(A használt szignatúra most (+, +, +, -)-os.)
Nem kell mást tenni, mint az anyagi kontinuum energiaimpulzus-tenzorát áttranszformálni a pillanatnyi nyugalmi (vesszős) rendszerből a megfigyelő rendszerébe. Ez a transzformációelméletből (http://kozmoforum.hu/viewtopic.php?f=28&t=269&start=12 kb. a hozzászólásom közepén található röviden és tömören) adódóan a következőképpen néz ki:
A speciális inverz Lorentz-transzformációt alkalmazva
A választott speciális Lorentz-transzformáció az
Az előbbiek alapján tehát:
A fentebbi b.) ponthoz teljesen hasonlóan itt is a következő meggondolásokat kell tenni:
(Az alkalmazott szignatúra (+, +, +, -), a vizsgálat helyén választott koordinátázás Galilei-féle, így
Szemeljünk ki egy infinitezimális és rögzített
Szorozzuk meg a kapott egyenletek baloldalát
Mivel
Adjunk az utolsó egyenlet baloldalához
Ezzel a
Az energiaimpulzus-tenzor háromszoros térszerű elfajultsága esetén (tehát mikor a térszerű háromszor hármas része diagonális alakú, akkor a három átlós eleme egyöntetűen
Ezzel az előbbi kifejezés háromdimenziós vektor alakban:
Ebből egyenesen következik, hogy
Mivel az impulzus, mint négyesimpulzus, relativisztikusan négyesvektor, így indexe a 4 értéket is ezzel konzisztensen veszi fel:
Így a négyesvektor
A
A négyessebesség
Ezzel az egyenlet kovariáns alakban:
Ebből egyenesen következik, hogy

A véges kiterjedésű relativisztikus dinamikai rendszer teljes
A teljes energiája azonban
A probléma nagyon érdekes és matematikai.
Figyeljük meg az ellentmondást a Landau II könyv Makroszkopikus testek energia-impulzus-tenzora című 35. paragrafusában:
118. oldal:
119. oldal:A Landau könyv írta:"... a tömegsűrűség, azaz az egységnyi térfogat tömege"
Az apróval szedett "ebben az esetben" szövegrész talán az ellentmondást akarná feloldani, de nem teszi, ugyanis nagyobb sebességek esetén is egyszerűen ez következik. (A tömeg relativisztikus faktoraA Landau könyv írta:"Mivelaz impulzussűrűség, a tömegsűrűség ebben az esetben
"
Pár sorral lejjebb a következő olvasható:
A Landau könyv írta:"...a test egységnyi (saját) térfogatában lévő részecskék összes tömege. (Hangsúlyozzuk, hogy általános esetben ez különbözik a pontos
tömegsűrűségtől, mivel az utóbbi magában foglalja a részecskék mikroszkopikus mozgásának energiájától és kölcsönhatásuk energiájától származó tömeget is.)"
Ez az igaz!A Landau könyv írta:"Mivelaz impulzussűrűség, a tömegsűrűség ...
"
Az ellentmondás nyilvánvaló.
Az energia-impulzus-tenzor című 32. paragrafus a 109. oldalon szintén ellentmondásban áll az előbbi idézettel és az entalpiával kapcsolatos eszmefejtegetéssel:
Ez pedig sajnos nem igaz.A Landau könyv írta:"...-t az energiasűrűségnek kell tekintenünk, tehát
a rendszer teljes energiája. ... Így a rendszer négyesimpulzusának végső kifejezése a következő:
."

Ez egy hatalmas hiba a Landau II könyvben, és ráadásul több helyen további kalkulációk és eredmények vannak ráépítve, amik ebből kifolyólag vélhetően szintén hibásak. Ilyen az anyagi kontinuumból álló rendszer (teljes, vagy nem teljes) impulzusmomentuma és négyestenzora, a gravitáló anyag és gravitációs tér (teljes, vagy nem teljes) eredő négyesimpulzusa és impulzusmomentuma, impulzusmomentum négyestenzora.
A felhozott ellentmondás egészen hasonlóan a Novobátzky könyvben is benne van.
Az Energia és impulzus transzformációja című 20. pontban a 61. oldalon Novobátzky is arra jut, hogy az energia-impulzus négyesvektor negyedik komponense előáll az energiaimpulzus-tenzor átlós komponenseinek csupán időszerű eleméből.
