA, míg az energia ENNEK A VEKTORNAK csupán az egyik (nulladik) komponense (per c).

Nem "ma már", hanem ez igy IS vagyon. Mert ez az "egysejtű-szemlélet"

(relativitáselmélet - alsó tagozat..), amikor egyszerűen van egy tömegPONTunk a megfigyelő rendszerében, és akkor azt jellemezzük relativisztikusan egyetlen energia-impulzus vektorral, és semmi több bonyodalom, meg összetettség.

Sanyilaci írta:Egy vektorhossz azonos tud lenni az egyik komponensével, ha a vektornak MINDEN MÁS komponense zérus.

Nem vitás.

Sanyilaci írta:Tehát nálad még mindig: E~m, ahol az arányossági tényező c².

Igen, és ez az m az energia tömegértéke, a relativisztikus tömeg, vagy másként mondva (nyugalmi-) tömegegyenérték, vagy mozgási tömeg (ez utóbbi megfogalmazást én kevésbé szeretem). Ezzel a tömeggel számoljuk az impulzust az mv alakban. Ezt a szemléletet nem szabad elvetni, mert erre szükség van.

Sanyilaci írta:Azt viszont már 70 éve tudjuk, hogy sztatikus skalármezőben mozgó részecskénél az ENERGIA KONSTANS. És ezt többtucatszor le is írtuk a kozmofórumon. Ennek a bizonyítása egyetlen sor.

Milyen skalármezőben?? (<- fals fikció csupán az az egész ott..) A nyomáspotenciál is egy skalármező, de ennél valójában olyan nincs, hogy abban EGY darab részecske mozog... Fent egy b.) nevezetű pontban ezt rendesen tárgyalom (sokaságból) "kiszemelt próbatest"-es vizsgálatban.

Sanyilaci írta:Tehát véleményem szerint te feltaláltad a spanyolviaszt, és beláttad, hogy a sztatikus skalármezőben mozgó részecske E energiája konstans.
Mivel pedig NÁLAD az energia még mindig a tömeg másik neve (arányossági tényező c²), ezért m=E/c² szerint (ami nálad a tömeg), ha E konstans, akkor m is konstans.

Szerintem meg nem lehet értékelhető véleményed arról, amiről:

Sanyilaci írta:Nekem halványlila fingom sincs arról szabiku, hogy mit zagyválsz össze, és nem is érdekel.

Az énáltalam tárgyalt megmaradási és energia-impulzus vektor téma nem EGY (és pontszerű) részecskéről szól, hanem egy egész anyagi kontinuum relativisztikus mechanikájáról, relativisztikus dinamikájáról.
A nyomáspotenciál skalármezőjét pedig nem is kell nagyon statikusnak körülmagyarázni, mert azt valójában viszi magával az anyagi kontinuum elemi anyagdarabsokasága.

Sanyilaci írta:De a fizikusok NEM EZT hívják tömegnek, és ezt CSAK NEKED, többtucatszor a szádba is rágtuk. Mindhiába. A falrahányt borsó hozzád képest alkoholmentes fitness-zöldség.

A fizikusok tudják értelmezni az energiát tömegegyenértékben, csak DGy és hívei nem.
Lapozd fel a Taylor-Wheeler könyvet, a Feynmann könyvet, a Novobátzky könyvet, a Landau künyvet, stb...

Sanyilaci · Hozzászólás Szerző: **Sanyilaci** » 2017.01.21. 16:15

**MODERÁLVA** Fórumszabályzat 16. pont.

Sanyilaci írta: Ugyanis nálad a tömeg MÉG MINDIG az energia másik neve.
Többtucatszor elmagyaráztuk már, hogy a tömeg (ma már) a négyesimpulzus vektor HOSSZA, míg az energia ENNEK A VEKTORNAK csupán az egyik (nulladik) komponense (per c). Egy vektorhossz azonos tud lenni az egyik komponensével, ha a vektornak MINDEN MÁS komponense zérus.

Ez csak konvenció és ízlés kérdése, nagy hagyománya van a relativisztikus tömeg és a nyugalmi tömeg megkülönböztetésének, még akkor is, ha újabban már nem ez a divat. Ezen nem érdemes fennakadni, és főleg ne hazugozzuk a másikat. Ez egy barátságos fórum.

