szabiku írta:Ezek az adatok pedig megszorítják a Hamilton-operátort, vagyis annak lehetséges formáit.
G.Á írta:Ez viszont nagyon nem igaz.
Hát pedig szerintem nagyon is.
A Dirac-delta helykoordináta-térbeli bázisállapot pusztán időfejlődéssel (azaz nincs méréses közbeavatkozás) szerintem kizárólag a végtelen szabad mozgás esetén állhat be (
olvasd (16.35) után). És csak egyetlen időpillanatban, de egyben (vagyis egyszer) biztosan. (
Ez fontos dolog lesz majd a későbbi fejtegetésem során, ha az ígéret szerint folytatom a fentebbi témázásom.)
Megválaszolom, amit kihagytál:
szabiku írta:Akkor azt, hogy φ(x,tx) = <x|φ(t)> egyenlőségben miért van x indexszel ellátva a t idő?
Azzal tisztában vagyok, hogy φ(x,t) = <x|φ(t)> = cx(t) = c(x,t) .
A teret a felmerülő kalkulációk során egy képletformulán belül kétszer is kell koordinátaparaméterezni. Ezt külön betűvel jelöli: x és y. (y helyett ∆x használata vacakabbá tenné a felírásokat.) Viszont az időnél nem ez a helyzet, és csak megkeverő a t
x és t
y használata t és ∆t helyett. Hasonlóan a térhez kettős paraméterezést használ az időre, de nem akar eltérni a t betűtől, ezért az x vagy y koordinátaparaméterezéshez tartozást indexeléssel jelöli: t
x és t
y. Ez persze nem csak az amatőr olvasót, hanem az amatőr szerzőt is megkeveri. Nagyon fontos, hogy t
x és t
y nem egy konkrét időpontot jelölnek az egy t időskálán, mint ahogy azt megszokottan gyakran ilyen indexeléssel jelöljük. A könyv szövegezése pedig pont azt sugallja, teljesen összezavar. Kijavítom a korábbi ilyen hozzászólásom:
szabiku írta:Szerintem a Dirac-delta (azaz, hogy a helykoordináta-térbeli |y> a ty pillanatban Dirac-delta) egyértelműen jelenti (Fourier-transzformációval), hogy milyen impulzussajátállapotok szuperpozíciójában van a ty időpillanatban a részecske.
Szerintem a Dirac-delta (
azaz, hogy a helykoordináta-térbeli |y> egy pillanatban Dirac-delta) egyértelműen jelenti (Fourier-transzformációval), hogy milyen impulzussajátállapotok szuperpozíciójában van
ebben az időpillanatban a részecske.
Hasonlóan nagyon megtévesztő nemcsak az amatőr olvasónak, hanem az amatőr könyvírónak is, hogy a |φ( .. ,t)> részecskeállapotra (16.18)-ban a kettős paraméterezéshez hasonlóan az |x(t
x)> és |y(t
y)> jelölésekben az x és y helykoordináta-paraméterek betűjeleit használja, ugyanis ezek után nem tiszta, hogy az |x> és |y> jelölésekkel báziskomponens(eke)t jelöl, vagy részecskeállapotot. Ez a két dolog különböző, kivéve ha a részecskeállapot éppen megegyezik az egyik |x> és |y> báziskomponenssel. (Ez helykoordináta-sajátállapotot vagy helykoordináta-bázisállapotot jelent). (16.13)-ról (16.18)-ra a következő hibás dumával jut:
"the propagator G+(x,tx,y,ty) is the probability amplitude that a particle in state |y> at time ty, ends up in a state |x> at time tx. The interpretation means that the Green’s function may be written (16.18)."
>A G
+(x,t
x,y,t
y) propagátor annak a valószínűségi amplitúdója, hogy a (korábbi) t
y időben |y> állapotban lévő részecske, a (későbbi) t
x időpontban az |x> állapotba kerül végül. Az értelmezés azt jelenti, hogy a (kauzális G
+) Green-függvényre írható (16.18).