Ámde a Termodinamika című fejezetben a 115. oldalon arra jut, hogy:
Az ellentmondás nyilvánvaló.A Novobátzky könyv írta:"Meglepő ebben az eredményben, hogy ... Az impulzus nem az energia, hanem az entalpia tömegértékének és a sebességnek a szorzata."
Ha összevetjük a (103), (104), és (225) "felsorolt vektorkomponens" szerű felírási szerkezetet, az utóbbinál a negyedikhez már nincs is odaírva az
Véleményem szerint ez egyértelműen utal arra, hogy a szerzőben meg volt az itt fejtegetett ellentmondásosság dilemmája.
(Az entalpia levezetését/bevezetését Novobátzky könyvének ezen rövidke (114 - 115. oldal) rész alapján készítettem.)
Hol van a probléma gyökere, vagyis az ellentmondás rossz következtetésének hibás lépése??
Mindkét könyvben (Novobátzky és Landau II) matematikai hiba van, de mindkettőben más, mert Gauss tételét leszámítva matematikailag más módon jutnak a hibás "energia-impulzus vektorra". Most ennek kiderítése a cél.
Nézzük előbb Novobátzky gondolatmenetét:
(Csak alsóindexes (+, +, +, +)-os szignatúrájú formalizmust használ.)
És akkor így adódik a 61. oldalon, hogyA Novobátzky könyv (60. oldal) írta:"A kérdés tárgyalását segédtétel bevezetésével kezdjük.
Legyenolyan négyes vektor, melynek divergenciája azonosan zérus:
.
Szorozzuk meg az egyenletet atérfogatelemmel, és integráljunk az egész térre.
.
Az első integrál Gauss tétele értelmében a végtelen sugarú gömb felületére vett integrállá alakítható át, és fel akarjuk tételezni, hogya térbeli végtelenben oly nagyságrendben tűnik el, hogy ez az integrál zérus.
Marad, vagy
.
Izolált rendszerben az akció és reakció elve alapján nem léphet fel kompenzálatlan ponderomotoros erő, mert ilyen rendszerben csak belső erők hatnak. Ilyenben tehát.
Válasszunk tetszőlegesvektormezőt úgy, hogy a
vektor négy komponense a tér minden helyén változatlanul ugyanaz. A
vektorra érvényes, hogy négyes divergenciája zérus:
.
Az első tag avektor állandósága miatt, a második a
divergenciamentessége miatt tűnik el. Alkalmazhatjuk tehát a segédtételt:
.
Az állandó-t kiemelve az integrál elé:
(102).
Ebből következik, hogymaga egy konstans négyes vektornak
komponense, mert hiszen csak a
skaláris szorzat adhatja a jobb oldali konstans skalárt."
A hiba ott van, hogy a kitalált
Egyrészt a nulla matematikailag egy olyan semleges érték középen, hogy semmilyen valamit is jelentő matematikai tulajdonságot vagy információt nem hoz létre a bal és jobb oldal között. Másrészt a kitalált
Az, hogy kitalációból veszünk egy konstans mennyiséget, és kitalációból ezt vektornak vesszük, annyit tesz, hogy
Nézzük most a Landau II könyv gondolatmenetét:
(Ez a könyv (+, -, -, -)-os szignatúrát használ.)
Az aláhúzás nyilván hibás... Helyesen: térfogatra vett a jó kijelentés. (De nem ez a lényeg, lépjünk tovább..)A Landau könyv (109. oldal) írta:"A 29.§-ban láttuk, hogy egyegyenlet, azaz egy vektor négyesdivergenciájának zérus volta ekvivalens azzal az állítással, hogy a vektornak a teljes háromdimenziós térfogatot körülzáró hiperfelületre vett
integrálja megmarad."
Szerintem ittA Landau könyv (109. oldal) írta:"Nyilvánvaló, hogy azonos állítás érvényes a tenzorokra is: a (32,4) egyenlet ekvivalens azzal, hogy avektor megmarad.
-t a rendszer négyesimpulzusával kell azonosítanunk. Az integrál előtt álló szorzótényezőt úgy választjuk meg, hogy a
időszerű komponens a korábbi meghatározásnak megfelelően az anyagi rendszer energiájának
-szerese legyen."
Hiba, és könnyen félrevezető a rossz megállapítást azzal jóváhagyni, hogy az energiát a Lagrange-függvénnyel összekötő ismert összefüggés azA Landau könyv (109. oldal) írta:", ha az integrált az
hipersíkra képezzük.
Másrészt (32,3) szerint(ahol
).