Rigel · Hozzászólás Szerző: **Rigel** » 2017.01.22. 09:51

Szilágyi András írta: Ez csak konvenció és ízlés kérdése, nagy hagyománya van a relativisztikus tömeg és a nyugalmi tömeg megkülönböztetésének,

Főleg úgy, hogy más a "relativisztikus tömeg" menetirányban és menetirányra merőlegesen...

Röviden: a kifejezés már akkor hibás volt, amikor elterjedt a köztudatban.

Sanyilaci · Hozzászólás Szerző: **Sanyilaci** » 2017.01.22. 10:06

szabiku írta:A fizikusok tudják értelmezni az energiát tömegegyenértékben, csak DGy és hívei nem.

Tehát az, hogy Dgy és "hívei" (értsd: tanítványok) "nem tudják" értelmezni ezt, az ezen a fórumon a moderátor szerint belefér a fórum "barátságos" szellemiségébe. Főleg, ha ezt egy tanulatlan troll mondja. Na majd meglátod, amikor Marx Györgyöt és egyéb tudósokat is elkezdi ócsárolni ez a szerencsétlen.

De az, hogy belinkeltem egy idézetet a Taylor-Wheeler könyvből, ami egzaktul bizonyítja, hogy szabiku egyszerűen csak hazudik azzal kapcsolatban, hogy mit írnak a tankönyvek, az nem fér bele a fórum szellemiségébe.

Akkor ti már választottatok egy értékrendet. Rendben.

Rigel írta:
Szilágyi András írta: Ez csak konvenció és ízlés kérdése, nagy hagyománya van a relativisztikus tömeg és a nyugalmi tömeg megkülönböztetésének,
Főleg úgy, hogy más a "relativisztikus tömeg" menetirányban és menetirányra merőlegesen...

Röviden: a kifejezés már akkor hibás volt, amikor elterjedt a köztudatban.

Nem más, a relativisztikus tömeg definíció szerint `gamma m`.

Sanyilaci írta: De az, hogy belinkeltem egy idézetet a Taylor-Wheeler könyvből, ami egzaktul bizonyítja, hogy szabiku egyszerűen csak hazudik azzal kapcsolatban, hogy mit írnak a tankönyvek, az nem fér bele a fórum szellemiségébe.

Ha heves személyeskedés közepette linkeled be, az valóban nem fér bele.
Egyébként számos tankönyv használja a relativisztikus tömeg fogalmát, így pl. az említett Feynman is.

Rigel · Hozzászólás Szerző: **Rigel** » 2017.01.22. 14:35

Szilágyi András írta:Nem más, a relativisztikus tömeg definíció szerint `gamma m`.

De az csak a menetiránnyal párhuzamos gyorsítóerő esetén egyenlő a tehetetlen tömeggel...

Rigel írta: De az csak a menetiránnyal párhuzamos gyorsítóerő esetén egyenlő a tehetetlen tömeggel...

Éppenhogy nem, akkor γ³m lenne.
De amúgy mivel a relativitáselméletben az erő és a gyorsulás nem egyirányú, a tehetetlen tömeget nem is tudod a kettő hányadosaként definiálni.
Egy mátrixegyenletet kell felírni, amiben viszont γm fog szerepelni.

Rigel · Hozzászólás Szerző: **Rigel** » 2017.01.22. 18:19

Szilágyi András írta: Éppenhogy nem, akkor γ3m lenne.

Jogos.
Tényleg fordítva emlékeztem a dologra.

Sanyilaci · Hozzászólás Szerző: **Sanyilaci** » 2017.01.22. 22:52

Szilágyi András írta:Egyébként számos tankönyv használja a relativisztikus tömeg fogalmát, így pl. az említett Feynman is.

És számos tankönyv már áttért a skalár-tömeg fogalmára. A részecskefizikában, a kölcsönhatások leírásánál, a tömegdeffektusnál, mindenhol a skalár-tömegfogalom van már használatban. Az újabb tankönyvek pedig kivétel nélkül ehhez igazodnak, de még a régieknek az újabb kiadásai is.

Ennek pedig megvan a maga oka, mert ez sokkal jobban illeszkedik a Minkowski-téridő geometriájához, mint egy megerőszakolt newtoni fogalom.