Teljesen összezagyválja a dolgokat.
(16.18)-nak és (16.19)-nek szintén köze sincs egymáshoz! (mert (16.13)-nak és (16.19)-nek lesz, csak nem Green-függvény címen... lásd alább.)
szabiku írta:El tudod nekem magyarázni, hogy ez: <x(tx)|y(ty)> = <x|U(tx-ty)|y> az egyenlőség pontosan hogyan jön?
Sehogyan. A két oldal teljesen mást jelent, nem egyeztethetők össze, ezért (16.18) és (16.19) baloldalai sem egyeztethetők össze. Hiba azt mindkettőben G
+ -szal jelölni. (16.18) egy későbbi és egy korábbi |φ( .. ,t)> részecskeállapotot skalárszoroz (vetít egymásra), (16.19) pedig az U(∆t) időfejlesztő operátor e
-iH∆t helykoordináta-térbeli alakját fejti ki a reprezentációs bázis szerint (aminek egyébként semmi jelentősége vagy haszna nincs..). Ez utóbbi az U(∆t) operátor mátrixreprezentációját jelenti (
folytonosan végtelen minden irányban ez a négyzetes mátrix), még az előbbi teljesen mást.
(16.20)-ban az e
-iH∆tI operátor főátlóra transzformálatlanságát áthelyezi a mellette álló főátlóra transzformált I identitásoperátorra. Ez a főátlóra transzformálatlanság (az e-ados alak miatt) megegyezik H -éval, így az I átvált |n><n| -re, miközben H átvált a főátlós alakjában szereplő E
n sajátértékekre. Kell még ehhez egy
∑n összegezés is: e
-iH∆tI =
∑n[e
-iEn∆t|n><n|
] .
Helykoordináta-térben <x|n> az n függvény(
ek)re vonatkozó c
x = c(x) komplex együttható(
k halmaza), ami(
ke)t jelölhetünk φ
n(x) -szel. Mivel <n|x> = (<x|n>)
* , ezért <n|y> = φ
n*(y) . Így jön (16.21) (Az E
n sajátértékes e-ados kifejezés már csak szám, és független a helykoordinátáktól, így kiemelhető a Dirac-zárójeles integrálos skalárszorzat közepéből.)
És akkor megy tovább a dolog, (16.26)-ban felhasználja a Hφ
n(x) = E
nφ
n(x) sajátértékegyenletet, és akkor jön a (16.27), amit csalással fejez be, ugyanis
∑n[φ
n(x)φ
n*(y)e
-iEn(tx-ty)] =/= δ(x-y), mert
∑n[φ
n(x)φ
n*(y)
] = δ(x-y) , ahogy arra már felhívtam a figyelmet.
G.Á írta:A (16.27) kifejezést meg egyben kell nézni.
Duma.
Az igazi Green-függvényes egyenletben a változókhoz tartozó Dirac-delták függetlenek egymástól, ahogyan a változók is! (16.27) végén δ(∆t) és δ(x-y) egymástól független, na de a közvetlen felette álló kifejezés nem ezt mondja. Ez csalás. Egyértelműen hibás. ( --> ** ) Nyilván nem is jöhet ki az, amit az amatőr könyvíró ki akar erőltetni, hiszen már mondtam, hogy (16.19) jobb oldalának semmi köze egyrészt (16.18)-hoz (
ami egyébként se nem propagátor, se nem Green-függvény, hanem csupán egy korábbi-későbbi állapotvektor egymásra vett vetülete), másrészt a Green-függvényhez sincs, ahogyan (16.13)-nak sem, hiszen az nem felel meg (16.6)-nak, ahogy azt már fentebb említettem. A (16.19) jobb oldalával képzett (16.13) az OK. , ugyanis az semmi más, csupán egy leképezés: vektor = mátrix
szor vektor, azaz φ
x(t,∆t) =
∑y[G
+xy(∆t)φ
y(t)] csak ez ott a függvényes felírásban (x és y indexek folytonosak). Nézzük (16.13)-at csak az egyszerűség kedvéért elhagyva a
+ jelölést és Θ(∆t) szorzót:
φ(x,t,∆t) = <x|φ
(t,∆t)> =
∑y[<x|U
(∆t)|y><y|φ
(t)>
] = <x|U
(∆t)|φ
(t)> = φ(x,t+∆t) .
