Mint az általában köztudott, az energiaimpulzus-tenzor szimmetrikus tenzor.
Ez azonban nem következik a Landau II könyvben ismertetett
http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/t ... 04s07.html levezetéséből, melynek eredménye (32,3)
http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/t ... x1-50003r3
Lentebb
http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/t ... x1-50008r8 röviden megpróbálja ugyan bebizonyítani szimmetrikusságát, de mint azt már kifejtettem az
Energia-impulzus-tenzor, megmaradások, tömeg című topikban
viewtopic.php?f=8&t=900&start=7 , az nem elfogadható, mert (32,6)
http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/t ... x1-50006r6 hibás, és ezt felhasználja.
Jelöljük az impulzusmomentum-tenzor kifejezését

-val (a Landau II könyvben ez

),
és jelöljük az erőmomentum (nem tenzor) kifejezését (forgatónyomatékot)

-val.
Ahogy a mechanika alaptörvénye szerint
az impulzus idő szerinti deriváltja az erő (mindhárom mennyiség a megfigyelő szerinti
(tehát
a megfigyelő sajátideje)), tehát

, úgy a mechanika másik ezzel egyenrangú alaptörvénye az, hogy
az impulzusmomentum idő szerinti deriváltja az erőmomentum, tehát

.
(Belátható, hogy ez a két alaptörvény nem független egymástól, hanem együtt léteznek. A lentiek alapján ez majd egyszerűen következik)
Ahogyan

négyesvektor, úgy

négyestenzor, és ahogyan

nem négyesvektor, úgy

sem négyestenzor.

,

,

,

mind integrális mennyiségek. Utóbbi kettőre a következő összefüggések állnak fenn:
(
Használva az infinitezimális anyagdarabra vonatkoztató
jelölést.)
\, \delta V)
, amiből véges méretű kiterjedésre
\, \delta V})
.
\, \delta V)
, amiből véges méretű kiterjedésre
\, \delta V})
.

az erősűrűséget,

az impulzussűrűséget,

a térfogatot jelenti. Az összefüggésekben szereplő

mennyiség egyrészt négydimenziós koordinátát jelent, másrészt viszont

háromdimenziós helyvektort kell jelentsen, amely háromdimenziós távolságot, mint erőkart ad. A vonatkoztatási pont az origó, amely természetesen a megfigyelő rendszerében nyugszik.

-ben

pedig jelentse a megfigyelő szerinti időt, és akkor

negyedik komponenseiből könnyen számolható a rendszer tömegközéppontja, illetve annak sebessége
http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/t ... x1-24006r6 Ezek érezhetően csak akkor állnak, ha speciálisan Galilei-féle a koordinátázás. (Továbbá gravitációs hatást nem veszünk figyelembe, tehát az nincs.) A forma és levezetés ezen az úton csak Galilei-féle koordinátázás mellett lehetséges viszonylag egyszerűen. Ezt előre is leszögezhettem volna, de itt a legjobb felhívni rá a figyelmet.
Egy kiterjedt rendszer

és

teljes momentumai mindig a megfigyelő inerciarendszerében lévő (abban nyugvó) origóra vannak vonatkoztatva.
Ezen előkészületek után térjünk rá az energiaimpulzus-tenzor szimmetrikusságának Novobátzky könyve (109. oldal) szerinti bizonyításának menetére.
\, \delta V} = \int{\frac{d}{dt}\left[(x^i g^k - x^k g^i)\, \delta V \right]})
. Amit tovább alakítva:
 - \frac{d}{dt}(x^k g^i \delta V)\right]} = \int{\left[x^i \frac{d}{dt}(g^k \delta V) - x^k \frac{d}{dt}(g^i \delta V) + (v^i g^k - v^k g^i)\, \delta V \right]})
.
Novobátzky a könyve 42.
Az impulzusmomentum tétele című pontjában (109. oldal) a következőképpen viszi tovább a levezetést: Az utolsó
)
tagot jelöljük egyszerűen

-val, később egyszerűen ki fog esni.
 - x^k \frac{d}{dt}(g^i \delta V) + A \delta V \right]})
.
De

önmagában is kiesik, hiszen

alapján
 = v^i v^k \mu - v^k v^i \mu = (v^i v^k - v^i v^k)\mu = 0)
. Viszont egyelőre maradjunk Novobátzky gondolatmeneténél.
A következő lépéséhez szükséges előbb megtárgyalni a kontinuumok mechanikájának elméleti alapjait.
(Novobátzky könyv 39. pont 99. oldal.)
A klasszikus mechanika a folytonosan összefüggő testek mozgását a mennyiségterek bevezetésével tárgyalja. Jelentse

egy mozgó testrészecske (elemi anyagdarab) valamilyen mennyiségét, pl. sebességét, impulzusát, impulzussűrűségét, energiáját, energiasűrűségét, stb. A tér egy

pontjához

időben hozzárendeljük azt a

értéket, amely az éppen áthaladó elemi anyagdarabhoz tartozik. Ilyen értelemben a "lokális"

mennyiség függvénye a helynek és az időnek:
 = \Phi(x^1,\, x^2,\, x^3,\, x^4) = \Phi(x^i) = \Phi(x))
, ahol ugye

.
Valamelyik kiszemelt elemi anyagdarab tényleges "szubsztanciális"

mennyisége formailag azért változik, mert az anyagdarab

idő alatt az

helyről átmegy az

helyre.
Tehát
 - \Phi(x^1,\, x^2,\, x^3,\, t))
.
Ha a

időről áttérünk a negyedik koordinátára (

alapján), akkor az
ennek megfelelő mértékben értett(!!) megváltozás:
 - \Phi(x^i))
, vagy egyszerűsített index nélküli jelölésekkel:
 - \Phi(x))
.
A szubsztanciális idő szerinti differenciálhányados pedig:

.
A

egy kiszemelt infinitezimálisan kicsi anyagdarab (ilyen értelemben anyagi részecske) térfogata a megfigyelő inerciarendszerében, amelyben az általában mozog, és

idő folyamán elemi elmozdulást végez. A kontinuumok kinematikája szerint ennek

térfogata ezalatt

dilatációs változást szenved. Válasszunk egy

időpontot, valamint vegyünk itt egy

vizsgálati időtartamot, és a vizsgálat szempontjából tekintsük

-t változatlannak. Ezalatt az időtartam alatt a dilatáló elemi anyagdarab egyes részeinek

elmozdulásai (a megfigyelő rendszerében) nem azonosak, hanem az

térkoordináták, valamint a vizsgálat miatt éppen rögzített

koordináta függvényei, tehát
 = dx^{\alpha}(x^{\beta} \,;\, x^4))
. A

dilatációs változás nem más, mint a

elmozdulás (hármas)vektormező forrásossága, azaz (hármas)divergenciája. Tehát:

, és ezt megszorozva

-vel kapjuk:

.
Mivel

és

nem függvénye a térkoordinátáknak, ezért az bevihető a parciális deriválás alá. Így:

.
Mivel

a vizsgálat szempontjából rögzített, tehát konstans, így az nem függvénye se

-nek, se

-nek, se

-nak, és ezeket együttvéve se

-nak.
Tehát
}{\partial(ct)} = \frac{1}{dt}\frac{\partial dt}{\partial t} = 0)
, vagy hasonlóan

.
Ezzel a nulla taggal kiegészítve az előbbi hármasdivergenciát, az négyesdivergenciává alakítható:

.
A két lényeges összefüggés, amit kaptunk:

, és a

. Ezeket felhasználva pedig kapjuk:
 = \frac{d\Phi}{dt}\delta V + \Phi\frac{d\delta V}{dt} = \frac{\partial\Phi}{\partial x^i}v^i \delta V + \Phi\frac{\partial v^i}{\partial x^i}\delta V = \left(\frac{\partial\Phi}{\partial x^i}v^i + \Phi\frac{\partial v^i}{\partial x^i}\right) \delta V {= \frac{\partial}{\partial x^i}(\Phi v^i)\, \delta V})
,
 = \frac{\partial}{\partial x^i}(\Phi v^i)\, \delta V)
. (Lentebb még visszatérek ennek a
fontos kifejezésnek a közvetlen értelmezésére.)
Ehhez az összefüggéshez a következő egyszerű módon is eljuthatunk:
Mivel egy csak a koordinátáktól függő mennyiségre

, ezért:
Az utolsó tagban

a megfigyelő inerciarendszerében az adott helyen éppen áthaladó elemi anyagdarab térfogatának (megfigyelő)időbeli fejlődését, azaz növekedését vagy csökkenését jelenti. Ha belegondolunk, ez ekvivalens a következő felírással:

. A megfigyelő szerinti négykomponensű

sebesség négyesdivergenciája, mivel a negyedik komponens konstans, megegyezik a

hármassebesség hármasdivergenciájával. Ez pedig a folytonos anyag térfogatának adott pontbeli forrásosságát jelenti, melyet

-vel szorzva szintén a kiszemelt elemi anyagdarab térfogatának (megfigyelő)időbeli fejlődését, azaz növekedését vagy csökkenését kapjuk.
Ezzel alakítva tovább az összefüggést látható, hogy megkapjuk az előbbi eredményt:
 \delta V {= \frac{\partial}{\partial x^i}(\Phi v^i)\, \delta V})
.
Térjünk vissza az impulzusmomentum idő szerinti deriváltjához, és használjuk fel az előbbi eredményünket.
 - x^k \frac{d}{dt}(g^i \delta V) + A \delta V \right]} = \int{\left[x^i \frac{\partial}{\partial x^l}(g^k v^l) - x^k \frac{\partial}{\partial x^l}(g^i v^l) + A \right] \delta V})
.
Ezen a ponton Novobátzky elhagyja azokat az egyenleteket, amelyekben az

és

közül valamelyik index a 4-es értéket veszi fel, valamint

és

alapján az

index 4-es értékét is kiküszöböli a
 = \frac{\partial(g^i c)}{\partial(ct)} = \frac{\partial g^i}{\partial t})
tagot külön írva. Ezek után a

nem helytálló (azaz hibás) egyenletet használja fel, melyben

a külső erősűrűséget szeretné jelenteni. Azonban már az
Energia-impulzus-tenzor, megmaradások, tömeg című topikban
viewtopic.php?f=8&t=900&start=7 kifejtettem, hogy a magára hagyott rendszernek nem mozgásegyenlete a

egyenlet (egyrészt, mert kizárja a szükséges állapotegyenletet, ami nyilván hiba, másrészt kizárja a (valódi) anyagi kontinuum negatív nyomású (vagy főfeszültségű) állapotát (
pl. széthúzott gumi), ami szintén hiba). Így a
∂Tik/∂xk = külső_erő egyenlet hibás. Ezért ez az út nem vezet értékelhető eredményre, amire lentebb rá fogok világítani. De előbb folytassuk tovább Novobátzky gondolatmenetét.
A továbbiakban

értékeket vegye csak fel. Ekkor a következőképpen néz ki az egyenletünk:
\right\} - x^k \left\{\frac{\partial g^i}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x^l}(g^i v^l)\right\} + A \right] \delta V})
. (Mert