Először is, az amit relativisztikus tömegnek hívunk, annak már van neve, az az energia (egy konstans c² szorzó erejéig). Minek másik név egy fizikai mennyiségre, ha már van rá nevünk? Különösen, milyen fogalmi zavarba keveredünk akkor, ha egy részecske gyorsul (nő a sebessége), de energiája (tehát relativisztikus tömege) állandó marad? Gyorsul és mégis állandó marad a relativisztikus tömeg??? Pedig van ilyen.

Másodszor: Nincs viszont még nevünk a négyesimpulzus vektor hosszára, pedig a skalármennyiségek fontos szerepet játszanak minden geometriában, így a Minkowskiban is, és az erre épülő fizikai modellben is. Ez a vektor pedig különösen fontos és érdekes jószág. Úgy néz ki, mint a newtoni sebesség, csak mivel 1 dimenzióval feljebb vagyunk, ezért négyesvektorként létezik. P^k=mu^k, ahol u^k a négyessebesség. m pedig: ez bizony az invariáns skalár-tömeg, nem pedig a relativisztikus!

De miért ilyen fontos ez a négyesimpulzus vektor?
Mi volt Newtonnál az erő? Az impulzus idő (abszolút idő) szerinti deriváltja.
Mi lesz a specrelben az erő? Egy négyesvektor, mely a négyesimpulzussal egyetemben Lorentzszel transzformálódik, mint minden vektor.
Sőt, még a definíciót is megtartottuk, mert a négyeserő a négyesimpulzus sajátidő szerinti deriváltja lesz a specrelben, definíció szerint. Ebben a négyesimpulzusban pedig a skalár-tömeg szerepel, nem pedig a relativisztikus.

A specrelben a négyesimpulzus veszi át a korábbi newtoni hármasimpulzus szerepét. Mert ez a négykomponensű vektor lesz vektor, mely megfelelően transzformálódik a téridő szimmetriacsoportjával.
Ennek a térszerű komponenseit továbbra is hármasimpulzusnak hívjuk, és ezt a hármasimpulzust lehet ugyan "megpatkolva" newtoni alakra hozni egy gammával, és ezt elnevezni relativisztikus tömegnek, de minek? Hiszen maga a newtoni hármasimpulzus fogalma lett meghaladott a specrel megszületésével, átadta a helyét a négyesimpulzusnak! Amiben viszont a négyessebesség mellett a skalár tömeg szerepel.

Harmadszor. Honnan jön az a gamma? Az a Lorentz-transzformációból jön, ami egy hiperbolikus forgatás, ez a mátrixa:
chX shX
shX chX
ahol X a rapiditás, ch és sh a hiperbolikus szögfüggvények. Ez pont olyan, mint az euklideszi forgatás, csak abban cos(alfa), sin(alfa) szerepel.
Mikor láttunk olyat az euklideszi geometriában, hogy a cos(alfa)-t hozzácsaptuk egy mennyiséghez, és azt mondtuk, hogy ez az "elforgatott mennyiség"? Persze, vektorkomponenseknél ez természetes, de a tömeg soha nem volt vektorkomponens, sem hármas sem négyesvektorkomponens, se Galileinél se Minkowskinál.

Negyedszer: További gammák jöhetnek még máshonnan is. Pl. amikor sajátidő helyett rendszeridő szerint deriválunk (pl. hármaserőről beszélünk a specrelben), akkor dt/dtau miatt bejön egy gamma. De ezt az "idő múlásának" különbsége okozza az egyes rendszerekben, és eszünkbe sem jut a tömeghez hozzácsapni. Pedig pontosan ugyanígy csapódott az első gamma is a tömeghez, és lett relativisztikus tömeg.

Ötödször: Galilei óta fontos a Galilei-féle relativitás elve (és úgy általában a szimmetriák), azaz az inerciarendszerek egyenértékűségének az elve. A törvények matematikai alakja az inerciarendszer-váltásra kovariánsak, mert a törvények nem függenek a leíró nézőponttól.