Az energiát a Lagrange-függvénnyel összekötő ismert összefüggésnek megfelelően-t az energiasűrűségnek kell tekintenünk, tehát
a rendszer teljes energiája. Ezért az állandó helyébe
-t kell írnunk. Így a rendszer négyesimpulzusának végső kifejezése a következő:
(32,6).
Atenzort a rendszer energia-impulzus-tenzorának nevezzük."
Na de miért??

(Sőt, lentebb még azt is megmutatom, hogy a kiindulópontnak vett
Nézzük a megfigyelő inerciarendszeréből az anyagi rendszert:
IttA Landau könyv (110. oldal) írta:"Már előbb szó volt arról, hogy ha (32,6)-ban az integrálást egyhipersíkra végezzük, akkor
alakja a következő:
(32,11),
ahol az integrálást a teljes (háromdimenziós) térre kell végezni.térszerű komponensei az anyagi rendszer impulzusának hármasvektorát alkotják, az időszerű komponens pedig az energia
-szerese."
Egy rendszer (vagy részrendszer) teljes (eredő) energia-impulzus vektorának meghatározása lényegében annak pontszerűvé transzformálását jelenti, tehát matematikailag az anyagi folytonosságot (kontinuumot) átvisszük a pontmechanikába. A Landau II könyv jelölésénél maradva, legyen
Írjuk fel a megfigyelő inerciarendszerében a pontszerűvé transzformálást a Landau könyv (32,6)-ból felírt (32,11) képlete alapján:
A baloldal
A jobboldal ezzel nem egyeztethető össze, hiszen ott tenzor négy komponense szerepel, tehát az nem lehet vektor. (Ebbe nem szól bele az integrálás nem jelölt tartományának kontrakciója, mert az egyformán érinti mind a négy komponenst.)
A második összefüggés a jó meggondolásunk alapján természetesen szintén a (32,11) képlet alapján lett felírva.
Na de akkor persze, hogy nem stimmel a jobboldalakra a vektor transzformálódása, hiszen eltértünk a (32,6)-ban megadott
Ebből az következik, hogy
A problémát érdemes megvilágítani egy másik szemszögből is.
Nézzük, hogyan folytatja a Landau könyv a 111. oldalon:
A speciális relativitáselmélet (32,4)A Landau könyv (111. oldal) írta:"többi komponense jelentésének kiderítéséhez átírjuk a (32,4) megmaradási egyenletet, szétválasztva benne a tér és idő szerint képzett differenciálhányadosokat
(32,12)
Integráljuk az egyenleteket a tér valamelytérfogatára. Az első
vagy a második integrált a (háromdimenziós) Gauss-tétellel átalakítva,
(32,13),
ahol a jobb oldalon atérfogatot határoló felületre kell integrálni (
a
a háromdimenziós felületelem vektorösszetevői). Az egyenlőség bal oldalán a
térfogatban levő energia változási sebessége áll. Ebből látszik, hogy a jobb oldalon az adott térfogat határán átáramló energiamennyiség jelenik meg, a
összetevőkből állóvektor az energiaáram-sűrűség (az az energiamennyiség, amennyi egységnyi felületen egységnyi idő alatt keresztülfolyik). Így arra a fontos következtetésre jutunk, hogy a relativisztikus invariancia követelménye, amely a
mennyiség tenzor jellegében jut kifejezésre, automatikusan határozott kapcsolathoz vezet az energiaáram és az impulzus között: az energiaáram-sűrűség az impulzussűrűség
szerese."