.)
Vegyük tekintetbe, hogy

. Ezzel

, amiből

. Ezt behelyettesítve:
\right\} - x^k \left\{f^i - \frac{\partial T^{il}}{\partial x^l} + \frac{\partial}{\partial x^l}(g^i v^l)\right\} + A \right] \delta V})
,
\, \delta V} + \int{\left[x^i \frac{\partial}{\partial x^l}(g^k v^l - T^{kl}) - x^k \frac{\partial}{\partial x^l}(g^i v^l - T^{il}) + A \right] \delta V})
,
 - x^k \frac{\partial}{\partial x^l}(g^i v^l - T^{il}) + A \right] \delta V})
.
A megmaradt integrálban

és

szorzókat be akarjuk vonni a differenciálási jel alá.
Mivel

, ezért bármely

mennyiségre érvényes a következő:
}{\partial x^l} - \Phi^l \delta^i_l = \frac{\partial(x^i \Phi^l)}{\partial x^l} - \Phi^i)
.
Ezt felhasználva, és a differenciálás alatt álló teljes részt egyszerűen csak

-vel jelölve adódik:
 + (g^i v^k - T^{ik}) + A \right] \delta V})
.
Ahol
)
.
 + A \right] \delta V})
.
Az utolsó előtti zárójeles tag a korábbiak szerint

-val egyezik, így azok kiejtik egymást.
(Vagy a korábbiak szerint önmagában is kiesik, mert

, és

.)
És végül, idézve Novobátzkyt
(alsóindexes szignatúrában, és
, valamint
jelölésátírással):
Novobátzky könyv (110. oldal) írta:"A jobb oldali hármas divergencia térbeli integrálja Gauss tétele szerint a végtelen gömbre vonatkozó felületi integrálba megy át. A véges kiterjedésű test

és

mennyiségei ott zérusok. Marad tehát
(218)
\, \delta W})
.
Az impulzusmomentum tétele teljes általánosságban, tehát elemi térfogatú testekre is csak akkor állhat fenn, ha

. Az energiaimpulzus-tenzor térbeli komponenseinek szimmetrikusoknak kell lenniük. Ebből azonban rögtön következik, hogy a

komponensek is szimmetrikusak. Az impulzusmomentum tételének ugyanis minden inerciarendszerben érvényesnek kell lennie."
A Gauss-tétel a divergencia térfogati integrálját csupán az integrálási tartományt határoló felületre vett integrállá alakítja át, és nem automatikusan a végtelen gömb felületére vett integrállá, tehát az említett mennyiségek általában ott nem zérusok, és ezért nem tűnne el a

-t tartalmazó integrál. (218)-ból se így, se úgy nem következik

, mert még az sem, hogy
\, \delta W} = 0)
. (Valamint

nem a test adata, hanem a kalkulációé, tehát az nem válik zérussá az origótól távolodva.)
A

-t tartalmazó integrál, pontosabban a

éppen úgy önmagában semmis, mint
\, \delta W})
, vagyis pontosabban

. Ugyanis

és

, mert (a 4-es index értéket nem használva)

-ben

-t
helyesen értelmezve az anyagi kontinuumot mozgató erősűrűségként, az nem a

energiaimpulzus-tenzor négyesdivergenciájaként adódik, hanem a

"nem-tiszta" kinetikai tenzor négyesdivergenciájaként. Tehát itt

és

hamis, valamint így szimmetrikus is. (Az alábbiakból ez világosan ki fog derülni...) Egyszerűen felvázolva a hibát Novobátzky (lefelezve) azt csinálta, hogy
(g + t)-be, ami egyébként
f, beírta
g helyére
(f - t)-t, tehát így lett
(f - t + t). Ebből
f-et különvette, majd mellette a
(-t + t) = nullát alakítgatta tovább.
Ez a levezetés sajnos hibás, és egyébként ezen az úton egyáltalán nem lehet belátni

szimmetrikusságát.
Az Energiaimpulzus-tenzor szimmetrikus tulajdonsága NEM az impulzusmomentum-tétel következménye.
Az anyagi kontinuumok mechanikája alapjainak ismertetése után könnyen levezethető a kinetikai tenzor.
Ahogy a dolgozatom elején is említettem, a mechanika alaptörvénye szerint
az impulzus idő szerinti deriváltja az erő (mindhárom mennyiség a megfigyelő szerinti
(tehát
a megfigyelő sajátideje)), tehát

, melyben az impulzus

, ahol

a relativisztikus tömeg. A relativisztikus tömeg egyik kiváló tulajdonsága, hogy additív mennyiség, tehát a megfigyelő inerciarendszerbeli résztömegek egyszerűen összeadódnak:

. A másik kiváló tulajdonsága, hogy ezzel mélyebb betekintés nélkül az elemi anyagdarab belsejében zajló nem részletezett kölcsönhatások elfedhetőek úgy, hogy egyszerűen csak az energiájukkal egyenértékű nyugalminak tekintett tömegként vesszük számításba. Ezzel a PONTmechanikáról áttérhetünk a kontinuum-mechanikára, de csupán így még csak félúton vagyunk, mert ez még nem ad szinte semmilyen képet a rugalmasság és a "tiszta kinetika" kapcsolatáról. Gondolok itt a rugalmassági tenzorra, és a "tiszta" kinetikai tenzorra. A relativisztikus rugalmasság matematikai "feltérképezése" a dilatáció megtárgyalása után még további meggondolásokat is igényel. (
Ezekről majd egy későbbi írásomban lesz szó.)
Egy kiszemelt infinitezimálisan kicsi folytonos anyagdarabra felírva a mechanika alaptörvényét, és azt sűrűségekkel felírva, majd a fentiek szerint átalakítva, tehát a "szubsztanciális" mennyiségekről áttérve a "lokális" mennyiségekre, egy egyszerűsítés után adódik a teljes, vagy másként mondva "nem-tiszta" kinetikai tenzor.
Tehát a

egyenlet sűrűségekkel felírva:
}{dt} = \frac{d}{dt}(g^i \delta V) = \frac{d}{dt}(\mu v^i \delta V))
.
Majd ezt a fent levezetett
 = \frac{\partial}{\partial x^k}(\Phi v^k)\, \delta V)
alapján átalakítva (

