szabiku írta:Hraskó Péter írta: \cdot nds} + \int_s{(-pn) \cdot V\, ds})
.
Alakítsuk át picit a példa alapján felírt integrális alakot...
 \cdot nds} - \int_s{(pV)\cdot nds})
,
 \cdot nds})
,
V \cdot nds})
.
Ami hamis, hiszen Gauss tétele alapján baloldalt
helyett
a helyes az egyenlőség, vagyis a jobboldal értelmében. A Gauss-tétel csupán egy nyers matematikai tétel...
Ezt érdemes bővebben kifejteni.
Az utolsó előtti mondatból kimaradt (bár talán értelemszerű), hogy kontinuitásnak kell állnia az egyenlet mögött.
De a (25.1)
(és ezzel együtt a (25.4)
) hibás "kontinuitás" kifejezés, mert
nem a
energiasűrűség áramát jelenti,
hanem a entalpiasűrűség áramát (ahogy az már jóval fentebb levezetéssel meg lett állapítva).
Innen visszafelé haladva könnyen belátható, hogy a (helyes) kontinuitási egyenlet egyszerűen az entalpiát teszi megmaradó mennyiséggé.
Kijavítva így néz ki az egyenlet:
\, dv} = -\int_s{(w + p)V \cdot nds})
. Alakítsuk ezt tovább:
A baloldalon
-t bevisszük az integráljel alá (és így ugye parciálissá válik):
\, dv} = -\int_s{(w + p)V \cdot nds})
.
Gauss tételét alkalmazva a jobboldal térfogati integrállá alakítható:
\, dv} = -\int_v{\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left[(w + p)V\right]\, dv})
. A (hármas) sebességvektor komponenseit is jelölve:
\, dv} = -\int_v{\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left[(w + p)V^{\alpha}\right]\, dv})
. A baloldalon bővítünk
-vel:
}\left[(w + p)c\right]\, dv} = -\int_v{\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left[(w + p)V^{\alpha}\right]\, dv})
, majd mindent baloldalra rendezünk:
}\left[(w + p)c\right]\, dv} + \int_v{\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left[(w + p)V^{\alpha}\right]\, dv} = 0)
, és a két integrált egybeírjuk:
}\left[(w + p)c\right] + \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left[(w + p)V^{\alpha}\right] \right) dv} = 0)
.
Az első tagban
, és
komponenst jelenti. Ezzel a hármasdivergencia négyeskifejezéssé alakítható:
V^0\right] + \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left[(w + p)V^{\alpha}\right] \right) dv} = 0)
,
V^i\right] \right) dv} = 0)
.
Mivel a baloldali integrálás tetszőleges térfogat esetén mindig nulla, ezért az integrálás tartományát rázsugorítva egy tetszőleges pontra, végül az integrálás elhagyható, tehát:
V^i\right] = 0)
.
Ez a differenciális alak az alapvető, nem a fentebbi
-differenciálképzővel írt integrális alakja (csak
-vel), mert ez így a metrikától független kijelentés.
az entalpiasűrűség, és
a hozzá tartozó sebesség, a negyedik (vagy nulladik) komponenssel együtt.
(Ezek
V^i)
szorzatát inkább áramsűrűségnek mondjuk, mint fordítva.)
Ez a kifejezés a helyes kontinuitási egyenlet, amely megmaradást jelent.
Ha fentebb baloldalt
helyett csak
szerepelne tovább, akkor egyáltalán nem jutnánk kontinuitási egyenletre, tehát ez konkrétan mutatja, hogy
a helyes (és (25.1), valamint (25.4)
nem helyes).
Ez a kontinuitási egyenlet az entalpia, vagyis az ilyen értelemben "teljes energia" megmaradását jelenti a speciális relativitáselméletben. (A gravitáció "energiája" ebben nincs még benne...)
Nézzük hogyan:
Integráljuk a kontinuitási egyenletet egy négydimenziós
tartományra. Ez az egyenletből következően nyilván nulla:
V^i\right]\, d\Omega} = 0)
.