Nézzük pontosan a részleteket, hogy hogyan téved az előbb idézett rész, észre sem véve a hibát:
(32,13) és a következtetése rossz. A problémának van egy olyan gyökere, hogy a kontinuum-mechanikát egy olyan elméletbeni kezdőpontból kell felépíteni, amely következetesen derít fényt arra, hogy az energiaimpulzus-tenzor elemei mit jelentenek. A legkisebb hatás elve (Landau könyv 108. oldal) ezt nem szolgáltatja. Véleményem szerint a Novobátzky könyv 39. Kontinuumok mechanikája című pontjában a 100. oldal, és a (196) formula alapján a pontmechanika felől kell kiindulni, majd az így felállított kinetikai tenzor után a 40. Rugalmas testek című ponthoz hasonlóan megkeresni annak mechanikai komplementerét, a rugalmassági tenzort. Ezek alapján az sem marad homályban, hogy mit jelentenek az ezek alkotta energiaimpulzus-tenzor komponensei, és hogy ez a tenzor egyezik a legkisebb hatás említett kalkulációjában bevezetett (32,3)
Térjünk vissza, miért rossz az utóbb idézett (32,13)
A fentebb megtárgyalt entalpia levezetése/bevezetése már az energiaimpulzus-tenzor komponenseinek megismerése (előbbi felvázolt menet) után sorra kerülő lépés. Abban egyszerűen kiderül, hogy az impulzussűrűség az entalpiasűrűség tömegértéke és a sebesség szorzata. Ezért a jobboldali
Visszafelé menve következik, hogy (32,12) első egyenlete is hibás, ami ugye a
Nézzük ezt a mechanizmust egy elemi anyagdarab vizsgálatával. Áramoljon be (szemközti) kétoldali határán egymással szembe mutató impulzus révén energia, ami a két félrészének
Teljesen hiányzik annak fontos felismerése, hogy a rugalmas anyagi kontinuum nem működik az anyag állapotegyenlete(i) nélkül. Annak hiányában pedig mozgásegyenlet sincs.Novobátzky könyv (105. oldal) írta:"Atenzort a rugalmas kontinuum energiaimpulzus-tenzorának nevezzük. Összege a
rugalmassági és a
kinetikai tenzornak. A mozgásegyenletek tehát egyszerűen így írhatók:
."
Nézzük Hraskó Péter Általános relativitáselmélet és kozmológia című jegyzetében http://peter.hrasko.com/files/full5.pdf a 61. oldalon kezdődő 25. Az energia-impulzus tenzor című részt:
A következtetés (oda-vissza) hibás, ugyanis pontosan nézve (ami itt most éppen szükséges, mert az ördög mindig a részletekben lakik...Hraskó Péter írta:"Foglalkozzunk most az energiamegmaradással. A kontinuitási egyenlet ekkor aenergiasűrűséget és az
energiaáram-sűrűséget tartalmazza:
(25.1).
Az energia csak zárt rendszerben marad meg, ezért-nek tartalmaznia kell az összes energiafajtát, amely a
pillanatban az
pontban jelen van, és természetesen ugyanez vonatkozik az
-re is."

Ezután részecskés magyarázat jön, ami jó, csak észre kellene még venni azt a fontos okot, hogy az előző pontból felhozottHraskó Péter írta:"Az áramsűrűség tulajdonságai alapján arra gondolhatnánk, hogy a négykomponens négyesvektort alkot, de ez nincs így."
(Csak áramát...) Megint azt tudnám felhozni, hogy az impulzus integrális mennyiség, az impulzussűrűség pedig sűrűség, ezért ez a következtetés, hasonlóan, mint előbb, nem érvényes, és ezért az egyenlet lehet, hogy nem igaz. (Szintén hibás, mint előbb.)Hraskó Péter írta:"Avektor három komponense egy-egy impulzussűrűség... Zárt rendszerben az impulzus komponensei megmaradó mennyiségek, és ahhoz, hogy a megmaradásuk lokális legyen, figyelembe kell vennünk mindhárom impulzussűrűség áramsűrűségét...
(25.2)."
Ezek után ezekből fel van írva egy 4x4-es (25.3)
Ez azért nem jó, mert sugallva azt állítja, hogy aHraskó Péter írta:"A (25.4) és a(24.5) összevetése azt sugallja, hogy
második indexe éppen úgy kontravariáns vektorindex, mint a
áramsűrűség felső indexe. Az előző fejezetben láttuk, hogy egy sűrűség és a hozzá tartozó áramsűrűség négyesvektor jellege szorosan összefügg az elemi térfogat Lorentz-kontrakciójával, ami természetesen minden áramsűrűségnél fellép."
Mindkét állítás hamis. Utolsó mondata sugallva azt állítja, hogy aHraskó Péter írta:"Térjünk át most a sorokról a nulladik oszlopra. Ha aelemeket
-vel megszorozzuk, az elemi térfogatban felhalmozott négyesimpulzus komponenseit (pontosabban ezek
-szeresét) kapjuk. Ebből már sejthető, hogy
első indexe is kontravariáns vektorindex."