De amikor másik inerciarendszert választunk, akkor bizonyos (vektorkomponens) mennyiségek transzformálódnak. A négyesimpulzus vektor végpontja (mint minden vektoré) egy hiperbola mentén mozdul el. (Mert a Lorentz-trafó egy hiperbolikus forgatás). Ezt a hiperbolát pedig úgy hívják, hogy tömeghéj (mass shell). Kifejezve azt, hogy ez ugyanahhoz a tömeghez tartozó hiperbolaív. Amikor leíró rendszert váltva a négyesimpulzusunk végpontja elmozdul ezen a hiperbolán, akkor nem történik a rendszerrel semmi, csak mi váltottunk nézőpontot. A nézőpontunk váltása miatt transzormálódott a négyesimpulzus, mozdult el a végpontja a hiperbola mentén, nem azért, mert történt volna valami a rendszerrel. Minden fizikai tulajdonsága változatlan maradt, (ez már Galilei óta így van - nem függ a nézőponttól). Tehát az ezt kifejező skalármennyiség sem, amit tömegnek hívunk. A hiperbolaívet pedig pont ezért hívják tömeghéjnak.
https://en.wikipedia.org/wiki/On_shell_and_off_shell

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.22. 22:57

Laci, azért fogalmaztam úgy, hogy "hívei", mert nagyrészt arra céloztam, hogy akik a tömeggel kapcsolatban DGy-vel egyező állásponton vannak. Ezek közül nem biztos, hogy mindenki a tanítványa, és a tanítványai közül sem biztos, hogy mindenki vele azonos állásponton van a tömeggel kapcsolatban. Feltételezem.
Egyébként a Taylor-Wheeler Téridő-Fizika könyvben te hibásnak tartod, hogy az energia kilogrammokban van számolva?? Mert ha jól emlékszem úgy van. (most nincs a kezemben..)

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.22. 23:08

Sanyilaci írta: Először is, az amit relativisztikus tömegnek hívunk, annak már van neve, az az energia (egy konstans c2 szorzó erejéig). Minek másik név egy fizikai mennyiségre, ha már van rá nevünk?

De a c-nek mértékegysége is van ám! (általában..) Ezért kell (vagy jó) név szerint megkülönböztetni az energiát a tömegtől, annak ellenére, hogy fizikailag és lényegében matematikailag is (leszámítva a mértékegység eltérést) ekvivalens.

Sanyilaci · Hozzászólás Szerző: **Sanyilaci** » 2017.01.22. 23:15

Hatodszor: a Lagrange formalizmusból is ez jön ki. Mind szabad részecskére, mind skalármezőben mozgó részecskére, mind négyesvektormezőben mozgó részecskére. És ugyanez jön ki tömegpont helyett folytonos eloszlású anyagra is. Ha neked nem ez jön ki szabiku, akkor elrontottad.

szabiku írta:mert nagyrészt arra céloztam, hogy akik a tömeggel kapcsolatban DGy-vel egyező állásponton vannak. Ezek közül nem biztos, hogy mindenki a tanítványa, és a tanítványai közül sem biztos, hogy mindenki vele azonos állásponton van a tömeggel kapcsolatban. Feltételezem.

Nincs ilyen, már évtizedek óta elhaladt a világ melletted, Don Quijote. Bármit olvasol az elmúlt 2-3 évtizedből, már csakis az E²/c²-p²=m²c²-tel fogsz találkozni.

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.22. 23:16

Nemsokára kitérek arra, hogy bizonyos és lényeges szempontból, miért mégsem olyan különleges az energia-impulzus vektor skalár hossza. Laci és DGy ugyanis leginkább erre alapozzák a tömeg fogalmat.

Sanyilaci · Hozzászólás Szerző: **Sanyilaci** » 2017.01.22. 23:22

szabiku írta:Laci és DGy ugyanis leginkább erre alapozzák a tömeg fogalmat.

Nyilván, mert ez a definíciója. És így használja a világ.
Bár tudom, hogy te a definíciók szerepét nem érted alapvetően. Amikor tőled megkérdezik az általad kitalált "aktív bázisvektor sűrűség" csudafogalmad definícióját, akkor csak nézel mint borjú az új kapura, hogy mire való már ez a "definíció-fetisizmus". Igen, így nevezted, amikor valaki az általad használt csudafogalom mibenléte felől érdeklődött. "Definíció-fetisizmusnak".

szabiku · Hozzászólás Szerző: **szabiku** » 2017.01.23. 08:28

Az energia-impulzus vektor nem lehet térszerű vektor, hanem csak időszerű, vagy szélső esetben fényszerű.
Valamint pozitív, értem ez alatt azt, hogy a végpontja a felső félkúpban van, amely a pozitív irányba szélesedik. (Fényszerű esetben az ehhez a kúphoz tartozó csúcspontban van...)
Lorentz-transzformációval ebből nem tudjuk kivezetni.
Ez azt jelenti, hogy az invariáns skalár hossza külön-külön egyféle kapcsolatban áll az időszerű és a térszerű komponenssel.