) kapjuk:
\, \delta V)
.
Ezt végül egyszerűsíteni tudjuk az elemi

térfogattal, és így azt kapjuk, hogy:
 = \frac{\partial}{\partial x^k}(\mu_0 u^i u^k))
.
Ahol

, amiben pedig

.
A Novobátzky könyvben (100. oldal) ez a (197) és (199) egyenlet. Amit a következő szövegrész követ:
Novobátzky könyv írta:"Eredményünk azt a nevezetes tényt tárja elénk, hogy az anyagi kontinuumot mozgató erősűrűség a

szimmetrikus tenzor divergenciájaként adódik. (199) szolgáltatja a kontinuumra vonatkozó mozgásegyenletek négyes csoportját."
Itt még nincs baj a

jelölést leszámítva.
Viszont utána már több helyen is hiba van, ami mind visszavetül:
Novobátzky könyv (105. oldal) írta:"

jelenti a test térfogategységére ható erőt, mely rugalmas test esetében két részből áll. Az egyik külső megadandó erőhatásokból származik, a másik azonos a belső feszültségekből eredő (206) alatti

-vel.
...
A

tenzort a rugalmas kontinuum energiaimpulzus-tenzorának nevezzük. Összege a

rugalmassági és a

kinetikai tenzornak."
Novobátzky könyv (108. oldal) írta:"A

energiaimpulzus-tenzor perszerű kontinuumot jellemez, melynek részecskéi nem érintkeznek, és így feszültségeket sem létesíthetnek. Használt műszóval élve, a

tenzor "inkoherens" anyag energiaimpulzus-tenzora."
Amit levezettünk egyenlet ((197) és (199)), az
NEM(!!!) a "tiszta"

kinetikai tenzort tartalmazza, és a baloldalán szereplő

erő sem egyezik az említett (206) alatt felírttal. A (206) alatt felírt "

erősűrűség" nem erősűrűség, mert
a divergenciát megzavarja az anyagra jellemző állapotegyenlet (ha csak pozitív nyomást, vagy főfeszültségeket veszünk). Szintén megzavarja a

kinetikai tenzor divergenciáját is, tehát az sem erősűrűség, eltér attól, és ráadásul nem egyformán szól bele ezekbe a divergenciákba, valamint
azok nem is oltják ki egymást, ha a két egymást kiegészítő tenzort összeadjuk.
Ezek a problémák teljes mértékben összefüggnek, ugyanis a levezetésben szereplő

tenzorban

, vagy a megfelelő

felírásban
tartalmazza a teljes tömeg(sűrűség)et, tehát a rugalmas energiának, és a nyomásnak vagy mechanikai feszültségeknek megfelelő tömegértéket
IS(!!). Novobátzky a 102. oldal után sajnos észrevétlenül áttért a "tiszta" kinetikai tenzorban szereplő másik(!!)

értékre, ami nagyon megtévesztő. Pedig (202) után magyarázataként még rögtön fel is hívja a figyelmet a tömeg (és egyben az eredeti

) tartalmára, hogy:
Novobátzky könyv (105. oldal) írta:"... a rugalmas energia tömegértéke egy része a

-nak."
(199)-ben szereplő

pedig ennek a sűrűségét jelenti, tehát a

tisztán kinetikai tenzorban nem ez szerepel.
Visszatérve tehát, a rugalmas anyagi kontinuumot mozgató erősűrűség
NEM a

tenzor divergenciája.
Bontsuk fel a nem egyszerűsített egyenletet úgy, hogy a négyesdivergencia helyett csak a hármasdivergencia legyen egybeírva.
 = \frac{\partial g^i}{\partial t}\delta V + \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}(g^i v^{\alpha})\, \delta V)
, ahol az

index már nem veszi fel a 4-es értéket.
A
matematikai (elő)jel, mely az infinitezimálisan kicsi, de nem PONTszerű, és ezért valamilyen szerkezettel rendelkező objektumhoz,
ezen fizikai témakör esetében a folytonos szerkezetű anyagelemhez való rendelést jelenti (amely általában mozog a megfigyelő inerciarendszerében). Ez mindenképpen integrálást von maga után, ha a fizika számára, vagyis inkább a valóság számára már elfogadható, azaz valódi méretekre térünk át. Tehát nem szabad elfeledkezni róla, hogy
ezek a mennyiségek tulajdonképpen integrálelemek, melyek integrálásai egyelőre az infinitezimális leírási jelleg miatt nincsenek még jelölve, de végül (valóra váltáskor, végső számításkor) integrálásra kell kerüljenek. Ezért most jelöljük ezeket az integrálásokat is az egyenletben.
\, \delta V})
.
Az utolsó integrál Gauss tétele alapján a

tartományt határoló felületre vett felületi integrállá alakítható át, melynek elemét jelöljük az

kifelé mutató (és így nincs előjelváltás) normális irányú vektorral.