Az U időfejlesztő operátor mátrixreprezentánsát felesleges G-vel jelölni, attól az még nem lesz Green-függvény. Az a helyzet, hogy a könyvben a 16.2 részben sehol sincsen Green-függvény.
Ez elég nagy égés. A könyv távolabbi részeit nem néztem, de ez és a környező részek gyalázatosan rosszak. Az amatőrök és hozzáértők hülyítése magas fokon.
Igazán szomorú G.Á, hogy ezeket a dolgokat nem veszed észre. Az, hogy api, con, construct vak ilyen tekintetben, nem meglepő. De hogy te is, az már igen.
A propagátorfüggvény lényegi értelmét a relativisztikus kvantumtérelméletben nyeri el. A nemrelativisztikus kvantummechanikában nincs ilyen propagátor. Semmilyen sincs. Annyi van csupán, hogy a részecske nem pontszerű objektum, hanem a térben kiterjedt hullámszerű függvény. A helykoordináta-térbeli Dirac-delta állapot azon az egyetlen időponton kívül, melyben koncentrált, teljesen, azaz végtelenül és egyenletesen szétterült állapotba megy át. Ebben nincs semmi fizikailag jelentős dolog. Ellenben az elméleti felső határsebességet tisztelő relativisztikus kvantumelméletben nincs ilyen azonnali szétkenődés, van jelentősége az efféle propagátorfüggvénynek, ami éppen az inhomogén hullámegyenlet Green-függvénye. A Schrödinger-egyenlet Green-függvénye láthatóan nem az, amit a könyv a 16.2 részben mond.
** -->
Folytatom a gondolatmenetet, mert azért érdekes a dolog elemezgetése.
A kauzalitás sem passzol az egészhez, hiszen annak nem kellene a Green-függvényes egyenletből automatikusan következnie, márpedig innen (
(16.27)-től) visszafelé tekintve pont az látszik, és azt mondja, hogy a kauzalitás már ezen az alapszinten automatikusan matematikailag benne van az elméletben mindenféle hullámfüggvény összeomlások, csak kifelé futó gömbhullámok, és egyebek nélkül, ami nem igaz. Ha megnézzük a 151. oldalon található
16.4 The many faces of the propagator című részt, akkor
a Θ(∆t)-vel (gondolja) kauzálisra vett U időfejlesztő operátor mátrixreprezentánsa (
amit hibásan G+ jelöléssel propagátornak és kauzálisnak hisz a két megzavarodott durhami és oxfordi könyvíró) az impulzusreprezentációban, valamint egy idő szerinti Fourier-transzformációval (
Example 16.8 , ami teljesen összezavarodott --> ***), némileg hasonló alakú (16.37) a relativisztikus kvantumtérelmélet propagátorfüggvényéhez:
. De csak némileg. A pólus vonatkozások kicsit mások, de némileg alternatívok: a kvantumtérelméletben a pólus a "tömeghéjon levéshez", azaz a valódi részecskéhez kapcsolódik, a kommersz kvantummechanikában pedig a rendszer "energia-sajátállapotban levéséhez", azaz a kötött állapotokhoz (stacionárius állapotokhoz) (illetve ennek egy speciális esetéhez:), valamint a teljesen független szabad részecskeállapothoz (ami szintén stacionárius, és egyfajta "kötött" állapotnak tekinthető). Ezt a matematikai közelfekvőséget a Landau IV könyv is említi a 383. oldalon: "A helyzet ugyanaz, mint a nemrelativisztikus kvantummechanikában, ahol is a szórásamplitúdónak pólusa van olyan energiaértékeknél, amelyeknél az ütköző részecskék rendszerével kötött állapotai vannak (III. 128. §)." a szóródó részecskének. (<--ez lemaradt.) Ott azonban egy kicsit másról van szó, nem konkrétan az időfejlesztő operátorról, de az az eset is hasonló, és matematikailag trükkös analitikus dolgokhoz vezet.