Az a bizonyítás a PONTszerű, és mechanikailag nem érintkező részecskék esetében állja meg csak a helyét (mint a töltések). De az olyan anyagra, melynek elemi anyagdarabjai fizikailag érintkeznek, és így rugalmas mechanikai feszültségeket (ami energiasűrűség jellegű) hoznak létre egymás között, nem alkalmas.Hraskó Péter írta:"Mindezek alapján-t másodrendű kontravariáns tenzornak kell tekintenünk, amelyet energia-impulzus tenzornak neveznek. Az energia-impulzus tenzor a fizika egyik legfontosabb fogalma.
A rendszer energiáját és impulzusát a
(25.5)
integrálok határozzák meg, amelyekben a teljes térre integrálunk. Ezek a mennyiségek megmaradnak. A bizonyítás ugyanúgy történik, mint a részecskeszám megmaradásának igazolása a 24. fejezet A. pontjában. Aa rendszer teljes négyesimpulzusa."
Az első példa egyből hozza is a nemstimmelést:
Hát a relativitáselmélet fizikájának a legfontosabb mennyiségének fejezetében nemrelativisztikus közelítéssel példálózni nem éppen hasznos. Legfeljebb arra lehet jó, hogy elfedje a hamisságot, de ez éppen nem teszi:Hraskó Péter írta:"Első példaként írjuk fel asebességgel áramló ideális folyadék energia-impulzus tenzorát nemrelativisztikus közelítésben... (25.7)"
Persze, hogy azt várnánk a fejezetben (és az előző fejezetben) eddig leírtak szerint, hogyHraskó Péter írta:"Azt várnánk, hogy az energiaáram sűrűsége-vel egyenlő, de a
helyén a ... kifejezés szerepel, amelyben (25.8)... az egységnyi tömegre jutó entalpia"
Nézzük a magyarázatot:
A kimagyarázó szöveg majdnem jó, de mégsem. Az problémát tisztán nem látó embernek ez persze azt sugallja, hogy a baloldalon a térfogati integrálás végett a "teljes energia" változási sebességéről van szó. Na de a "teljes energia", ahogy az már fentebb meg lett részletesen tárgyalva, az entalpiát jelenti, aminek sűrűsége viszont nemHraskó Péter írta:"A magyarázathoz írjuk fel (25.1)-t integrális alakban és a jobboldalon-t helyettesítsük be (25.7)-ből és (25.8)-ból:
.
A baloldalon az energia növekedési sebessége áll a kijelölttérfogatban. A jobboldal mutatja, hogy ez két összetevőre vezethető vissza. Az első a
energia beáramlási sebessége, a másik pedig a nyomás időegység alatt végzett munkája a térfogatba beáramló közegen."
Alakítsuk át picit a példa alapján felírt integrális alakot, és ellentmondásra jutunk:
(Jobboldalon mindkét tag lényegében két vektor, az
Ami hamis, hiszen Gauss tétele alapján baloldalt
-------------------------------------------------------
Még jóval fentebb említettem, hogy a nyomásnak, vagy a rugalmas főfeszültségeknek a negatív értéke az energiaimpulzus-tenzorban ellentmondásra vezetne. Ez könnyen belátható, hiszen ha az energiaimpulzus-tenzorba egyszerűen negatív értékű (izotróp) nyomást veszünk, akkor az lesz a gond, hogy az entalpia ugyanakkora nyugalmi energiasűrűség mellett nagyobb negatív nyomás esetén kisebb lesz, ami nem lehet, hiszen a nagyobb negatív nyomás eléréséhez pozitív energiát kell befektetnünk széthúzás közben, tehát az entalpiának ("teljes energia", amiből a tömeget is számolni kell) növekednie kell. Ilyen probléma nem merül fel, ha az energiaimpulzus-tenzorban az említett negatív érték helyett annak abszolút értéke szerepel, és transzformálódik.
Az előbbi meggondolások alapján a rugalmas nyírófeszültségektől mentes, és ezzel együtt izotróp kölcsönhatást tartalmazó anyagi kontinuum energiaimpulzus-tenzorának alakja nyugalmi rendszerben, és Galilei-féle koordináták esetén a következő:
(+,+,+,-) szignatúra, valamint alsó-felső indexes forma esetén
Látható, hogy ebben az izotróp esetben
(+,+,+,-) szignatúra, valamint alsó-felső indexes forma esetén
A főfeszültségek különböző értéke miatt azokkal vonatkozásban fel kell bontanunk a
Az anyagi állapotegyenletekben a főfeszültségek, és ezen részmennyiségek szerepelnek.
Az energiaimpulzus-tenzor divergenciája nulla helyett pedig a következő alakú:
Ez a mozgásegyenlet.