.
Vagy visszaegyszerűsítve:
\, \delta V})
.
Tetszőleges

térfogati tartomány esetén az egyenlőség csak úgy állhat fenn, ha az integrál alatti kifejezések egyenlőek.
 = \frac{\partial}{\partial x^k}(\mu_0 u^i u^k))
, ahol ugye

.
A PONTmechanikában

mindenképpen
a külső erőt jelenti. Itt azonban

és

(és

is)
csak részben jelentheti a teljes rendszert érő külső erőt illetve erősűrűséget. (Speciálisan a töltések esetében azonban teljes mértékben (
és csak ezután vesszük hozzá a teljes rendszerhez a kölcsönhatást közvetítő szubsztanciát..), mert a töltések elméletileg is alapvetően PONTszerűek,
nincs saját dilatációs tulajdonságuk, csupán módszer szerűen vannak a kontinuumelméletben folytonosan elosztva.) Fontos megjegyezni, hogy itt
az egyetlen kiszemelt infinitezimálisan kicsi elemi anyagdarab is rendszernek számít, mert hiszen dilatációs tulajdonsága folytán különböző belső állapotban lehet. Ha egy véges kiterjedésű ilyen elemekből álló rendszert tekintünk, akkor az előbb említett külső erő egyáltalán nem biztos, hogy a teljes rendszer szempontjából is külső eredetű, hiszen ami az egyes kiszemelt anyagdarabok szempontjából külső erő, az származhat éppen
a közvetlen szomszédos anyagdarabtól, azaz a teljes rendszeren belülről. Így képes az ilyen magára hagyott folytonos anyagi rendszer változó saját belső mozgásra. Az egyszerű elektrodinamika a rugalmas kontinuum-mechanikának (mondhatni) talán egy olyan szélső speciális (határ)esete, hogy a töltések alapvető PONTszerűsége ellenére az szintén képes erre, ha figyelembe veszünk egy kölcsönhatást közvetítő szubsztanciát is a tömeg+töltés pontok között. Szélső esetben, ha a kontinuumot alkotó anyag elemi objektuma a kontinuum-mechaniká
BAN elméletileg is PONTszerű, akkor az anyagelemnek nincs saját dilatációs tulajdonsága. Ilyen például a töltés, vagy egyszerűen a tömegPONT. A töltéssűrűség (vagy tömegPONTsűrűség) csak matematikai módszerből adódó elosztottságot jelent, saját dilatációs tulajdonságot azonban nem tulajdonít a töltésnek (és a tömegPONTnak). Ezért az egyszerű elektrodinamikában (és a PONTmechanikában) a négyessebesség és négyeselmozdulás vektor merőleges a négyeserő-sűrűség (és a kovariáns négyeserő) vektorra, hiszen a PONTszerű objektumnak a kontinuum-mechanikában (ami szélső esetként magában foglalja a PONTmechanikát is) nincs belső állapota, ezért anyagi állapotegyenlet sem tartozik hozzá. Nincsenek a PONTszerű anyagelemen belül energiaátalakulások, melyek időegységhez tartozó mértékét a saját nyugalmi rendszerben az erő vagy erősűrűség negyedik komponense jelent.
(Lentebb az elektrodinamika ideilleszkedő helyzete még pontosabb tárgyalásra kerül...)
Nézzük, hogyan következik a Novobátzky könyvben (196)-ból
(100. oldal) a (202) egyenlet
(102. oldal) az általa követett "szubsztanciális" -> "lokális" után "lokális" -> "szubsztanciális" oda-vissza átalakítás nélkül, és a mi szignatúránknak megfelelő jelölésekben.
}{dt} = \frac{d}{dt}(\delta m v^i) = \frac{d}{dt}(\delta m_0 u^i) = u^i \frac{d(\delta m_0)}{dt} + \frac{du^i}{dt}\delta m_0)
.
A kovariáns Minkowski-féle erő

. Ezért szorozzuk az előbbi egyenletet

-val.
}{dt} + \frac{dt}{d\tau}\frac{du^i}{dt}\delta m_0 = u^i \frac{d(\delta m_0)}{d\tau} + \frac{du^i}{d\tau}\delta m_0)
.
A
munkavégzés = erő ször elmozdulás fizikai alaptörvény.
(Melynek egyébként az egységnyi időre vonatkoztatott formája
teljesítmény = erő ször sebesség.)
Ezért az elemi anyagdarabra vonatkozó elemi négyesmunka kiszámításához szorozzuk meg az egyenletet a

elemi elmozdulással, ami ugye a
)
vektormezőt jelenti a megfigyelő inerciarendszerében. De mivel a munkához skalárszorzat kell, ezért még szoroznunk kell

-val is, amit egy lépésben is megtehetünk, ha

-val szorzunk.
}{d\tau} + g_{ik}dx^k \frac{du^i}{d\tau}\delta m_0)
,
 + g_{ik}\frac{dx^k}{d\tau}du^i \delta m_0)
,
 + g_{ik}u^k du^i \delta m_0 = -c^2 d(\delta m_0) + u_i du^i \delta m_0)
.
Az első tagban