Tekintsünk el most a gravitációtól, tehát a világunk legyen ettől mentes, így az nélkül beszélhetünk az alapvető megmaradásokról.

Az energia-impulzus vektor ebben a világban egy megmaradó mennyiség.
Ez nem csak azt jelenti, hogy a hossza megmaradó mennyiség, hanem nyilván a komponensei külön-külön is megmaradó mennyiségek.

- Hogy miért a komponensei is?
Hát mert ebben a tekintetben nem ugrálhatunk át közben egyik inerciarendszerből a másikba.

- Hogy mi közben?
Hát a folyamat vizsgálata közben, ami a megmaradásnak megfelelően játszódhat csak le.

- Na de milyen folyamat?
Hát a világban zajló folyamatok: mozgások és átalakulások. A belső dinamikai folyamatokról van szó. A relativisztikus mechanikában ezek a rugalmas mozgolódások, amiről fentebb olyan hosszan írtam. A világban az anyag, ami a belső kölcsönhatások miatt mozgolódik, kontinuum jellegű matematikai leírással fogalmazható kellőképpen meg. Ezért lesz kiemelkedő szerepe az energiaimpulzus-tenzornak.
Mivel így az energia-impulzus vektor integrális mennyiség, az, a részrendszereket tekintve felbontható az összetevők energia-impulzus vektoraira. Érezhető, hogy az összetevők skalár hossza egyáltalán nem lesz lényeges mennyiség.
Ez a fenti tárgyalásomban az úgynevezett "nyugalmi entalpia" tömegértékekben szer c, vagyis az invariáns skalár nyugalmi tömeg szer c. Ezt (/c) hiába integrálnánk a teljes rendszerre, az égvilágon semmi haszna nincs.
Laciéknak hiába tetszik ez a mennyiség /c, mert invariáns skalár, és ezért milyen szép!

, elnevezik külön tömegnek, amit persze így már csak úgy értelmeznek, hogy az egy nyugalmi mennyiség.

Ezért én a fenti tárgyalásomban fel sem írtam, hogy: $nyugalmi\,entalpia = entalpia_0 = \int{\delta entalpia_0}$ .
Vagy hogy: $\frac{nyugalmi\,entalpia}{c^2} = \frac{entalpia_0}{c^2} = \int{\frac{\delta entalpia_0}{c^2}} = \int{\delta m}$ ,
mert $\int{\delta m} \neq M$ , ahol $m$ a részrendszerek invariáns tömege, $M$ a teljes rendszer invariáns tömege.

Laciék gondolkodásmódja mindig a nyugalmi rendszer felől akarja megfogni a dolgot, csakhogy abból annyi van, ahány részrendszer. Pl. egy anyagi kontinuumnál, kontinuum sok. Viszont, ha választunk EGY megfigyelő inerciarendszert, akkor az minden részrendszer tekintetében ugyan az, és ha ebben a rendszerben gondolkodunk, akkor máris célszerűnek látszik a energiát csupán a tömeg ekvivalensének értelmezni, melyeket a c² mennyiség kapcsol össze.

- Hogy miért nem azt írtam, hogy a tömeget értelmezzük az energia ekvivalensének?
Mert, mint az a fenti fejtegetéseimből is kiderül, úgy nem igazán jó fogalmazni, hogy a tömeg "az energia" ekvivalense, hiszen az entalpia is energia jellegű mennyiség, vagy pl. a hőmérséklet, stb... és még végül hajlamosak lennénk ezeket kihagyni a tömeg fogalma alól. De ha az "energia" kifejezés alatt az "energia jellegre" gondolunk, akkor az minden ilyet magában foglal, és akkor majdnem úgy is jó.

- Hogy miért csak majdnem?
Hát mert a tömeg az önmagában egy átfogóbb értelmű fizikai mennyiség, és fogalom.

- Hogy mi a tömeg?
A tömeg a tehetetlenség mértéke.