*** -->
Nem egyszerű ezekből az összevisszaságokból rendesen kielemezni a megalkotójának elborult kvantumelméjét, hogy megértsük sérültségét.
Nézzük előbb magát az
Example 16.7 részt:
"Remember the interpretation: we want the amplitude that a particle that starts off in a state |q> will, after a time tx-ty, end up in a state |p>."
>Emlékezzünk az értelmezésre: egy részecske amplitúdójára (hullámfüggvényére) azt akarjuk, hogy az egy |q> állapotban kezdődjön, majd egy t
x-t
y idő után |p> állapotban végződjön. (hülye egy megfogalmazás..)
Oldalt megjegyzi, hogy <p|q> = δ(p-q) , szóval itt is látható, hogy nem érti a részecske állapota és a reprezentációs bázis közötti alapvető különbséget. Totál amatőr...
(16.35)-ben: <p|U(∆t)|q> = <p|e
-iEq(∆t)|q> = <p|q>e
-iEq(∆t) = δ(p-q)e
-iEq(∆t) .
Pont erről beszéltem a helykoordináta-reprezentációnál (16.2 résznél), hogy ez az egyetlen lehetőség van ilyen (és ennek megfelelő olyan) felírásnál. Teljesen meg van szorítva a Hamilton-operátor, semmi haszna nincs ezeknek a felírásoknak. És ezt ráadásul még be is látja:
"We see that the free particle cannot change its momentum state, so having both p and q is redundant, so we can write the same equation in the following shorthand:"
>Láthatjuk, hogy a szabad részecske nem változtatja meg impulzus állapotát, mindkettőt (p és q) megtartani felesleges, így ugyanazt az egyenletet írhatjuk a következő rövidítésbe: (16.36)-ban az előbbi: e
-iEp(∆t) .
Magyarán a diagonális folytonos négyzetes G
pq mátrixát folytonos G
p vektorba zsugorította: G
p =
∑q[G
pq1
q] , azaz e
-iEp(∆t) =
∫dqδ(p-q)e
-iEq(∆t) .
Ezután jön az
Example 16.8 rész, ahol Fourier-transzformációval áttér az időtartományról energiatartományra. Úgy tűnik, mintha elengedhetetlen szerepe lenne itt a Θ(∆t) egységugrás függvénynek, de nem. Végezzük el nélküle a transzformációt:
.
Azaz a folytonos G
p vektornak (függvénynek) az energiatartományban a sajátértékeknél szingularitásai (pólusai) vannak. És ennyi. (Ezzel az egyébként nem egyszerű mélységekbe vezető dologgal, nem egy ilyen hibás esetben kellene foglalkozni... de az amatőröknek ez magas...) A többi manipulációnak itt semmi értelme, csak ki akarja hozni azt a képletformát (
(16.37) vége), ami némileg hasonlít a fentebb említettre.
----------------------------
A konkrét megtévedés középpontját én a (16.27)-ben elkövetett matematikai hibára tenném (és a (16.37-38) nemidevalóságára), ami egyben egy matematikai közelfekvőséget is mutat. Ez az egész annyira megzavarta a két koma elméjét, hogy a hibák halmára még azzal is rálapátoltak, hogy a kvantumtérelméleti Feynman-gráfos virtuális részecskés többedrendűségben vizsgált belső vonalas dolgokat a
16.3 Turning it around: quantum mechanics from the propagator and a first look at perturbation theory című részben rámagyarázták a kommersz kvantummechanikára.