. A másodikban

, mert a négyessebesség vektor a négyesgyorsulás vektorra most merőleges, de azért érdemes végigkövetni a számítás menetét. A második tagot bontsuk ketté.
 + \left[\frac{1}{2}g_{ik}u^k du^i + \frac{1}{2}g_{ik}u^k du^i \right]\delta m_0)
.
Az utolsó tagot írjuk fel
A(dB) = -(dA)B + d(AB) összefüggésnek megfelelően.
 + \left[\frac{1}{2}g_{ik}u^k du^i - \frac{1}{2}g_{ik}du^k u^i + \frac{1}{2}g_{ik}d(u^k u^i) \right]\delta m_0)
.
Mivel a

metrikus tenzor szimmetrikus, ezért a vele kontrakcióban lévő

indexeinek jelölései megcserélhetőek.
 + \left[\frac{1}{2}g_{ik}u^k du^i - \frac{1}{2}g_{ik}u^k du^i + \frac{1}{2}g_{ik}d(u^k u^i) \right]\delta m_0)
.
A két középső tag kiejti egymást, így marad a többi:
 + \frac{1}{2}g_{ik}d(u^k u^i)\delta m_0)
.
Gravitáció nincs (leszögeztük az elején), ezért a téridő nem görbült, a koordinátázás Galilei-féle (ezt is leszögeztük az elején), mert görbevonalú vagy ferde koordinátázás esetén feleslegesen nagyon bonyolult lenne a matematikai leírás. Tehát a metrikus tenzor
(1, 1, 1, -1) diagonális alakú, és konstans, ezért egyszerűen bevihető a differenciáljel mögé.
 + \frac{1}{2}d(g_{ik}u^k u^i)\delta m_0)
,
 + \frac{1}{2}d(u_i u^i)\delta m_0)
,
 + \frac{1}{2}d(-c^2)\delta m_0)
.
A konstans

differenciálja nulla, ezért az utolsó tag nulla. Marad végül:
)
, vagy ahogy (202)-ben fel van írva:
)
.
Tehát ahogy a levezetés előtt megtárgyaltuk, belső szerkezet (vagyis saját dilatációs tulajdonság) hiányában nincs (saját) belső állapot, így annak változása sincs. Mivel a fizikai merevséget kizárja a relativitáselmélet, így a saját dilatáció nélküli anyagelem csak PONTszerű lehet. Ebben az esetben tehát
 = 0)
, és így a négyesmunka

, ami visszaadja a PONTmechanikát, melyben ugye

, és

. Általános esetben viszont az elemi anyagdarab a mozgás következtében deformálódik, belső állapota a környezete hatására (összepréselés és széthúzás) megváltozik, és az állapotegyenlete által előírt módon belső energiaátalakulások jönnek létre. A kontinuum-mechanika szerint rugalmas feszültségek alakulnak át mozgási energiává, és fordítva (szomszédtól való elrugaszkodás, és fordítottja), tehát ekkor az egyenlet szerint meg kell, hogy változzon az elemi anyagdarab nyugalmi tömege. Ebben nincs semmi különös. Ez a tömegváltozás izotróp nyomás esetén a nyomáspotenciál alapján is felfogható
viewtopic.php?f=8&t=900&start=5
Ahogy fentebb ígértem megtárgyaljuk a
 = \frac{\partial}{\partial x^i}(\Phi v^i)\, \delta V)
egyenlet közvetlen jelentését.
A baloldalon

a téridő-koordináták függvénye.

így egyben az általában mozgó

tartományhoz, tehát az infinitezimális elemi anyagdarabhoz tartozó, és integrálandó mennyiség. Ez azt jelenti, hogy ebben (tehát
a baloldalon)
az általában mozgó "szubsztanciához" rögzítettként fogható fel. Ennek a

mennyiségnek a megfigyelő ideje szerinti változása nyilvánvalóan egy másik, de szintén ehhez a "szubsztanciális"

tartományhoz tartozó integrálandó mennyiség. Tehát ezt szintén az előzőhöz hasonló formában kell felírni. Jelöljük annak megfelelően ezt

-vel, amiben

nyilvánvalóan szintén a téridő-koordináták függvénye.

-t egyesítve jelöljük egyszerűen

-vel.
Írjuk át a jobboldalt a következő alakba:
 = \delta\Psi = \psi \delta V \;\;=\;\; \frac{\partial \Phi}{\partial t} \delta V + \sum_o{\Phi v^{\alpha}n_{\alpha} \delta f_{o \delta V}})
.
Az utolsó tagban a Gauss-tétel szerinti átalakítás után az

index jelöli az elemi

térfogatot határoló 6 elemi felületet.
A jobboldali első tag

megfigyelő ideje szerinti összesített megváltozását jelenti a vonatkoztatott infinitezimális elemi anyagdarab pillanatnyi tartózkodása térbeli helyén annak kiterjedésében összesítve. (Most ezt muszáj kicsit úgy mondanom, mintha már egy picit integráltunk vagy összegeztünk volna.) Az utolsó tag a

mennyiség kiáramlását vagy eláramlását jelenti a vonatkoztatott infinitezimális elemi anyagdarab pillanatnyi tartózkodása térbeli helyéről (ami még NEM jelent forrásosságot.!!). ( Tehát
jobboldalon
már a "lokális" rendszerhez rögzítettként fogható fel. ) Ha belegondolunk, az előző tagban a