- Hogy mit jelent itt a tehetetlenség?
Hát azt, hogy minden rendszer a saját tömegével, és egyben tömegközéppontjával szemben tehetetlen, vagyis arra nem tud hatni. (Ez még szerintem talán a gravitációt tartalmazó világban is igaz marad, csak egy kicsit nehéz elképzelni...) Ez a mondat magában foglalja az alapvető megmaradási tételeket is (energia-, impulzus-, impulzusmomentum-, és tömegközéppont megmaradás). Az "energiamegmaradás" inkább csak amolyan megszokott fogalom. Mivel itt tulajdonképpen "teljes energiáról" van szó, amit entalpiának nevezünk inkább (amibe még a hőmérsékletet is képzeljük bele..), azt ennek megfelelően kell érteni. Mondhatnánk entalpiamegmaradást inkább. Sajnos a fogalmaink ilyen-olyan értelemköre, és a nyelvészeti logika eléggé és súlyosan belekever a hirtelen fizikai gondolkodásunkba, ahogy azt fentebb az irományomban is taglaltam.

- Hogy mit jelent az, hogy a tehetetlenség mértéke?
Hát azt, hogy ha bezárom az egész rendszert "szőrőstül-bőrőstül" egy nyugalomban lévő "feketedobozba", vagy másként mondva egy külső rendszerbe beágyazva, mint csupán egy lokális részrendszert képzelem el, akkor ha azt a külső rendszerben mérve ráhatással gyorsítani szeretném, mennyivel állna annak ellen. Ez egy kicsit absztrakt elképzelés, mert ha a fekete dobozomban a belegyömöszölt rendszer tömegközéppontja mozog, akkor is úgy vesszük, hogy a "feketedoboz" tömegközéppontja nyugszik, mivel arra a lokális részrendszer mivoltot szabom ki, és a többi ilyen célszerűségből hozzá képzelt részrendszerrel együtt a közös (beágyazó rendszer) tömegközéppontot egyszerűen nyugvónak képzelem, aminek a "feketedobozom" tömegközéppontja a lokalizáltságnak megfelelő bontásból eredő nyugvó része.
Ennek az egésznek a lényege, azaz a bizonyos függetlenségek megvalósulnak egy egyszerű tömegpontos példában a sebességre merőlegesen gyorsító ráhatáskor, azaz a transzverzális tömeg levezetési példájában. A transzverzális tömeg ezért egyezik a relativisztikus tömeggel.

Mint ahogy említettem, Laciék gondolkozásmódja mindig a legbelső objektum nyugalmi rendszere felől akarja megfogni a dolgot, és így mindent csak kovariáns mennyiségekben szeretnek látni. p^k = m₀u^k, meg Minkowski-féle erő, stb... Csakhogy ezekhez megannyi saját nyugalmi rendszer is tartozik, amit azért nem minden esetben szeretnénk nyilvántartani. Ha valaki kellően elmerül a Novobátzky könyvben észreveszi, hogy sok helyen bizony nem a kovariáns mennyiségekkel dolgozik. Egy összetettebb (sok, vagy kontinuum sok részrendszert tartalmazó) szemléletben (mint az anyagi kontinuumok relativisztikus mechanikája, dinamikája), olykor célszerűen jobb azokat a mennyiségeket tekinteni, amik a megfigyelő rendszere alapadatai alapján (pl. a megfigyelő órája szerinti idő, és nem a legbelső objektum sajátidő szerint) képződnek. Ilyen pl. a vⁱ sebesség, és az ezzel felírt p^k = mv^k egyenlet alapján az m relativisztikus tömeg (Novobátzky könyv 90. oldal), vagy a nem Minkowski-féle erő.

Az energiaimpulzus-tenzor is egy megfigyelő rendszerbeli lokális mennyiség. Nem törődik a lokális helyen éppen áthaladó szubsztancia saját nyugalmi rendszerével, nincs szüksége arra a sebesség adatra, ami azt meghatározza.
Ebből térfogati integrálással a teljes rendszer impulzusához és energiájához (entalpiájához) jutunk. Ezek a megmaradó mennyiségek eleget tesznek a tehetetlenségi fogalomnak anélkül, hogy átugranánk a teljes rendszer energia(vagy entalpia)-impulzus vektora szempontjából nyugalmi rendszerbe, ezért ez tömeg szer sebességet, és tömeg szer c²-et jelent, bármelyik kezdetben választott megfigyelő inerciarendszerből is indulunk ki az elején az energiaimpulzus-tenzortól. Ebből egyértelműen látszik, hogy tehetetlensége nem csak az invariáns nyugalmi tömegnek van (és ez a lényeg!!), ezért hiba a tömeget csak az alapján újra(!!) definiálni, mikor is a tömeg definíciója már létezik: a tehetetlenség mértéke. (Ezután már csak az egyértelműsége a lényeg, ami viszont az imént felvázolt gondolatmenetből adódik...)