Képzeljük el úgy ezt a négydimenziós tartományt, hogy van teteje, oldala, és alja. Az oldala legyen palást szerű, és többnyire időszerű, még a teteje és alja egymástól időben távolabbi, és többnyire térszerű. Az anyag részeinek világvonalai ebben a tartományban legyenek olyanok, hogy a palástot egyik sem metszi, tehát az alja felől a teteje felé tartanak. (Nem jön be, és nem megy ki semmi.)
Az előbbi integrál Gauss tétele alapján egyszerűen átírható a négydimenziós tartományt körülzáró hiperfelületre vett integrállá (
):
V^i\right] dS_i} = 0)
.
Az előbbiek értelméből következően ebben az integrálban a palásthoz tartozó rész nulla, így mivel a jobboldal nulla, a tartomány tetejéhez és aljához tartozó integrálrész egyenlő. Ez azt jelenti, hogy bárhogyan mozog, vagy dinamikailag mozgolódik az anyagi kontinuum, az előbbi két (tartomány teteje, alja), és hasonló integrálja
nem változik, tehát megmarad.
Fontos, hogy a teljes négydimenziós
tartomány metrikája görbületlen legyen. Ez nem jelenti azt, hogy nem lehet rajta görbevonalú koordinátázást alkalmazni, viszont úgy a
sebesség (ami ugye még nem négyesvektor) vonatkoztatása számításügyileg nehézkessé válik, és ráadásul valahogy a
-nek (vagy
-nek), majd valahogy
-nak is elő kell jönnie a térfogati integráláshoz. Ha a tartományban görbült lenne a téridő, akkor minden elromlik, mert az előbb említett vonatkozások csak óraszinkronizálásokkal, és értelmezhető véges térszerű távolságokkal oldhatók meg, amiket úgy általában elvesztünk.
(A gravitáció beleszól a vizsgált megmaradás(ok)ba, de persze lehet, hogy a gravitációval együtt is meg lehet alkotni valamilyen megmaradási tételt. Erről talán majd később...)
Galilei-féle koordinátázást alkalmazva az
hipersíkokon maradva a
vektornak csak
komponense van, ami a háromdimenziós térfogatot jelenti. Így
-nek is csak a
komponense kell, ami
. Ekkor az előbb tárgyalt megmaradó integrál így írható:
V^0\right] dS_0} = \int{\left[(w + p)c\right] dv} = c\int{(w + p)\, dv})
.
Mivel
csak egy konstans, az
\, dv})
integrál is megmaradó mennyiség, ami látható, hogy
az entalpiát adja.
Az én jóval fentebbi jelöléseimmel ez
\, dV})
, vagy
\, \delta V})
, ha az anyaghoz kötjük az integrálási tartomány határát. (Még fentebb pedig
szerepel, mert ott a sima
nyugalmi mennyiséget jelent illeszkedve Marx cikkéhez.)
A PONTszerű töltés, és a megmaradását kifejező
kontinuitási egyenlet
(melyben 
az elektromos négyes áramsűrűség), érdekessége, hogy
nem csak a térfogati elektromos töltés konvektív áramsűrűségét (
) tartalmazza, hanem a vezetett, azaz konduktív elektromos áramsűrűséget is (az időszerű előbbire "merőleges" térszerű komponensként) képes leírni. Ez röviden ismertetve van Novobátzky könyvében a 28.
Ohm törvénye című részben (78-79. oldal).
, ahol előbbi a konvektív négyes áramsűrűség, utóbbi a konduktív. Mindkettő négyesvektor, és
két kanonikus (Lorentz-transzformációval egymásba nem vihető) összetevőjét adják. A speciális relativitáselméletben a
 = 0)
kontinuitási egyenlet kovariáns, baloldala egyszerűen vektor divergenciája, ami skalárt jelent (bár a nullának ez mindegy). Ez viszonylag egyszerű, de meglepő, hogy a két kanonikus összetevőtől eredő matematikai lehetőség, milyen jól illeszkedik a vezetőképes anyagokkal is foglalkozó elektrodinamika elméleti leírásához.