tartományon belüli egyik helyről a szintén belüli másik helyre történő (természetesen veszteségmentes) áramlás (
maga az áramlás pontos jelentése nem egyeztethető össze semmiféle elvesztéssel..) nem ad járulékot, hiszen akkor az amennyivel az egyik helyen csökken az időben, éppen annyival nő a másik helyen. Ha viszont a tartományon belülről áramlik ki, akkor azt a mennyiséget ennek a tagnak is jelentenie, vagyis tartalmaznia kell, de éppen ellenkező előjellel. Ugyanígy fordítva is, hiszen a beáramlás negatív kiáramlást jelent.
Ezekből egyenesen következik, hogy a teljes jobboldal (a két tagösszeg) értéke, azaz
a bármilyen lokalizáltságú (tehát akár mozgó), de
kiterjedésű rendszer szempontjából(!!) (ami így a megfigyelő számára a tetszőlegesen mozgó infinitezimális elemi anyagdarabot jelenti) mindig külső hatás következménye. Ez egy nagyon fontos megállapítás, ami inverz formában azt állítja, hogy a kontinuum-mechanika szerint (ami elég széles témakörben alkalmas a fizikai valóság, azaz a természet gyökeres leírására)
az alapvető megmaradó mennyiségek játéka irányítja a magára hagyott (tehát már külső hatás nélküli) nagyobb rendszert, annak belső mozgásait, ugyanis ez a nagyobb rendszer nem más, mint infinitezimálisan kicsi elemi rendszerek
egymás melletti összessége, tehát egy akár végtelen kiterjedésű anyagi kontinuum. Ezért ez jelenti a megmaradási tételt vagy egyenletet,
és NEM pedig a 
hibás képlet (
vagy ennek kovariáns alakja), ami abból is érezhető, hogy ez az egyenlet rögtön kizárja az anyag saját állapotegyenletét, ami egyébként belátható, hogy (általában) szükséges (
kivéve az elektrodinamika egy alapvető részét).
Nézzük ezek alapján, hogyan áll kapcsolatban a nagyra becsült egyenletünk a megmaradást jelentő
 = 0)
egyenlettel.
Mivel egy kiterjedt rendszeren belül általában van mozgás, vagyis áramlás, az egyenlet jobboldali utolsó tagja általában nem nulla. Belegondolva könnyen belátható, hogy az olyan (induló vagy eltűnő) megmozdulásokhoz melyeknek valamilyen

mennyiségéhez az egyenlet keltéssel vagy vesztéssel járó áramlásokat rendel, azaz olyan világvonalakat, melyeknek van kezdetük és végük, akkor ezekkel a szakadásokkal előjelesen arányos mennyiséggel tér el a baloldal a jobboldal első tagjától. Tehát a rendszeren belül megmaradó

mennyiségekre nézve ez a két tag meg kell, hogy egyezzen, ami az utolsó áramlást leíró tag feltétlen megléte mellett csak úgy lehetséges, ha ekkor azonosak. De mivel ezek meglétét is feltétlen állítja az egyenlet, ezért azok csupán egy azonosult tagként lehetnek benne jelen. Ezekből egyenesen következik, hogy ez a jobboldali utolsó tagot kiegészítő előtte lévő tag kell, hogy legyen a fentiek alapján.

. Vissza alakítva:
\, \delta V)
. Jelölve az integrálást:
\, \delta V})
.
Tetszőleges

térfogati tartomány esetén az egyenlőség csak úgy állhat fenn, ha az integrál alatti kifejezés nulla. Így a megmaradást leíró
 = 0)
egyenletet kapjuk, és közben (ahogy írtam) azt is, hogy:
 = \frac{\partial \Phi}{\partial t}\delta V)
. Jelölve az integrálást:
} = \int{\frac{\partial \Phi}{\partial t} \delta V})
.
Baloldalon az integráljel felcserélhető a teljes (vagyis nem parciális) differenciálással, mert összeget tagonként deriválunk.

.
Ez magyarázza meg az alább idézett átalakítást, ahol

megmaradó mennyiség.
viewtopic.php?f=8&t=900&start=25
szabiku írta:...
Kijavítva így néz ki az egyenlet:
\, dv} = -\int_s{(w + p)V \cdot nds})
. Alakítsuk ezt tovább:
A baloldalon

-t bevisszük az integráljel alá (és így ugye parciálissá válik):
\, dv} = -\int_s{(w + p)V \cdot nds})
.
...
A részletes átgondolás alapján a "tartomány-hovakötődések" fontosak annak ellenére, hogy minden vizsgálati pillanatban az egyenletben természetesen a jobboldali és baloldali

tartományok egybeesnek, így pillanatnyilag mindig azonosak, de az egyenlet értelme (ebben a formában) éppen a jobboldali és baloldali

szubsztanciális és lokális hova kötöttségére épül, és ezáltal a

-vel alkotott kombinációjára kiváltképpen hasznos összefüggést ad.

.
Vizsgáljuk meg azt a fenti szintén fontos megállapításunkat, hogy az elemi anyagdarab szempontjából a jobboldal értéke, azaz

külső hatás eredménye. Ez viszont akkor minden szomszédos elemi anyagdarabra szintén elmondható. Ha azonban az ezekből álló nagyobb mechanikai rendszert magára hagyjuk, az általában mégis belső változó mozogást végez. Honnan hát akkor ez a külső hatás, ha annak eredetét minden anyageleméből kizártuk. Mégis a teljes rendszeren belülről kell, hogy eredjen, de rafináltan úgy, hogy az az elemi anyagdarabok egyedi szempontjából olyan legyen, mintha kívülről származna. Erre az egyetlen megoldás, ha egyszerűen a felületből ered, tehát a szomszédos elemi anyagdarabok érintkező felületei közötti "résből". Mivel az elemi anyagdarab infinitezimálisan kicsi, és az elforgatott helyzete tetszőleges, így ezek a "rések" mindenhol ott vannak. Ez tehát más szemszögből olyan, hogy tartalmuk az anyagelemek tartalma is egyben. Ezzel meg van oldva a látszólagos probléma. Így a rugalmas anyagi kontinuumot mozgató erő és erősűrűség a teljes rendszeren belüli eredetű.
Az ellenerőt egyfelől nézve az anyag tehetetlensége adja. A teljes rendszer zárt, erre vonatkozólag külső hatás nincs, így az erő az ellentétes szemszögből egyben egy ellenerő is. Érezhető, hogy az egyszerű elektrodinamika is felfogható így. Mivel a töltések itt elméletileg is PONTszerűek, és csak matematikai módszerből folytonosan elosztottak, nem érintkeznek egymással. A köztük lévő "rések", ha véges nagy méretű térrészek is, akkor is működik a rugalmasság szerű (vagy álrugalmas) kölcsönhatás, amit ugyan inkább elektromágneses kölcsönhatásnak nevezünk.
Nézzük egyszerű átalakítással, hogy
egyértelmű kapcsolatban van a négyeserő és a négyessebesség vektorok egymásra nem merőlegességének mértéke a rugalmas (de nem álrugalmas) kontinuumban (ami nem álkontinuum) zajló belső energiaátalakulással. (A zárójeles megjegyzéssel kizártuk az egyszerű elektrodinamikai és PONTszerű szélső esetet.)
}{\partial x^k} = \frac{\partial(\mu_0 u^i u^k)}{\partial x^k} = u^i \frac{\partial(\mu_0 u^k)}{\partial x^k} + \mu_0 u^k \frac{\partial u^i}{\partial x^k} = u^i \frac{\partial(\mu_0 u^k)}{\partial x^k} + \mu_0 \frac{du^i}{d\tau})
. Szorzunk