Rigel · Hozzászólás Szerző: **Rigel** » 2017.01.23. 09:18

szabiku írta:Az energia-impulzus vektor nem lehet térszerű vektor, hanem csak időszerű, vagy szélső esetben fényszerű.
Valamint pozitív, értem ez alatt azt, hogy a végpontja a felső félkúpban van, amely a pozitív irányba szélesedik. (Fényszerű esetben az ehhez a kúphoz tartozó csúcspontban van...)

Jujujujjj!
Az energia-impulzus vektor NEM a téridőben van, ahol a térbeli és az időbeli irányok, meg a fénykúp létezik.

szabiku írta: - Hogy mi a tömeg?
A tömeg a tehetetlenség mértéke.

A newtoni mechanikában maximum.
De ahogy már Szilágyi András nekem válaszul - helyesen - leírta, a relativitáselmélet keretein belül nem tudod a tömeget, mint a tehetetlenség mértékét definiálni. Kezdve attól, hogy egy testnek más a tehetetlen "tömege" menetirányban és menetirányra merőlegesen!
A relativitáselméletben egyetlen egyértelmű definíció van: a tömeg az energia-impulzus négyesvektor skalár hossza.

Sanyilaci · Hozzászólás Szerző: **Sanyilaci** » 2017.01.23. 11:51

Még egyszer elmondom, mert úgy tűnik, hogy teljességgel képtelen vagy megérteni a definíciók szerepét a matematikában és a fizikában.

Ez egy definíció. A definíciók nem bizonyítandó vagy cáfolandó állítások. Azok a tételek, lemmák és állítások. Azokat bizonyítjuk. A definíciókat nem bizonyítjuk és nem is cáfoljuk, mert a definíciók nem állítanak, hanem definiálnak valamit.

Nem igazán érthető ép ésszel az a hadjáratod, amivel 2 éve cáfolni igyekszel egy definíciót. Szélmalomharc ez, Don Quijote. A definíciókat nem fogod tudni megcáfolni, te hős lovag!

2 éve egy definícióval viaskodsz, amit mindenki más 1 perc alatt megért és így használ. Nálad itt akadt el a lemez, ez van.

Sajnos nem tehetünk arról, hogy a világ nem a te definíciódat használja. A világ összes kutatóintézete, tudományegyeteme nem a te definíciódat használja. A világ összes kutatója nem a te definíciódat használja. A szakcikkekben kivétel nélkül nem a te definícióddal találkozunk.

Elhiszem, hogy te úgy éled meg, hogy milyen gonosz világ már ez, ahol nem te írod elő a világ összes tudományegyetemének a tematikát, de hát így megy ez.. Gonosz összeesküvés ellened vagy sem, de a fizika nem a te definíciódat használja. A tudományegyetemeknek pedig az a feladata, hogy felkészítse a gyerekeket az önálló kutatásra, átadja azt a tudást, ami a kutatás élvonalába irányítja a tanulót. Ez írja a tudományegyetemek tematikáját, nem pedig te. Ebbe bele kell nyugodnod, és el kell fogadnod.

Ezenkívül hagyd abba Dgy szapulását te szerencsétlen, mert Dgy egyetemi tanár 40+ éve, te pedig életedben nem jártál egyetemre. Azt sem tudod, mit jelent egy definíció, nálad itt akadt el a lemez. Dgy azért tanítja így, mert így használja a világ, és ő kutatókat képezett egy életen át. Te meg csak egyik internetes fórumról a másikra jársz, hogy terjeszd a téveszméidet, és két éve kitartóan próbálsz cáfolni egy meglehetősen egyszerű definíciót.

Jó, tehát ennyi fizikai vonatkozása volt a történetnek, én ennyit kívántam elmondani ezzel kapcsolatban.
Minden ezen túlmenő szócséplés már csak a te egódról fog szólni, arra pedig nem fogok reagálni, mert az rajtad kívül senkit nem érdekel.