Az entalpia
kontinuitási egyenletének baloldala azonban már a speciális relativitáselméletben sem skalár, mert
nem négyesvektor, de az egyenlet mégis kovariáns, mert másik inerciarendszerre áttérve nem változik az alakja. A
(jóval fentebb
) mellett szereplő
(jóval fentebb
) és
mennyiségek (tenzorkomponens és/vagy skalár, vagy másként transzformálódó) matematikai jellege a kontinuitási egyenlettel együtt már kicsit bonyolultabb matematikai konstrukciót hoznak, mint az elektromos töltések esetéhez
. A már nem pontszerű elemekből álló, ezért dilatációra is képes anyag leírásához viszont éppen ez megfelel.
Tetszőleges görbevonalú koordinátázás esetén, tehát az általános relativitáselmélethez (görbült téridő) is illeszkedő matematikai konstrukcióban a megmaradást a
 = 0)
sima parciális derivált forma nulla volta hozza, nem a kovariáns divergencia, vagy egyéb. Ezt a Gauss-tétel integrálátalakítása szabja ki, ami független a metrikától. (Tehát egyben attól is, hogy a téridő görbült-e, vagy sem.) A
kovariáns
átírásánál újra adódik az előbb említett parciális differenciál alak (24.6), és ráadásul éppen
-vel (vagy
-vel), ami a térfogati integráláshoz kell.
(Vagyis hát majd végül kell...) Ezért, ha áttérünk az általános relativitáselméletre, az elektrodinamika és az elektromágneses kölcsönhatás láthatóan gyökeresen nem függ össze a gravitációval.
(Viszont, ha arra gondolunk, hogy az elektromágneses mezőnek is van az energiája folytán tömegegyenértéke, azaz (integrális) tömege (ahogy a töltéseknek is), mégis végül összefüggésbe kerül a gravitációval. Ezek azonban már elég nehézkes kérdések...)
Ellenben a
v^i\right] = 0)
kontinuitási egyenletnek nincs megmaradást jelentő átírása az általános relativitáselméletbe, ezért a mechanika dinamikájába bekapcsolódik valami új, vagyis a gravitáció.
Már csak azt kell kideríteni, hogy a gravitációval együtt lehetséges-e valamilyen alkalmas kontinuitási egyenletet találni, ami az anyagra és gravitációs térre együtt jelent valamiféle "energiamegmaradást".
Visszatérve kicsit az elejére, ahol Marx György cikkét elemeztem, mégis használva volt a
összefüggés, mint mozgásegyenlet. A
b.) pontban, ahol helyes értelmezést adok a
Marx-DGy-féle "
megváltozik a nyugalmi tömeg" félreértésnek
(hogy az nem más, mint az anyagi rendszer egybegyűlt kontinuum állapotának az elképzelt teljesen szétszórt állapotához képesti "teljes energia", azaz entalpia különbsége tömegértékben, és szétosztva felszámítva az anyagelemeken, akár nyugalmi tömeg formában tekintve, ami nyilván valójában nem tartozik egy nyomást "magán belül" nem ismerő PONTszerű képzelt anyagelem, mint részecske saját nyugalmi tömegéhez...), a kiszemelt próbatest szerű elemi anyagdarab a vizsgálat alatt éppen meg van fosztva dilatációs tulajdonságától, vagyis le van merevítve, és így nem piszkálja az anyagra jellemző anyagi állapotegyenlet sem. Ez matematikailag szükséges a próbatest szerű elkülönítéshez. Ez viszont azt jelenti, hogy a próbatestnek kiszemelt anyagdarab infinitezimális helyén (és csak ott!!)
. Ez a
b.) pontban tárgyalt kalkuláció csak pozitív és izotróp nyomás esetén vihető véghez, mert negatív nyomáson (vagy nem izotróp esetben) éppen a kihasznált
kalkulációs lehetőség romlik el.
)
)
(relativitáselmélet - alsó tagozat..), amikor egyszerűen van egy tömegPONTunk a megfigyelő rendszerében, és akkor azt jellemezzük relativisztikusan egyetlen energia-impulzus vektorral, és semmi több bonyodalom, meg összetettség.
- Hogy miért a komponensei is?