-vel.
}{\partial x^k} + \mu_0 \frac{u_i du^i}{d\tau} = -c^2 \frac{\partial(\mu_0 u^k)}{\partial x^k} + \mu_0 \frac{1}{2}\frac{d(u_i u^i)}{d\tau} {\;= -c^2 \frac{\partial(\mu_0 u^k)}{\partial x^k} + \mu_0 \frac{1}{2}\frac{d(-c^2)}{d\tau}})
,
}{\partial x^k} = -c^2 \frac{\partial g^k}{\partial x^k})
. Tehát

szer az impulzussűrűség négyesdivergenciája vagy forrásossága.
(Novobátzky könyv 101. oldal (200) egyenlet.)
Anyag és energia keletkezéséről zárt rendszerben nem lehet szó. Az impulzussűrűség forrása így (élesen fogalmazva) világvonal elágazást (vagy ellentett érték esetén egyesülést) jelent, amely a mozgás forrását (illetve elnyelődését) jelenti. Ez nyilván csak belső, azaz legbelső, tehát téridőpontban értelmezett energiaátalakulás folytán történhet meg, amely nyilván a rugalmassági belsőenergia mozgási energiává alakulását (illetve fordítottját) jelenti.
Az energiaátalakulások az anyag relativisztikus saját állapotegyenlete által megszabott módon történhetnek. (Ha van/kell állapotegyenlet.) Ezek nélkül nincs mozgásegyenlet.
A "lokális" négyesmunka sűrűségéhez szorozzunk

-val:

.
}{\partial x^k}d\tau = -c^2 \frac{\partial g^k}{\partial x^k}d\tau)
.
Folytatva a számítást megkapjuk az infinitezimális anyagelemen végzett (végződött) négyesmunkát. Szorozzunk

-vel.
}{\partial x^k} \delta V d\tau = -c^2 \frac{\partial(\mu_0 \varkappa v^k)}{\partial x^k} \delta V d\tau)
.
Alkalmazzuk a
}{dt} = \frac{\partial(\Phi v^i)}{\partial x^i}\delta V)
összefüggést, ahol most

.
}{dt}d\tau = -c^2 d(\mu_0 \delta V_0)\frac{d\tau}{dt} = -c^2 d(\delta m_0)\frac{1}{\varkappa})
,
)
,
)
, vagy ahogy (202)-ben fel van írva:
)
.
A nagy kitérő után (hogy most már mindent értünk) térjünk vissza az impulzusmomentum "tételének" vizsgálatához.
 - x^k \frac{d}{dt}(g^i \delta V) + A \delta V \right]} = \int{\left[x^i \frac{\partial}{\partial x^l}(g^k v^l) - x^k \frac{\partial}{\partial x^l}(g^i v^l) + A \right] \delta V})
.
Az elején megtárgyaltuk, hogy az

önmagában kiesik, mert nulla, és levezettük, hogy
 = f^i)
. Ezzel rögtön:
\, \delta V} = M^{ik})
. Tehát beláttuk, hogy

valamint

együtt létezik.
Az impulzusmomentum tétele csupán ennyit mond, és semmi olyat nem állít, hogy ezért kellene szimmetrikusnak lennie az energiaimpulzus-tenzornak. Annak szimmetrikussága a tömeg-energia ekvivalenciával ugyan közvetlen kapcsolatban van, de az itt tárgyaltak alapján ezekre mélyebb okot is találhatunk, ha logikusan átgondoljuk a lehetőségeket.
Ennek vizsgálata előtt picit térjünk ki a Landau II könyv egy lábjegyzetére:
Landau II könyv (65. oldal alja) írta:"A klasszikus mechanikában a tömegközéppontot megadó képlet egyaránt érvényes kölcsönhatásmentes és kölcsönhatásban levő részecskékre, de (14,6) csak akkor helytálló, ha elhanyagoljuk a kölcsönhatásokat. A relativisztikus mechanikában kölcsönható részecskék tömegközéppontjának definiálásához figyelembe kell venni a részecskék által keltett erőterek energiáját és impulzusát is."
http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/t ... x1-24004r4
A könyv itt valóban csupán PONTszerű részecskeszemléletű, amit ránézésre is elárul a képletekben használt

jel. Ennél teljesebb szemléletű a nem nulla, hanem az infinitezimálisan kicsi kiterjedésű elemi anyagdarabokkal dolgozó kontinuum-mechanika, melyet követtünk. Ez formailag annyit jelent, hogy a diszkrét összegezés helyett folytonos összegezés van. Ebben a szemléletben nyilván szerepel a kölcsönhatás is, tehát nem merül fel az előbb idézett lábjegyzet szerinti korlátozottság.